基本不等式测试卷1

基本不等式测试卷（45分钟）1.已知X》：，则/（x）=「］'+5有（ ）2 2x—4A.最大值? B.最小值2 C.最大值1 D.最小值14 4.如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国占代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（）A.如果4>6>0,那么B.如果。那么标C.对任意正实数。和人,有a2+b2之2ab,当且仅当。二〃时等号成立D.对任意正实数。和〃，有。+匕之24而，当且仅当。二〃时等号成立.实数X、y,X>-1,且满足w+y=-x+3,则x+y的最小值是（）TOC\o"1-5"\h\zA.1 B.72 C.2 D.3.已知4,b>0,且满足/+加?=1,则3。+/?的最小值为（）A.& B.,/3 C.2五 D.2百.已知直线七一y+2%-1=0恒过定点A点A也在直线〃7X+，少+1=0上,其中〃?、n均为正数，则士的最小值为（ ）mnA,2 B.4 C.6 D.8八 八 1 1 1.已知x>o,y>o,且一则x+y的最小值为（）x+ly2A.3 B.5 C.7 D.9.（多选）下列函数中，最小值为2的是（）A.y=x2+2x+3 B.y=eA+e"v1 以兀' rCy=smx+--0,- D.y=3r+2smxI278.（多选）设且。6-（。+份=1,那么（）A.〃+力有最小值2+2a/I B.a+b有最大值2+2&C.必有最大值1+JJ D."有最小值3+2J?试卷第1页，总2页3 3 ,9.设x,y均为正实数，且^一+--=1,则外的最小值为 2+x2+y1 2.已知Ovxvl,则一+ 的最小值为2x1-x4.(1)已知x>0,求丁=1+—的最小值.并求此时x的值；x3(2)设0<x<—,求函数y=4x(3—2x)的最大值；4(3)己知x>2,求x+——^的最小值；x-219(4)已知x>0,y>0,且一+—=1,求x+y的最小值;xy20.已知函数f(x)=2*+2-*.(1)求方程f(x)=2的实根：(2)若对于任意xwR，不等式f(2x)Nmf(x)-6恒成立，求实数m的最大值.试卷第2页，总2页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案C【解析】【分析】根据不等式的性质，以及基本不等式，即可判断出结果.【详解】因为所以2b又由基本不等式可得： 茄，所以b＞q＞瓢，又ab>",所以J石>〃,a+bT"a+bT">-Jab>a.故选：C.【点睛】本题主要考查由不等式的性质，以及基本不等式比较大小，属于基础题型.D【解析】【分析】先对函数/W进行化简变形，然后利用均值不等式求出最值，注意条件：“一正二定三相等”.【详解】x解:/w=-2-4x+5Lv-2)x解:/w=-2-4x+5Lv-2)2+11' …一') =-U-2)+2j-4 2(x-2)x-2=1当且仅当x-2=—^■即x=3时取等号,x-2故选：D.【点睛】本题考查了利用基本不等式求函数的值域，要注意到条件：“一正二定三相等"，同时要灵活运用不等式，属于基础题.C【解析】【分析】答案第1页，总13页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。观察图形,设直角三角形的长直角边为CJ短直角边为〃，由4个三角形的面积和与大正方形的面枳的大小关系，得到好之2",并判明何时取等即可【详解】通过观察，可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的，设直角三角形的长直角边为。，短直角边为〃，如图，整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面枳和，即(\\a2+b2>4x-a^b，即标+〃之2岫.当时，中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明，故选C【点睛】本题考查均值定理的几何法证明,考查数形结合，属于基础题C【解析】【分析】4由火丁+y=-X+3可得出)，= 1,然后利用基本不等式可求得x+y的最小值.x+1【详解】TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"上q3一文4-(x+l) 4 ,\o"CurrentDocument"•・・冷，+)，=7+3,y= =-1 L= 1,X+lX+lA+1\o"CurrentDocument"4 4I4,.,x>-L/.x+l>0,x+y=x-l+ =(x+l)+ 2>2./(x+l) 2=2,\o"CurrentDocument"x+l x+1V x+1当且仅当x=l时，等号成立，因此，x+y的最小值是2.故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解题的关键在于对所求代数式进行化简变形，考查计算能力，属于中等题.C【解析】【分析】利用。和〃的关系进行代换，再利用基本不等式即可得出.答案第2页，总13页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。【详解】•/标+=1,aa即3〃+/?=3〃+!—。=24+1之a a当且仅当〃=立时取等号.23。+/?的最小值为2故选：C【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.D【解析】试题分析：丘-丁+2女-1=0变形为k(x+2)=y+l,所以过定点(—2,T),代入直线得2777+72=11 2(1 2)小 、/n4〃？、/「/Tc,r,,〃 4〃？-・•・一+-=—+-(2〃?+〃)=4+—+——>4+25/4=8,当且仅当一=一时等号成mn\mnJ mn 〃7n立，取得最小值8考点：1.直线方程；2.均值不等式求最值C【解析】【分析】运用乘1法，可得由x^y=(a+1)+y-1=[(/1)+y]*( -+—)-1,化简整理再由x+1y基本不等式即可得到最小值.【详解】由x^y=(户1)+y-1=[(肝1)+y]•1-1答案第3页，总13页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。=［（肝1）+力・2（——-+-）-1x+ly,y（工+1）、TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"=2（2+^—+ ）-1\o"CurrentDocument"x+1 y23+4 =7.p+1y当且仅当x=3,y=4取得最小值7.故选：C.【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题.B【解析】【分析】分析得到直线经过圆心，所以E+〃=i,再化简得竺斗=（3+；）（二+与=3+丝+三，2 ababz a2b再利用基本不等式求最小值得解.【详解】由题得圆的方程可以化为。1-2尸+（），+1尸=9,所以圆心为（2,-1）,半径为〃=3,因为直线办-4办一4=0（。＞0力＞0）被圆/+卡—4x+2），—4=0截得的弦长为6,所以直线经过圆心，所以2。+4/?-4=0,即1+〃=1,所以叱=（3+!）（色+〃）=3+竺+色之3+2,^^=3+2应，ab『2 a2b7a2b当且仅当。=4-2＞/，为="一1时取“=”，所以号/的最小值为3+2JI.故选：B.答案第4页，总13页

本卷由系统H动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.B【解析】【分析】首先将所给的不等式进行恒等变形，然后结合均值不等式即可求得其最小值，注意等号成立的条件.【详解】12725g（17）2x.——H=—+=—+ F2xl-xx1-x12725g（17）2x.——H=—+=—+ F2xl-xx1-x2 x 1-x*/0<x<l,「.X〉0且i-x>o,g（17）2xB（j）2x,/ + 上 =2X l-XVXl-x当且仅当5（17）2x,即X」时，j)2x取得最小值2. = 3 + x l-x X 1-X的最小值为2+2=-.2xl-x 2 2故选B.【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法，代数式的变形技巧,10.B【解析】【分析】? 2%_2 :由题意得出 /+44，利用基本不等式求得X+— X4X不等式，由此可解得实数。的取值范围.【详解】属于中等题.4的最大值，可得出关于。的X答案第5页，总13页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。依题意得当x>0时，2"+1"/著=「:恒成立，,1+一X又因为x+±±2口］=4,当且仅当x=2时取等号，所以工工的最大值为所以2。+12,，解得。之一!，因此，实数。的取值范围为一；,+s.2 4 L4J故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，考查计算能力，属于基础题.AB【解析】【分析】对A,根据二次函数的最值判定即可.对B,利用基本不等式判定即可.对C,利用基本不等式判定即可.府D,根据指数函数的值域判定即可.【详解】对A,y=丁+2x+3=(x+1)2+2>2,当且仅当x=-1时取等号.故A正确.对B.y=/+e-x>2Je'.e==2,当且仅当x=0时取等号.故B正确.对C,y=smx4-——>2)sinx.」~=2.取等号时sinx=」一，又xJ0,g故不可" sinxV sinx sinxk2)能成立.故C错误.对D,因为y=3'〉0,故)，=3'+2>2.故口错误.故选：AB【点睛】本题主要考查了函数最值的运算,属于基础题.BD【解析】【分析】答案第6页，总13页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。结合基本不等式条件，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，当Ovxvl时，lgx<0,则lgx+^—<0,所以不正确：1gX对于B中，由;>£,可得〃>人，所以所以是正确的;对于C中，由〃C)=(A+9+1=&+3+-/=^=：22 •-=2,J.P+3 V-V2+3VJ/+3当且仅当,.+3二/一,即丁+3=1，即/=—2(不成立)，所以不正确；对于D中，由log3(24+/?)=l+logo«^，可得2。+/?=34?，且4>0/>0,r田122rmig/ 。八,12 12b2“ 1 12b2〃可得一+7=3,则4+2/?=—(。+2/?)(一十丁)=一(5+—+—)>-x(5+24/ )=3,ab 3ab3ab3 \ab当且仅当”=土，即时等号成立，所以是正确的.故选：BD.本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.ABD【解析】【分析】利用基本不等式，逐一判断个选项，即可:【详解】121. 、72、121. 、72、1…〃2m・•・一+—=—(〃?+77)(—+—)=—(3+—+—mn2mn2mn当且仅当1=当且仅当1=也时，等号成立，故A正确:答案第7页，总13页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。B.由〃7+〃=2且〃?>0,〃>0得 <竺2=1,2当且仅当〃7=〃=1时，等号成立，则眄<1,故B正确：2 2C.由m+〃=2且>0,九>0得（，^>+（而）2=2,「.（而+而?<2］（而『+（加」=4则J茄+M<2,故C错误：D.m2+n2>（///~；/）~=2,故D正确.2故选：ABD.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，化力“求最值，考查了转化的思想，属于中档题.AD【解析】【分析】将等式变为他=1+（。+〃）和"一1=。+〃，由基本不等式可分别得到关于和"的不等式，解不等式求得结果.【详解】由"一（。+6）=1得："=1+（4+〃）4yj（当且仅当。=b〉l时取等号）即（。+〃『一4（。+b）一4之0且a+Z?>2,解得：a+b>2+2y/l6有最小值2+2JI，知A正确：由。6—（々+6）=1得：ab-l=a+b>2y/ab（当且仅当。=〃>1时取等号）即出?一2>/^-120且出?>1,解得：ab>3+2\/2，出?有最小值3+2 ，知。正确.故选：AD【点睛】答案第s页，总13页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够利用基本不等式将已知方程化为关于〃+方和C力的不等式；易错点是忽略〃+力和C力所处的范围，造成求解错误.3【解析】【分析】由点A的位置得出〃7,〃>0,-+-=1,再用基本不等式求〃"，的最大值.34【详解】因为点出〃?，〃）在第一象限，且在直线±+上=1上，所以，几〃>o,-+-=i.34 34所以（当且仅当g=；= 即机=g,"=2时，取等号）所以竺上《_L,即将344所以皿的最大值为3.故答案为：3【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，涉及了点与直线的位置关系，属于中档题.16.16【解析】【分析】本题是基本不等式中的一个常见题型，需要去掉分母，再利用基本不等式转化为关于冷'的不等式，解出最小值.【详解】由^ +- =1,可化为旬=8+x+y,2+x2+y••・x,）’均为正实数，A），=8+x+y28+2a（当且仅当X=y等号成立）即xy-2y/xy-3^0,答案第9页，总13页本卷由系统H动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。可解得历》4,即与。16故冷'的最小值为16.故答案为：16.【点睛】解决本题的关键是先变形，再利用基本不等式J拓・产（。>0,b>0）来构造一个新的不等式.4【解析】【分析】4 1首先由一+匚=2整理得出4y+x=2个后2匹\进一步求得芝yN4,从而得到结果.xy【详解】由3+」=2可得：4y+x=2xy>2y[4xy»*y整理得：^>4（当且仅当x=4,y=l时取等号），故答案为:4.【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于基础题目.3近【解析】【分析】【详解】由2ab《a?+b，两边同时加上/+/得标+〃）两边同时开方即得：4+〃々2（标+〃）（〃>0/>0且当且仅当〃时取"=”），从而有J7TT十jm«j2（4+l+b+3）=应= （当且仅当。+1=。+3,即答案第10页，总13页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。7 3。=一乃=一时，』”成立）2 2故填:3册.考点：基本不等式.【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式24b〃转化为a+b」2d+b?）（a>0,b>0且当且仅当a=b时取,三”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.4 9（1）当工=2时，>=X+—取得最小值4;（2）-；（3）6：（4）16x 2【解析】【分析】（1）直接利用基本不等式计算可得；（2）先根据X的范围确定3—2X的符号，再由〉工4必3-2x）=2[2x（3-2x）]结合基本不等式的内容可得到函数的最大值.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4 4\o"CurrentDocument"（3）利用配凑法变形x+--=（x-2）+--+2,再利用基本不等式计算可得；x-2' 7x-219।（4）利用一+—=1与x+y相乘，展开利用均值不等式求解即可.【详解】\o"CurrentDocument"解：（1）因为x>0,所以y=x+±22jx・3=4,当且仅当即x=2时取等X\X X4号：故当x=2时，y=x+一取得最小值4；x2工+(3—2刈-9•.*0<x<2工+(3—2刈-9/.y=4A>(3-2x)=2[2x(3-2》)卜23当且仅当2—即户*，等号成立.答案第11页，总13页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 9•・・函数)，=4x(3-2x)(0<x<-)的最大值为一.\o"CurrentDocument"2 2vx>2,/.x-2>0.“+」!一=(不-2)+上一+222