集合与简易逻辑专题讲解-人教老版

摘要：规范严谨，贴近高考.内容同步，全面考查.难度合理，梯度递进.关键字：专题讲解，集合与简易逻辑，高考二轮集合与简易逻辑专题讲解-----人教老版写作：崔北祥§集合的概念及其基本运算基础自测1.（2022·山东，1）满足M,且M的集合M的个数是.答案22.设集合A=，则满足AB=的集合B的个数是.答案43.设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a-5|},MU,UM={5,7},则a的值为。答案2或84.(2022·四川理，1)设集合U=AB则U（AB）等于.答案5.（2022·南通高三模拟）集合A=，B=，R（AB）=.答案（-∞,0）(0,+∞)例1若a,bR,集合求b-a的值.解由可知a≠0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：①或②由①得符合题意；②无解.所以b-a=2.例2已知集合A=，集合B=(1)若AB，求实数a的取值范围；(2)若BA，求实数a的取值范围；（3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由.解A中不等式的解集应分三种情况讨论：①若a=0，则A=R;②若a＜0，则A=③若a＞0，则A=(1)当a=0时，若AB，此种情况不存在.当a＜0时，若AB，如图，则∴∴a＜-8.当a＞0时，若AB，如图，则∴∴a≥2.综上知，此时a的取值范围是a＜-8或a≥2.(2)当a=0时，显然BA；当a＜0时,若BA，如图，则∴∴-当a＞0时，若BA，如图，则∴∴0＜a≤2.综上知，当BA时，-0（3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B.由（1）、（2）知，a=2.例3（14分）设集合AB（1）若AB求实数a的值；（2）若AB=A求实数a的取值范围；（3）若U=R，A（UB）=A.求实数a的取值范围.解由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A=2分（1）∵AB∴2B，代入B中的方程,得a2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3;当a=-1时，B=满足条件；当a=-3时，B=满足条件；综上，a的值为-1或-3.4分（2）对于集合B，=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵AB=A∴BA,①当＜0,即a＜-3时，B=，满足条件；②当=0，即a=-3时，B=，满足条件；③当＞0，即a＞-3时，B=A=才能满足条件，6分则由根与系数的关系得即矛盾；综上，a的取值范围是a≤-3.9分（3）∵A（UB）=A，∴AUB，∴AB=；10分①若B=，则＜0适合；②若B≠，则a=-3时，B=，AB=，不合题意；a＞-3，此时需1B且2B.将2代入B的方程得a=-1或a=-3（舍去）；将1代入B的方程得a2+2a-2=0∴a≠-1且a≠-3且a≠-113分综上，a的取值范围是a＜-3或-3＜a＜-1-或-1-＜a＜-1或-1＜a＜-1+或a＞-1+14分例4若集合A1、A2满足A1=A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A=的不同分拆种数是.答案271.设含有三个实数的集合可表示为也可表示为其中a,d,qR,求常数q.解依元素的互异性可知，a≠0,d≠0，q≠0,q≠.由两集合相等，有（1）或（2）由（1）得a+2a（q-1）=aq2,∵a≠0,∴q2-2q+1=0,∴q=1(舍去).由（2）得a+2a(q2-1)=aq,∵a≠0,∴2q2-q-1=0,∴q=1或q=-∵q≠1,∴q=-综上所述,q=-2.（1）若集合P=S且SP,求a的可取值组成的集合；（2）若集合A=B且B，求由m的可取值组成的集合.解（1）P=当a=0时，S=，满足SP；当a≠0时，方程ax+1=0的解为x=-为满足SP,可使或即a=或a=-故所求集合为（2）当m+1＞2m-1，即m＜2时，B=，满足BA；若B≠，且满足BA，如图所示，则即∴2≤m≤3.综上所述，m的取值范围为m＜2或2≤m≤3,即所求集合为3.已知集合A=B，试问是否存在实数a，使得AB=？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.解方法一假设存在实数a满足条件AB=，则有（1）当A≠时，由ABB=，知集合A中的元素为非正数，设方程x2+(2+a)x+1=0的两根为x1,x2,则由根与系数的关系，得（2）当A=时，则有△=(2+a)2-4＜0，解得-4＜a＜0.综上（1）、（2），知存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.方法二假设存在实数a满足条件AB≠，则方程x2+(2+a)x+1=0的两实数根x1,x2至少有一个为正，因为x1·x2=1＞0，所以两根x1,x2均为正数.则由根与系数的关系，得解得又∵集合的补集为∴存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.4.(2022·陕西理，12)设集合S=，在S上定义运算为：AiAj=Ak,其中k为i+j被4除的余数，i,j=0，1，2，3,则满足关系式(xx)A2=A0的x(xS)的个数为.答案2一、填空题1.(2022·江西理，2)定义集合运算：A*B=设A=B则集合A*B的所有元素之和为.答案62.已知全集U={0，1，3，5，7，9}，A∩UB={1}，B={3，5，7}，那么（UA）∩(UB)=.答案{0，9}3.设全集U=R,集合M={x|x≤1或x≥3},集合P=，且UM≠，则实数k的取值范围是.答案0＜k＜34.集合A={y∈R|y=lgx，x＞1}，B={-2，-1，1，2}，则(RA)∩B=.答案{-2，-1}5.已知集合P={（x，y）||x|+|y|=1}，Q={（x，y）|x2+y2≤1}，则P与Q的关系为.答案PQ6.（2022·徐州模拟）设A，B是非空集合，定义A×B=，已知A=，B=，则A×B=.答案7.集合A={x||x-3|＜a，a＞0}，B={x|x2-3x+2＜0}，且BA，则实数a的取值范围是.答案［2，+∞）8.(2022·福建理，16)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）,则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域;数集F={a+b|a,b∈Q}也是数域.有下列命题:①整数集是数域;②若有理数集QM,则数集M必为数域;③数域必为无限集;④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是.(把你认为正确的命题的序号都填上)答案③④二、解答题9.已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.（1）若A是空集，求m的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求m的值；（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.解集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集.（1）∵A是空集，∴方程mx2-2x+3=0无解.∴Δ=4-12m＜0,即m＞.（2）∵A中只有一个元素，∴方程mx2-2x+3=0只有一个解.若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x=;若m≠0，则Δ=0，即4-12m=0,m=.∴m=0或m=.(3)A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，得m=0或m≥.10.（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈A，求实数a的值；（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值.解（1）由题意知：a+2=1或（a+1）2=1或a2+3a+3=1，∴a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2,∴a=0即为所求.（2）由题意知,根据元素的互异性得即为所求.11.已知集合A=B=（1）当m=3时，求A（RB）；（2）若AB，求实数m的值.解由得∴-1＜x≤5,∴A=.（1）当m=3时，B=，则RB=，∴A（RB）=.(2)∵A=∴有42-2×4-m=0,解得m=8.此时B=,符合题意，故实数m的值为8.12.设集合A={（x,y）|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈N*}，问是否存在非零整数a,使A∩B≠？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由.解假设A∩B≠，则方程组有正整数解，消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0.（*）由Δ≥0，有（a+2）2-4a(a+1)≥0,解得-.因a为非零整数，∴a=±1，当a=-1时，代入（*），解得x=0或x=-1,而x∈N*.故a≠-1.当a=1时，代入（*）,解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得A∩B≠,此时A∩B={（1，1），（2，3）}.§命题及其关系、充分条件与必要条件基础自测1.(2022·成化高级中学高三期中考试)若命题“对xR，x2+4cx+1＞0”是真命题，则实数c的取值范围是.答案2.（2022·湖北理，2）若非空集合A、B、C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则下列说法中正确的是.(填序号)①“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件②“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件③“x∈C”是“x∈A”的充要条件④“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件答案②3.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的命题.答案否4.（2022·浙江理，3）已知a,b都是实数,那么“a2＞b2”是“a＞b”的答案既不充分也不必要5.设集合A、B，有下列四个命题：①AB对任意x∈A都有xB;②ABA∩B=;③ABBA;④AB存在x∈A,使得xB.其中真命题的序号是.（把符合要求的命题序号都填上）答案④例1把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.（1）正三角形的三内角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）已知a，b，c，d是实数，若a=b,c=d,则a+c=b+d.解（1）原命题即是“若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等”.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形（或写成：三个内角相等的三角形是正三角形）.否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等.逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形（或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形）.（2）原命题即是“若两个三角形全等，则它们的面积相等.”逆命题：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等（或写成：面积相等的三角形全等）.否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等（或写成：不全等的三角形面积不相等）.逆否命题：若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等.（3）原命题即是“已知a,b,c,d是实数，若a=b,c=d，则a+c=b+d”.其中“已知a,b,c,d是实数”是大前提，“a与b,c与d都相等”是条件p，“a+c=b+d”是结论q，所以逆命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c=b+d，则a与b，c与d都相等.否命题：已知a,b,c,d是实数，若a与b,c与d不都相等，则a+c≠b+d.逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c≠b+d,则a与b,c与d不都相等.例2指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.（1）在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sinA=sinB；（2）对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;（3）非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；（4）已知x、y∈R，p：（x-1）2+（y-2）2=0，q：（x-1）（y-2）=0.解（1）在△ABC中，∠A=∠BsinA=sinB，反之，若sinA=sinB，因为A与B不可能互补（因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.(2)易知:p:x+y=8,q:x=2且y=6,显然qp.但pq,即q是p的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以pq但qp,故p是q的充分不必要条件.例3（14分）已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.证明（必要性）∵a+b=1，∴a+b-1=0，2分∴a3+b3+ab-a2-b2=（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2）5分=（a+b-1）（a2-ab+b2）=0.7分（充分性）∵a3+b3+ab-a2-b2=0，即（a+b-1）（a2-ab+b2）=0，9分又ab≠0,∴a≠0且b≠0,∴a2-ab+b2=（a-b2＞0,∴a+b-1=0,即a+b=1,12分综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.14分1.写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形.解（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.原命题为真命题，否命题也为真命题.（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”原命题是真命题，否命题是假命题.（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.原命题是假命题，否命题是真命题.2.（2022·湖南理，2）“|x-1|＜2成立”是“x(x-3)＜0成立”的条件.答案必要不充分3.证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.证明充分性：若ac＜0,则b2-4ac＞0,且＜0,∴方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根.必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根，则Δ=b2-4ac＞0,x1x2=＜0,∴ac＜0.综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.一、填空题1.下列命题：①5＞4或4＞5；②9≥3；③命题“若a＞b,则a+c＞b+c”的否命题；④命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为.答案12.（2022·重庆理，2）设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的条件.答案充分不必要3.“x＞1”是“x2＞x”的条件答案充分不必要4.（2022·成化高级中学高三期中考试）已知函数f(x)=ax+b(0≤x≤1),则“a+2b＞0”是“f(x)＞0”条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）答案必要不充分5.在△ABC中，“sin2A=”是“A=30°”的条件.答案必要不充分性6.（2022·安徽理，7）a＜0方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的条件.答案充分不必要7.设集合A=B则集合=.答案8.设A=B则使AB成立的实数m的取值范围是.答案m二、解答题9.求关于x的方程x2-mx+3m-2=0的两根均大于1的充要条件.解设方程的两根分别为x1、x2，则原方程有两个大于1的根的充要条件是即又∵x1+x2=m,x1x2=3m-2,∴故所求的充要条件为m≥6+2.10.已知x,y∈R.求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.证明（充分性）若xy≥0,则x,y至少有一个为0或同号.∴|x+y|=|x|+|y|一定成立.（必要性）若|x+y|=|x|+|y|,则(x+y)2=(|x|+|y|)2,x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,∴xy=|xy|,∴xy≥0.综上，命题得证.11.a,b,c为实数，且a=b+c+1.证明：两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明假设两个方程都没有两个不等的实数根，则Δ1=1-4b≤0,Δ2=a2-4c≤0,∴Δ1+Δ2=1-4b+a2-4c≤0.∵a=b+c+1,∴b+c=a-1.∴1-4(a-1)+a2≤0,即a2-4a+5≤0.但是a2-4a+5=(a-2)2+1＞0,故矛盾.所以假设不成立，原命题正确，即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根.12.设、是方程x2-ax+b=0的两个根，试分析a＞2且b＞1是两根、均大于1的什么条件？解令p:a＞2,且b＞1;q:＞1,且＞1,易知+=a,=b.①若a＞2,且b＞1,即不能推出＞1且＞1.可举反例：若所以由p推不出q②若＞1,且＞1，则+＞1+1=2,＞1.所以由q可推出p.综合知p是q的必要不充分条件，也即a＞2,且b＞1是两根、均大于1的必要不充分条件.§简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础自测1.已知命题p:则为.答案2.已知命题p:3≥3;q:3＞4，则下列判断不正确的是（填序号）.①pq为假，pq为假,p为真③pq为真，pq为假，p为真③pq为假，pq为假，p为假④pq为真，pq为假，p为假答案①②③3.(2022·广东理，6)已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题①()②③()(④()的是（填序号）.答案④4.下列命题中不是全称命题的是(填序号).①圆有内接四边形②＞③≤④若三角形的三边长分别为3,4,5，则这个三角形为直角三角形答案②③④5.命题：“至少有一个点在函数y=kx(k≠0)的图象上”的否定是.答案所有点都不在函数y=kx(k≠0)的图象上例1分别指出由下列命题构成的“pq”、“pq”、“p”形式的命题的真假.(1)p:3是9的约数,q:3是18的约数;(2)p:菱形的对角线相等,q:菱形的对角线互相垂直;(3)p:方程x2+x-1=0的两实根符号相同,q:方程x2+x-1=0的两实根绝对值相等.(4)p:是有理数,q:是无理数.解（1）∵p是真命题，q是真命题，∴pq是真命题，pq是真命题，p是假命题.(2)∵∵p是假命题,q是真命题,∴pq是真命题，pq是假命题，p是真命题.(3)∵p是假命题，q是真命题，∴pq是假命题，pq是假命题，p是真命题.（4）∵p是假命题，q是真命题，∴pq是真假命题，pq是假命题，p是真命题.例2(14分)已知两个命题r(x):sinx+cosx＞m,s(x):x2+mx+1＞0.如果对x∈R,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题.求实数m的取值范围实心.解∵sinx+cosx=sin（x+）≥-，∴当r(x)是真命题时，m＜- 3分又∵对x∈R，s(x)为真命题，即x2+mx+1＞0恒成立，有Δ=m2-4＜0,∴-2＜m＜2.6分∴当r(x)为真，s(x)为假时，m＜-，同时m≤-2或m≥2,即m≤-2; 9分当r(x)为假，s(x)为真时，m≥-且-2＜m＜2,即-≤m＜2. 12分综上，实数m的取值范围是m≤-2或-≤m＜2. 14分例3写出下列命题的“否定”，并判断其真假.（1）p：x∈R，x2-x+≥0；（2）q：所有的正方形都是矩形；（3）r：x∈R，x2+2x+2≤0；（4）s：至少有一个实数x，使x3+1=0.解（1），这是假命题，因为恒成立.(2)至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.(3)＞0，是真命题，这是由于＞0成立.(4)≠0，是假命题，这是由于x=-1时，x3+1=0.1.分别指出由下列命题构成的“pq”、“pq”、“p”形式的命题的真假.（1）p：4∈{2，3}，q：2∈{2，3}；（2）p：1是奇数，q：1是质数；（3）p：0∈，q：{x|x2-3x-5＜0}R；（4）p：5≤5，q：27不是质数；（5）p：不等式x2+2x-8＜0的解集是{x|-4＜x＜2},q：不等式x2+2x-8＜0的解集是{x|x＜-4或x＞2}.解（1）∵p是假命题，q是真命题，∴pq为真，pq为假，P为真.（2）∵1是奇数，∴p是真命题，又∵1不是质数，∴q是假命题，因此pq为真，pq为假，p为假.(3)∵0，∴p为假命题，又∵x2-3x-5＜0∴成立.∴q为真命题.∴pq为真命题，pq为假命题，p为真命题.（4）显然p：5≤5为真命题，q:27不是质数为真命题，∴pq为真命题，pq为真命题，p为假命题.（5）∵x2+2x-8＜0,∴(x+4)(x-2)＜0.即-4＜x＜2，∴x2+2x-8＜0的解集为∴命题p为真，q为假.∴pq为真，pq为假，p为假.2．已知a＞0,设命题p：函数y=ax在R上单调递减，q：不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，若p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围.解由函数y=ax在R上单调递减知0＜a＜1，所以命题p为真命题时a的取值范围是0＜a＜1，令y=x+|x-2a|，则y=不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，只要ymin＞1即可，而函y在R上的最小值为2a,所以2a＞1，即a＞.即q真a＞.所以命题p和q有且只有一个命题正确时a的取值范围是0＜a≤或a≥1.3.写出下列命题的否定并判断真假.（1）p：所有末位数字是0的整数都能被5整除；（2）q：x≥0，x2＞0;(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°;(4)t:某些梯形的对角线互相平分.解(1):存在一个末位数字是0的整数不能被5整除,假命题.（2）真命题.(3)：所有三角形的内角和都小于等于180°，真命题.(4)每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题.一、填空题1.今有命题p、q，若命题m为“p且q”，则“或”是的条件.答案充要2.已知命题p:由它们组成的“p或q”,“p且q”和“”形式的复合命题中，真命题的个数为.答案13.“p∨q”为真命题”是“p∧q为真命题”的条件.答案必要不充分4.命题“存在x∈Z使2x2+x+m≤0”的否定是答案对任意x∈Z，都有2x2+x+m＞05.若命题p:，则是.答案xA或xB