数学实验2课件

数学实验2课件第1页/共31页数学建模实验

---曲线拟合

第2页/共31页一、实验目的及意义二、实验课时安排三、实验步骤四、实验要点分析五、实验总结内容简介第3页/共31页一、实验目的及意义二、实验课时安排三、实验步骤四、实验要点分析五、实验总结内容简介第4页/共31页一、实验目的及意义[1]了解拟合基本的内容；[2]掌握MATLAB软件求解拟合问题；[3]验证几个简单模型的求解；[4]

对预测和确定参数的实际问题,建立数学模型,并求解.通过该实验的学习,了解拟合的几种典型应用,进一步了解数学建模过程.这对于学生深入理解数学概念,掌握数学的思维方法,熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义.

第5页/共31页一、实验目的及意义二、实验课时安排三、实验步骤四、实验要点分析五、实验总结内容简介第6页/共31页一、实验目的及意义二、实验课时安排三、实验步骤四、实验要点分析五、实验总结内容简介第7页/共31页三、实验步骤1.建立一个自己的文件夹;2.开启软件平台---MATLAB，将你建立的文件夹加入到MATLAB的搜索路径中。

3．开启MATLAB编辑窗口,键入你编写的M文件（命令文件或函数文件）；4．保存文件（注意将文件存入你自己的文件夹）并运行；5．若出现错误，修改、运行直到输出正确结果；6．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。第8页/共31页一、实验目的及意义二、实验课时安排三、实验步骤四、实验要点分析五、实验总结内容简介第9页/共31页曲线拟合的提法已知一组（二维）数据，即平面上n个点（xi,yi)i=1,…n,

寻求一个函数（曲线）y=f(x),

使f(x)

在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。

+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)ii

为点（xi,yi)

与曲线y=f(x)

的距离.四、实验要点分析第10页/共31页曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路第一步:先选定一组函数

r1(x),r2(x),…rm(x),m<n,

令

f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+…+amrm(x)（1）其中

a1,a2,…am

为待定系数。

第二步:确定a1,a2,…am

的准则（最小二乘准则）：使n个点（xi,yi)与曲线y=f(x)的距离i的平方和最小

。记

问题归结为，求

a1,a2,…am

使

J(a1,a2,…am)最小。第11页/共31页

简单举例说明：

我们用直线

a0+a1x拟合给定数据:(xi,yi),i=1,2,…,m,把数据代入直线方程得：第12页/共31页线性最小二乘法的求解：预备知识超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组即Ra=y其中超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。

如果有向量a使得达到最小，则称a为上述超定方程的最小二乘解。第13页/共31页线性最小二乘法的求解

定理：当RTR可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解，且即为方程组

RTRa=RTy的解：a=(RTR)-1RTy

所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。其中Ra=y（3）第14页/共31页

设

y*=a+bxi

，令

δi=yi-y*i=yi-a-bxi，根据最小二乘原理，即使误差的平方和达到最小，也就是令

n

Q=∑δi2

i=1

为最小，即求使

有最小值的a和b的值。第15页/共31页

给定数据(xi,yi),i=1,2,…,m.

求拟合曲线

y*=

a+bx,

确定a，b，使其均方误差

达到最小。由多元函数极值的必要条件，上式达到极小，a,b满足两个二阶导数均大于零第16页/共31页

解之得

a，b。代入y*=

a+bx,即得所求的拟合曲线。第17页/共31页线性最小二乘拟合f(x)=a1r1(x)+…+amrm(x)中函数{r1(x),…rm(x)}的选取

1.通过机理分析建立数学模型来确定f(x)；++++++++++++++++++++++++++++++f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx2.将数据(xi,yi)i=1,…n作图，通过直观判断确定f(x)：第18页/共31页用MATLAB解拟合问题1、线性最小二乘拟合2、非线性最小二乘拟合3、cftool(自学)ployfit\lsqcurvefitlsqnonlin第19页/共31页用MATLAB作线性最小二乘拟合1.作多项式f(x)=a1xm+…+amx+am+1拟合,可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)2.对超定方程组可得最小二乘意义下的解。，用输出拟合多项式系数a=[a1,…am,

am+1]输入同长度的数组X，Y拟合多项式次数多项式在x处的值y可用以下命令计算：

y=polyval（a，x）第20页/共31页即要求出二次多项式:中的使得:例1对下面一组数据作二次多项式拟合第21页/共31页1）输入以下命令：x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];R=[(x.^2)'x'ones(11,1)]；

A=R\y'MATLAB(zxec1)解法1．用解超定方程的方法2）计算结果：Ａ=-9.810820.1293-0.0317第22页/共31页1）输入以下命令：

x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,'k+',x,z,'r')%作出数据点和拟合曲线的图形2）计算结果：Ａ=-9.810820.1293-0.0317解法2．用多项式拟合的命令MATLAB(zxec2)第23页/共31页用MATLAB作非线性最小二乘拟合

Matlab(优化工具箱)的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数：lsqcurvefit和lsqnonlin。

两个命令都要先建立M-文件定义函数，然后编写主程序M-文件求解非线性模型的未知参数

注意：两者定义f(x)的方式是不同的.第24页/共31页fun是一个事先建立的定义函数F(x,xdata)

的M-文件,输入变量为x和xdata格式：x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata);迭代初值已知数据点1.lsqcurvefit已知数据点：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan），

ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）求非线性模型F的未知参数x

第25页/共31页格式：x=lsqnonlin

（‘fun’，x0）；fun是一个事先建立的定义函数f(x)的M-文件，自变量为x迭代初值2.lsqnonlin已知数据点：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan），

ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）求非线性模型F的未知参数x

其中f（x）=F(x,xdata)-ydata

使得

最小。第26页/共31页

例2用下面一组数据拟合

中的参数a，b，k.该问题即解最优化问题：第27页/共31页MATLAB(curvefun1，fzxec1)

1）编写M-文件curvefun1.m

functionf=curvefun1(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)%其中x(1)=a;x(2)=b；x(3)=k;2）输入命令tdata=100:100:1000cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];x0=[0.2,0.05,0.05];

x=lsqcurvefit('curvefun1',x0,tdata,cdata)f=curvefun1(x,tdata)

F(x，tdata)=，x=(a，b，k)解法1.用命令lsqcurvefit第28页/共31页f(x)=x=（a，b，k）1）编写M-文件curvefun2.m

functionf=curvefun2(x)tdata=100:100:1000;cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)-cdata2）输入命令:

x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqnonlin('curvefun2',x0)f=curvefun2(x)函数curvefun2