专题6：立体几何中点到面的距离求法基础练习题

专题6：立体几何中点到面的距离求法基础练习题.如图，在四棱锥P—A3C。中，AB//CD> CD=2AB^PAJL平面ABCD，?为。。的中点.(I)证明：AE〃平面PBC：(II)若PA=CD=2,求点E以平面P8C的距离..棱长为1的正方体ABCQ—AB£A中，E、尸分别是棱A4、中点，求点与到平面厂的距离..如图，在三棱锥P—45c中，AC1BC,BC=6AP=CP,。是4C的中点，尸0=1,OB=2,1比=小.

（1）证明：8C_L平而PAC：（2）求点A到平而P8C的距离..如图所示，在三棱锥尸一45C中，尸C_L平而48C,PC=3,D、E分别为线段A3、BC上的点,且CD=DE=6，CE=2EB=2.（I）求证：平面PC。；（II）求点3到平而PZ）E的距离..如图所示，在梯形CQEF中，四边形A3CQ为正方形，且Af=8/=A5=1,将△ATE沿着线段A。折起，同时将ABC尸沿着线段BC折起.使得E,尸两点重合为点（1）求证：平而平面A8CD：（2）求点。到平面P8C的距离儿.如图所示在长方体45GA中，AA=2,43=4,AD=6,M,N分别是。G，4c的中点.

(1)求证：MN〃平而ADDA(2)求C到平而AMN的距离..直三棱柱ABC—A'8'C'中，底面ABC为等腰直角三角形，AC=BC=2,AAf=yfb,E为AB中点.(1)证明：AC'〃而CE*：(2)求大到面CE面的距离..如图，在长方体ABCD-AMGA中，43=2，3c=1,A&=3,M为AA1的中点，N为CR的中点.AL VB(1)证明：MN〃平而A8CQ：(2)求点2到平面CDW的距离.所以8C_L平而所以BCLPB.1 11 2所以匕•:枝维p-scD=]xSABCDxPA=-x-x2xBCx2=-BC.在RMR45中，AB=\,PB=JPA?+ABi=E1=B所以$△pe=；xBCx逐=，8C.设点D到平面PBC的距离为d,则」xdx立bc=2bc，解得,/=拽.3 2 3 5所以点E到平面PBC的距离是”.【点睛】本题主要考查证明线面平行，考查等体积法求点到而的距离，属于常考题型.在5【分析】利用等体积法列方程，解方程求得点B1到平而户的距离.【详解】依题意。流=Jr+(2_1=正，V⑶ 2•:A'BJ/EF=>A瓦〃平而D】EF,点Bi到平而D】EF的距离即为点儿到平面D.EF的距离，根据正方体的性质可知EF1Dfi,设点B1到平而D.EF的距离为〃，即gx3*EFxO]Ex〃=；xgxA[。[xA]ExEFA{D}xA}E~~D^E即点Bi到平面D\EF的距离为4.5【点睛】要求点到平面的距离，可利用等体枳法列方程，通过解方程来求得点面距.（1）证明见解析：（2）【分析】（1）证明OP_L平面ABC得出QP_L8C,结合AC_LBC得出8C_L平而PAC：（2）根据匕-/耽=%..•计算点A到平而P8C的距离.【详解】解：（1）证明：・.・AP=CP，。是AC中点，.•.R9_L4C,由已知得 =08?，:.PO1OB，又AC，no8=o,08u平面ABC，「.PO,平面ABC，POYBC,/ACIBC.POC\AC=O,POu平面PAC,8C_L平面尸AC.（2）解：设点A到平而P8C的距离为/z,•.•在RtAOCB中，OC=ylOB2-BC2=1>则尸2+。。2=叵3C_L平面P4C,8C_L尸。，S.卡-Dy8r -'**'匕-P8C=^P-ABC»Kpt8c=-SMBCPO=f・；S"比.力=曰一h=呢,即点A到平面PBC的距离为V2.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，棱锥体积与点到平面的距离计算，属于基础题.（1）见解析；（2）点3到平面PQE的距离为之匡.22【解析】试题分析：（1）PC上DE,CDLOE,所以OEJL平面尸CQ；（2）利用等体积法,V*PDE=ViDE，所以点B到平而PDE的距离为大史.22试题解析:（【）证明：由PC,平面48C,。石u平面48C,故PC_LO£由CE=2,CD=DE=e,得△（?£>£为等腰直角三角形，故CDLDE.又PCcCD=C,故。石，平面尸8.（，，）由⑴知‘A。七为等腰直角三角形,"CE=g过。作。尸垂直CE于尸，易知DF=CF=EF=L又。石，平面PCD,所以£）E_LP£），PD=^PC?+CD?=47.设点B到平面P£陀的距离为力，即为三棱锥B-PDE的高,(IlVb-PD£=''p_BDE得%Sy[)E.卜=1S油de，P。即1.2..尸0.0七./?=1.2_.8石。尸尸。，32 32即ViTx-Jix/?=1x1x3»所以。=—，所以点B到平而PDE的距离为空2.22（1）见解析；（2）”2【分析】（1）由底而A8CO为正方形，可得AQ_L平面P48,由平面与平而垂直的判定定理即可证明.（2）作PO_LA3交A8于。，易得尸。_L平而ABCD.可求得匕，由％-比•/）=匕）_W即可求得点D到平而PBC的距离h【详解】（1）证明：•.•四边形A8CO为正方形，：-AD±AB.又•••A。_LAE.即AO_L帖,且弘ClAS=A,，AQ_L平面248,又〈ADu平面ABCD，平而PAB_L平而ABCD：（2）过点尸作PO_L/W交AB于0,如下图所示：由（1）知平面248_L平而ABC。・♦•PO_L平而ABCD.v_1 _161_Q,•Vp_BCD一寸P°XS瓯D -又•••Vp_bcd=Vd_pbc.1cTOC\o"1-5"\h\z3 „ 12冏1 1I」632 12解得力=正2所以点D到平而PBC的距离h=正2【点睛】本题考查了平而与平面垂直的判定，等体枳法求点到平而的距离,属于基础题.12（1）证明见解析：（2）—.【分析】（1）分别取和A0的中点及/，连接£M.RV,利用中位线定理可证四边形EMNf是平行四边形，所以EF//MN，再根据线而平行的判定定理，即可证明结果：（2）以。为原点，。4。。,。口分别为乂），逐，建立空间直角坐标系。一冲2，根据题意可求出a,c,r,ua-M.n点的坐标，进而求出平面AMN的法向量，再根据空间向量中点到平面的距离公式即可求出结果.【详解】分别取。A和的中点瓦尸，连接B则AW〃DC且EW=，OC；FNHDC&FN,DC2 2所以EM"FN,且EM=FN,所以四边形EA/A"是平行四边形，所以EF//MN,又EEu平面AO24，MN（Z平面AO24,所以MN〃平面AORA：（2）以。为原点，。4。。,。2分别为乂乂2,建立空间直角坐标系。一不z,如图所示:由题意，则A(6,0.0),C(0.4.0).R(0.0,2),C(0,4.0)，A(6,0.2),又M,N分别是。G，AC的中点,所以M(0,2,I),N(320),所以m=(-3,2,-2),硒=(-6.2.T),萌=(0.-2」)；设平面4MN的法向量为/；=(x,)，,z),则n-AM=0 [-3x+2y-2z=0 9, —77 =<，c八，令Z=3，则x=l,y=7：n-A}N=0 [-6x+2y-z=0 2所以〃=[1,5,3),I™ |-9+3|12设。到平面4MN的距离为/?,则'=邛「=-^『=71.【点睛】本题主要考查了线而平行的判定定理的应用，以及空间向量的在求点到平面距离中的应用，属于基础题.（1）证明见解析：（2）卡.【分析】（1）利用线而平行的判定定理证明即可.（2）利用面而垂直的判定定理证出而。七&_1_而433/‘，过A'作A'G_LE?,A'G的长即为A'到面CE*的距离，根据△A'B'G=^EB即可求解.【详解】(1)证明：连接3C',设8C'n&C=O,连OE，则。上是三角形ABC的中位线，AC//OEACaCEB，=AC//而CEB'.OEuCEB'CE1AB](2)= 而ABB'A'A而CE4上面ABB'A，CEA.AA过H作AG_LEB',垂足为G,易知AG_LifiiCE3',则AG的长即为A'到面CE19的距离，aA'B'G与aB'BE中,A3'=20=B'E，A®=2>/2=B'E,NA'8'G=/B'EB,ZAfGB'=ZB'EB，可知△AB'GvaB'EB,所以46=3'8=后.【点睛】本题考考查了线而平行的判定定理、而而垂直的性质定理、求点到面的距离，考察了逻辑推理能力，属于基础题.（1）证明见解析：（2）也二13【分析】（D构造平行四边形AENM,通过线线平行即可证明线而平行：（2）利用等体枳法，结合棱锥体枳的计算公式，即可求得点而距离.【详解】(1)证明：如图，取CO的中点£,连接AE，EN.A^~ ,:DE=EC,CN=D\N、NE//DD、且NE=>DD].2VM=2AM,AAJIDD\,：,AMMNE,AM=NE,：.四边形AENM为平行四边形，...MNIIAE.又•・•AEu平而A8CQ，肠Vz平面A8CQ,；・MN〃平面ABCD.(2