2013北京海淀区高三一模数学(理)试题答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）参考答案及评分标准说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号答案二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）249 1 533^15 4<a<1 2,(2k-1,2k),keZ.'16 , 9三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．(本小题满分13分)解：()因为f(x)=2-(/sinx-cosx)2=2-(3sin2x+cos2x-2J3sinxcosx)TOC\o"1-5"\h\z=2-(1+2sin2x-J3sin2x) 分=1—2sin2x+、3sin2x=cos2x+<3sin2x 分n. n=2sin(2x+) 分所以6=2sm(2,n+n)=2sin2n=5

TOC\o"1-5"\h\z2n 2n所以f(x)的周期为丁二两=y=nrnn n2n n、「n5n、(I当x£[——,^7]时，2x£[—彳，,(2x+-)£[-7，~7~]63 33 6 66一一.nn、所以当x=-6时，函数取得最小值f(一6)=-1 分n ti当x=-时，函数取得最大值f(-)=2 分66解：(I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为的考生有人，所以该考场有10・0.25=40人 分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为的人数为40x(1-0.375-0.375-0.15-0.025)=40x0.075=3 分求)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1x(40x0.2)+2x(40x0.1)+3x(40x0.375)+4x(40x0.25)+5x(40x0.075)。八40 =2.940(ni)设两人成绩之和为白，则占的值可以为，，，， 分C2P(1=16)=C2-=1545，P化=17)=CCC2_12=451010P化=18)=CC10C2 13+CT=45，10P&=19)=CCC210_4=45TOC\o"1-5"\h\zC2 1P(-20)二1=4510所以己的分布列为XP154512451345445145分

863"TOC\o"1-5"\h\z15 12 13 4 1863"所以EE=16x +17x—+18x +19x—+20x—=45 45 45 45 45所以之的数学期望为86 分证明： 因为AABC是正三角形，M是AC中点，所以BM1AC即BD1AC 分又因为PA1平面ABCD,BDu平面ABCD,PA1BD 分又PA^AC=A,所以BD1平面PAC 分又PCu平面PAC，所以BD1PC 分(II)在正三角形ABC中，BM=2<3 分在AACD中，因为M为AC中点，DM1AC，所以AD=CDZCDA=120，所以DM=2^3，所以BM:MD=3:1 分3在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=4,PB=4V12,所以BN:NP=3:1,BN:NP=BM:MD，所以MN//PD 分又MN亡平面PDC,PDu平面PDC,所以MN//平面PDC 分z本yMxA.(III)因为ZBAD=ZBAC+ZCAD=90,oz本yMxA.所以AB1AD，分别以AB,ADAP为x轴》轴z轴建立如图的空间直角坐标系，所以B(4,0,0),C(2,2%/3,0),D(0,岑,0),P(0,0,4)由(I)可知，DB二(4,-4J3,0)为平面PAC的法向量 分3PC=(2,2%'3,-4),PB=(4,0,-4)设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z)n•PC=0 2x+2J3y—4z=0则彳 ，即八，n•PB=0 〔4x—4z=0V-A令Z=3^^平面PBC的一个法向量为n=(3,J3,3) 分—►0n.DB<7设二面角A—PC—B的大小为9,则cos6二一—二亍n•DB/-► *所以二面角A—PC-B余弦值为豆 …F7解：()因为f(x)=lnx+ax2+bx,所以f(x)=—+2ax+bx因为函数f(x)=lnx+ax2+bx在x=1处取得极值TOC\o"1-5"\h\zff(1)=1+2a+b=0 分2x2一3x+1当a=1时，b=-3，f(x)= ，xf'(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(0,2)乙12中）1（1，+8）f'(x)++f(x)极大值极小值 分所以f（x）的单调递增区间为（0,1）（1，+8）TOC\o"1-5"\h\z1单调递减区间为（5』） 分2ax2-2(a+1)x+1 (2ax-1)(x-1)因为f(x)= = xx令f(x)=0x1=1,x2=2a 分因为f(x)在x=1处取得极值，所以x=1-中x=12 2a 11当丁<0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e］上单调递减2a所以f(x)在区间(0,e］上的最大值为f(1)，令f(1)=1，解得a=-2 分1当a>0，x=——>022a当!<1时，f(x)在(0，」)上单调递增，(」,1)上单调递减，(1，e)上单调递增2a 2a 2a1所以最大值1可能在、=五或x=e处取得而f(―)=ln—+a(—)2-(2a+1)—=ln----1<02a2a 2a 2a 2a 4a所以f⑥二lne+ae2-(2a+De=1解得a=占当1<」<e时f(x)在区间(0,1)上单调递增，(1，!)上单调递减，(3,e)上单调递增2a 2a 2a所以最大值1可能在x=1或x=e处取得而f(1)=ln1+a-(2a+1)<0所以f(e)=lne+ae2-(2a+1)e=1，11TOC\o"1-5"\h\z解得a=一，与1<x=丁<e矛盾 分e-2 2 2a当x=1>e时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减，2 2a所以最大值1可能在x=1处取得，而f(1)=ln1+a-(2a+1)<0，矛盾1综上所述，a=--或a=-2 分e-29(本小题满分分)解：()设椭圆的焦距为2c,

因为a=22,c=旦，所以c=1,所以b=1a2所以椭圆C：—+w=1 分(I设A(5,不，BX2,y2由直线l与椭圆c交于两点a,B,所以(1+2k由直线l与椭圆c交于两点a,B,所以(1+2k2)x2—2=0，则Ux+x=0,128 '8(1+k2)所以AB\=：(1+k2) = …1+2k2 11+2k2_ V2k点M(22,)到直线l的距离d—<1+k2则GH\=2、：'r2-22k- 分显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y=kx就是y轴，矛盾，所以要使IAGI=BH,只要1ABi=1GHi所以8(12k2)122k2=4(r2-分2k2 2(12k2) 2(3k423k221) k4r2= + = =2(1+ ) 1+k2 1+2k2 2k4 + 3k2 +1 2k4 + 3k2 +1当k=0时，r=72 分11r2=2(1+——5——)<2(1+—)=3当k丰0时，(13) ( 2) -\乙k4k21r2=2(1+ )>2又显然 1 3 7 ,所以v2<r<；3 -\乙k4k2综上，72<r<73 分解：（I）因为|Ax|+|Ay|=3（Ax,Ay为非零整数）故|Ax|=1,|Ay|=2或|Ax|=2,|Ax|=1,所以点P0的相关点有8个 又因为(Ax)2+(Ay)2=5，即(x—x)2+(y—y)2=5TOC\o"1-5"\h\z1 0 1 0所以这些可能值对应的点在以P为圆心，＜5为半径的圆上 分0(II)依题意P(x,y)与P(x,y)重合nnn0 0 0则x=(x—x)+(x—x)+...+(x—x)+(x—x)+x=x,nn n—1 n-1 n—2 2 1 1 0 0 0y=(y—y)+(y—y)+…+(y—y)+(y—y)+y=ynnn—1 n-1n—2 21 10 0 0即(x—x)+(x—x)+...+(x—x)+(x—x)=0,n n—1 n-1 n—2 2 1 1 0(y—y)+(y—y)+•.•+(y—y)+(y—y)=0n n—1 n-1 n—2 2 1 1 0两式相加得[(x—x)+(y—y )]+[(x —x)+(y—y)]+...+[(x—x)+(y—y)]=0(*)n n—1 n n—1 n—1 n—2 n-1n—2 1 0 1 0因为x,yeZ,x—x1+y—y=3(i=1,2,3,...,n)ii i i—11 i i—1故(x—x)+(y—y)(i=1,2,3,...,n)为奇数，i i—1 i i—1于是(*)的左边就是n个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以n一定为偶数 分(III)令Ax=x—x,Ay=y—y,(i=1,2,3,...,n),ii i—1 ii i—1依题意(y—y)+(y—y)+...+(y—y)=100,n n—1 n—1 n—2 1 0因为T=£x=x+x+x++xi0 1 2 ni=0•••=1+(1+Ax)+(1+Ax+Ax)+ +(1+Ax+Ax+ +Ax)1 1 2 1 2 n=n+1+nAx+(n—1)Ax+ +Ax 分2 n因为有|Axi||Ayi|=3，且|AxJ,|Ay丁为非零整数，所以当Ax=2的个数越多，则T的值越大，i而且在Ax,Ax,Ax,..,Ax这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T的值越大1 2 3n

而当Ay取值为1或-1的次数最多时，Ax取2的次数才能最多，T的值才能最大i i当n=100时，令所有的Ay都为1,Ax都取2,ii则T=101+2(1+2++100)=10201当n>100时，・・・若n=2k(k>50,keN*)，此时，Ay可取k+50个1，k-50个-1，此时Ax可都取2，S(n)达到最大ii此时T=n+1+2(n+(n-1)++1)=n2+2n+1.若n=2k+1(k>50,keN*),令Ay=2其余的Ay中有k-49个-1，k+49个n i相应的，对于Ax，有Ax=1其余的都为，in则T=n+1+2(n+(n-1)++1)-1=n2+2n当50<n<100时，令Ay=・1;i<2n-100,Ay=2,2n-100<i<n,则相应的取Ax=2,i<2n-100,Ay=1,2n-100<i<n,ii贝UT