数学史与数学文化

数学史与数学文化第1页/共63页一、自然界里的数学

1.植物中隐藏的神秘数学

向日葵中心种子的排列图案符合斐波那契数列,这个序列以螺旋状从花盘中心开始体现出来.为了使花盘中的葵花籽数量达到最多,大自然为向日葵选择了最佳的黄金数字.花盘中央的螺旋角度恰好是137.5度,十分精确,只有0.1度的变化.

第2页/共63页3片花瓣的代表：鸭跖草(上)，鸢尾(下).

1.植物中隐藏的神秘数学

植物的叶片或者花朵或果壳都有着神奇的对称比例,一些植物形态中存在的这些黄金比例实际上就是一种隐藏的“斐波那契数列”.

松塔的螺线:

左旋13.5片花瓣的代表：报春花(左),杏花(右)

.第3页/共63页3.风景中的数学美国纽约罗切斯特理工大学数学系学生NikkiGraziano的摄影

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第4页/共63页3.风景中的数学2013年5月22日,英国威尔特郡文德米尔惊现一个奇特的麦田怪圈，令人惊叹的是，它竟然展现了“世界上最美丽的数学定理”——莱昂哈德·欧拉定理eiπ+1=0

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第5页/共63页4.闭月羞花面部黄金比例.

第6页/共63页4.魔鬼身材人体黄金比例0.618.

第7页/共63页第8页/共63页第9页/共63页5.美丽的芭蕾芭蕾演员虽然身材修长,但其腰长与身高之比平均约为0.58,只有在翩翩起舞时、踮起脚尖,方能展现0.618的魅力

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第10页/共63页二、数学造就艺术美

1.数学造就绘画美

绘画艺术中的黄金比例.

第11页/共63页1.数学造就绘画美

第12页/共63页2.数学造就建筑美希腊巴台农神庙埃及金字塔第13页/共63页三、数学与乐音

音乐中的1,2,3并不是数字而是专门的记号,唱出来是do,re,mi,它来源于中世纪意大利一首赞美诗中前七句每一句句首的第一个音节.而音乐的历史像语言的历史一样悠久,其渊源已不可考证.但令人惊异的是我们可以运用数学知识来解释音乐的许多规则其中包括音乐基本元素──乐音的构成原理,也就是说1,2,3……这些记号确实有着数字或数学的背景.第14页/共63页

如果說“音乐是听觉的数学”,那么其数学就是音律;反过来,如果說“数学是理性发出的音乐”,那么其音律就是逻辑.

傅立叶定理的发现使音乐中的弦内之音表述清楚而简单，恩格斯曾说过，傅立叶分析是数学的音乐.第15页/共63页

傅立叶弦内之音:第16页/共63页

这些都蕴含着

深刻的数学道理

潜藏着神奇的数学奥秘第17页/共63页我们来聆听古代先贤的教导.为什么是这样而不是那样呢？公元前六世纪的伊奥尼亚的哲学家泰勒斯如是说:水是万物的始基！

这一命题开创了人类认识的一个新时代,拉开了从哲学角度审视世界的大幕.第18页/共63页毕达哥拉斯如是说:万物皆数(指整数).第19页/共63页

毕达哥拉斯学派的自然哲学很难与实际相吻合，但他们确言中了后来两条证明是极为重要的信条：第一是自然界是按数学原理构成的；第二是数学关系决定、统一并显示了自然的秩序

.第20页/共63页

希腊哲学家不仅都重视对实质的探讨,而且从毕达哥拉斯开始,所有哲学家都认为世界是依照数学设计的.在这个经典时期末期,上述观点已经确立,并且开始了对数学规律的探求.虽然这个观点并未影响后世所有的数学家,但一旦为人接受,它就作用于大多数伟大数学家的思维,甚至影响了那些尚未接触过它的人.希腊人这一重要思想的最大胜利是他们认为宇宙是按可为人类思维所能发掘的数学规律运行的

.第21页/共63页

希腊人欲得到宇宙的数学规律,他们在这方面成就如何呢？由欧几里得、阿波罗尼乌斯、阿基米得和托勒密所创立的数学的精华有幸传给了我们。在时间上他们属于希腊文化的第二个重要时期，亚历山大里亚时期(前300年～公元600年)

.Euclid,前325年～前265年

Apollonius,约前262年～约前190年Archimed,前287年～前212年第22页/共63页

欧几里得著作具有系统、演绎的形式,是许多古希腊人孤立发现的汇合,其标志是他的著作《几何原本》的问世

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《几何原本》是接收了圆锥曲线的理论,在亚历山大里亚学习数学的小亚细亚南岸的佩尔加人阿波罗尼乌斯,继续其关于抛物线、椭圆和双曲线的研究,并写出了这方面的经典著作《圆锥曲线

》.

在亚历山大里亚受教育而生在西西里的阿基米得对纯几何学知识增添了几本著作《论球和圆柱》,论《劈锥曲面体与球体》,《抛物线的求积》

.第23页/共63页托勒密的本轮│均轮模型

托勒密

(C.Ptolemy,公元90年～168年)●托勒密相信:宇宙是按数学规律运行的.依此思想写成了《至大论》一书.第24页/共63页托勒密的本轮│均轮模型

托勒密在书中得出了从里到外的如下的顺序:月亮、水星、金星、太阳、火星、木星、土星、恒星.托勒密的天体次序

他就假定,天空中的所有可能高度都被诸行星占满:每个行星都有自己时时占据的高度带,这些高度带相互之间既不重叠,也没有缝隙.第25页/共63页P本轮地球EOE’CEquant对应点均轮托勒密的本轮│均轮模型第26页/共63页托勒密的本轮│均轮模型

托勒密算出整个宇宙的半径是地球半径的19,865倍,或者说120700000公里.

托勒密的宇宙尺度

有些现代作者认为这一宇宙图像错得无可救药,指出这个宇宙尺度甚至还小于地球到太阳的真实距离.

但是历史地看,倒不如说,正是托勒密首次把宇宙尺度第一次变得如此巨大,以至于让人类心灵难以真正理解它了.第27页/共63页

利用他们的数学成就和许多科学研究结果,希腊人对宇宙是依据数学设计的,给出了充分的证明.数学实质上存在于宇宙万物之中,它是关于自然界结构的真理,或者如柏拉图所说,是物质世界的客观存在.宇宙存在规律和秩序,数学是达到这种有序的关键.而且,人类理性可以洞察这个设计并且揭示其数学结构

.第28页/共63页

希腊人的宗旨——自然是依数学设计的，与文艺复兴时的信念——上帝是这个设计的作者，融汇在一起，统治了欧洲，关于这一点最令人信服的证据就是哥白尼的所创立的“日心说”

.尼古拉·哥白尼

约翰尼斯·开普勒

第29页/共63页

哥白尼也确信自然的数学规律,但他假设每个天体,无论是月亮还是行星,都在一个圆周上运动,这个圆的圆心又在另一个圆周上运动.

开普勒确信存在自然的数学规律,并在努力寻找和谐的数学关系时,却取得了极大的成功,他最著名也是最重要的成果就是我们今天所说的开普勒行星运动三定律

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普勒行星运动三定律

是数学规律.

第30页/共63页开普勒第一定律:

每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳运动,而太阳则处在椭圆的一个焦点上

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第31页/共63页开普勒第二定律:

每一个行星和太阳的联线在相等的时间内扫过相等的面积

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第32页/共63页开普勒第三定律:

所有行星绕太阳公转的周期(行星年)的平方跟椭圆轨道的半长轴的立方的比都相等

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即其中k的大小与行星无关,只与太阳质量有关.短轴长轴第33页/共63页

上帝设计了宇宙，因此可以推测所有的自然现象都遵循一个总的规划，上帝极可能用一套基本原理来支配相联的事物。对于十七世纪致力于揭示上帝的自然设计的数学家和科学家来说，合乎情理的做法似乎应该是去寻求控制各种地面物体运动和天体运动的统一规律

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在实施他推导宇宙运动规律的计划的过程中,牛顿对代数、几何、尤其是微积分做出了许多贡献,而这些仅仅是为达到其科学目标的辅助工作.他致力于寻找能导出一个统一地上物体运动和天体运动的定律的科学原理,幸运的是，正如狄德罗(DenisDiderot,1713～1784)所说的，自然界把秘密告诉了牛顿.

第34页/共63页例如,万有引力定律:第35页/共63页

牛顿的光辉业绩呈现给人类一个崭新的世界秩序,和一个用一套普遍的,仅用数学表述的物理原理控制的宇宙.这是一个包括了石头下落、海洋潮汐、行星及其卫星运动、彗星挑战性的大尾巴以及恒星辉煌庄严的运动的宏大的规划.

借助于数学描述进行研究,十七世纪的学者们发现了一个量化了的世界.他们将物理世界的具体事物转换成数学公式,从而留给后人一个数学的、定量的世界,这就是繁荣至今的自然的数学化的开始

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不管自然科学家们在何处巡查,总能发现证明世界具有设计与和谐行为的规律和数学定律.自然界具有条理性、规律性、理性和可预见性.

人类是自然秩序不可分割的一个组成部分,也是上帝的创造物.时髦的唯物主义哲学告诉我们,物质决定意识，故人的意识与肉体也是物质世界的一部分.因此,人类的行为必然有普遍的自然规律

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一旦发现了这些真正的规律,人类将生活得更美好，社会也会变得稳定而公正.因为它们最后会与“自然秩序”相一致.如果人类社会经过强制手段或经过引导而遵循这些规律,那么社会的弊病就会消失

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人们最终相信有必要建立一门关于人类的演绎科学.相应地，社会科学家们开始鉴定、分析和总结在人类关系中那些发挥作用的普遍规律

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社会科学家们希望数学在这一领域取得在其它纯科学领域内同样辉煌的成就.美酒、歌曲，以及要获得这些享受所必需的财富，都成了数学的研究对象

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假如存在社会规律，那么社会科学家们将怎样发现它们呢？数学为提供答案树立了榜样。首先，他们必须发现一些基本的公理，这些从思想和经验中产生的公理,自身应该有足够的证据表明它们合乎人性，这样所有的科学家才会承认它们。然后通过严密的、完美的数学推理，从这些公理中推导出关于人类行为的定理

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如果有所谓的数学头脑的话,那么边沁(JeremyBentham,1748年～1832年,英国的法理学家、功利主义哲学家

)就具有这种有头脑.也的思维逻辑性最强,而且一丝不苟

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在其伦理学漫长发展的新阶段，边沁再现了当时十分流行的观点，并且对它作了适当的解释。随后，他通过引进数学概念开始探讨结论并进行修正。他的目标是衡量快乐与痉痛苦并使“快乐达到最在限度”。为了达到这一目标,这个道德世界的牛顿创立了“快乐的微积分”

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边沁关于人性的基本公理:趋利避害是人类活动潜在的、决定性的客观存在.第40页/共63页

以边沁为代表的伦理学家们成功地完成了基本的规划.他们利用人性的规律和人与人之间相互关系的公理,创建了富于逻辑性的伦理体系.政治学家们也开始仿效他们.在休谟充满信心的“政治可以简化成一门科学”的诊断的激发下,他们为自己的学科寻求公理

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对政府本质所作的上述探讨,回答了下列一系列问题：

为什么政府会存在？它从哪里获得了权力?它在什么情况下超出了这一权力？如何对待暴政？第41页/共63页

最简明扼要地表述洛克这一关于政府的哲学,对政府所持的态度最具有理性化的是要算是十八世纪一份“数学性”的文件.这份文件就是著名的美国《独立宣言》(TheDeclarationofIndependence),它引用了许多洛克的话:

第42页/共63页

“我们坚信这些不言而喻的真理：人人生面平等,他们都从他们的“造物主”那里被赋予了某些不可转让的权利，其中包括生命权、自由权和追求幸福的权利。为了保障这些权利，所以才在人们中间成立政府。而政府的正当权利，系得自被统治者的同意。如果遇有任何一种形式的政府变成是损害这些目的的，那么，人民就有权利来改变它或废除它，以建立新的政府。这新的政府，必须是建立在这样的原则基础上，并且是按照这样的方式来组织它的权力机关，就是人民看来那是最能够促进他们的安全和幸福的。”第43页/共63页

我们注意到，这份文件以不言而喻的真理作为论证的开头，这些真理与作为任何数学体系基础的不证自明的公理有同等的作用.

新的经济学遵循政治学和伦理学中的理性的、渗透着数学思想的方法，它的基础仍然是人的本性的科学.经济学本身的公理与人的本性的科学相结合，由此得到一些推论

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第44页/共63页

十八世纪有两个主要的经济学派别，一个是由弗朗斯瓦·魁奈(FrancoisQuesnay,1694年～1774年)创立的重农学派，另一个是由亚当·斯密(AdamSmith,1723年～1790年，经济学鼻祖)以及后来的约翰·斯图亚特·穆勒(JohnStuartMill,1806年～1873年)领导的古典学派。他们都承认公理性的经济真理的确存在着。他们也都认为永恒不变的经济规律是自然现象。因此，完全有可能创立一门有关财富的科学。经济学家必须探索和揭示经济规律

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第45页/共63页

这两个学派所陈述的公理对我们来说是非常熟悉的,并且直到今天，仍然是大多数人的主要观点.每个人都按照自己的利益行事。人人都享有自由、财产和安全的权利，以及土地和劳动力是财富的唯一来源，这些都是当时的公理

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第46页/共63页

中国在春秋战国时期也有百家争鸣的学术风气,但是没有实行古希腊统治者之间的民主政治,而是实行君王统治制度.春秋战国时期,也是知识分子自由表达见解的黄金年代.当时的思想家和数学家,主要目标是帮助君王统治臣民、管理国家.因此,中国的古代数学,多半以“管理数学”的形式出现,目的是为了丈量田亩、兴修水利、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标.理性探讨在这里退居其次.因此,从文化意义上看,中国数学可以说是“管理数学”和“木匠数学”,存在的形式则是官方的文书

.第47页/共63页

古希腊的文化时尚,是追求精神上享受,以获得对大自然的理解为最高目标.因此,“对顶角相等”这样的命题,在《几何原本》里列入命题15,借助公理3(等量减等量,其差相等)给予证明.在中国的数学文化里,不可能给这样的直观命题留下位置

.本教程的视角是：

本教程《数学史与数学文化》,从自然哲学的角度阐述数学的文化价值,特别指出数学对人类文化的影响,以及在一定文化背景下数学的发展进程.第48页/共63页本教程的结构是：数学文化从属于自然哲学的数学文化自由数学时代的数学文化中华特色的数学文化人的本性的科学的数学文化数学鉴赏第49页/共63页本教程的内容是：第一章数学的发展历程第一节数学名称的起源第二节数学的定义第三节数学发展的几个主要阶段及其特征第二章对自然界数学设计的信念第一节数学设计信念的形成第二节数学设计信念的发展第三节数学设计信念的结晶第50页/共63页第三章自然的萧声第一节乐音的基本概念第二节天体的音乐第三节数学与音乐的关系第四节音律的确定第五节梅森频率定律第六节傅里叶分析第四章自由的数学第一节里程碑事件：微积分的发现第二节英雄的世纪：数学的爆炸式扩张第三节形而上学的基础第四节作为人的自由创造物的数学第51页/共63页第五章人的本性的科学的数学原理第一节人的本性的科学是演绎科学第二节伦理学的数学原理第三节政治学的数学原理第四节经济学的数学原理第六章新几何,新世界第一节几何学的起源和《几何原本》第二节试证第五公设第三节非欧几何的创立和发展第四节非欧几何的技术性内容第52页/共63页第七章中华特色的数学文化第一节中国数学的发展历程第二节中国数学的大一统特征第三节中国数学的功利性特征第八章美的世界第一节美的历程第二节数学美第三节自然美第九章数学欣赏第53页/共63页数学浪漫:

笛卡尔的爱情故事

斯德哥尔摩的街头,52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀

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那时,落魄、一文不名的笛卡尔过着乞讨的生活,全部的财产只有身上穿得破破烂烂的衣服和随身所带的几本数学书籍

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一个宁静的午后,笛卡尔照例坐在街头.突然,有人来到他旁边,拍了拍他的肩膀:“你在干什么呢?”扭过头,笛卡尔看到一张年轻秀丽的脸庞,一双清澈的眼睛如湛蓝的湖水,楚