九年级寒假压轴专题训练教师课件

精选教课课件设计|Excellentteachingplan目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相像三角形问题例12012年苏州市中考第29题例22012年黄冈市中考第25题1.2因动点产生的等腰三角形问题例12012年扬州市中考第27题例22012年临沂市中考第26题1.3因动点产生的直角三角形问题例12012年广州市中考第24题例22012年杭州市中考第22题1.4因动点产生的平行四边形问题例12012年福州市中考第21题例22012年烟台市中考第26题1.5因动点产生的梯形问题例12012年上海市松江中考模拟第24题例22012年衢州市中考第24题1.6因动点产生的面积问题例12012年菏泽市中考第21题例22012年河南省中考第23题1.7因动点产生的相切问题例12012年河北省中考第25题例22012年无锡市中考第28题1.8因动点产生的线段和差问题例12012年滨州市中考第24题例22012年山西省中考第26题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1由比率线段产生的函数关系问题例12012年上海市徐汇区中考模拟第25题例22012年连云港市中考第26题2.2由面积公式产生的函数关系问题例12012年广东省中考第22题例22012年河北省中考第26题精选教课课件设计|Excellentteachingplan第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相像三角形问题例12012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线y1x21(b1)xb（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于444点B是左边），与y轴的正半轴交于点C．1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；2）请你研究在第一象限内能否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？假如存在，求出点P的坐标；假如不存在，请说明原因；（3）请你进一步研究在第一象限内能否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的随意两个三角形均相似（全等可看作相像的特别状况）？假如存在，求出点Q的坐标；假如不存在，请说明原因．图1思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC示意了点P到两坐标轴的距离相等．2．联络OP，把四边形PCOB从头切割为两个等高的三角形，底边能够用含b的式子表示．3．第（3）题要研究三个三角形两两相像，第向来觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．满分解答1）B的坐标为(b,0)，点C的坐标为(0,b)．42）如图2，过点所以PD＝PE．设点如图3，联络OP．

P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．P的坐标为(x,x)．所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝1bx1bx5bx＝2b．2428解得x16．所以点P的坐标为(16,16)．555图2图3（3）由y1x21(b1)xb1(x1)(xb)，得A(1,0)，OA＝1．4444①如图4，以OA、OC为邻边结构矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．精选教课课件设计|Excellentteachingplan当BAQA，即QA2BAOA时，△BQA∽△QOA．QAOA所以(b)2b1．解得b843．所以切合题意的点Q为(1,23)．4②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。所以△OCQ∽△QOA．当BAQA时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．QAOA所以C、Q、B三点共线．所以BOQA，即bQA．解得QA4．此时Q(1,4)．COOAb14图4图5考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O三点是确立的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的状况．这样，先依据△QOA与△QOC相像把点Q的地点确立下来，再依据两直角边对应成比率确立点B的位置．如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是切合题意的点Q呢？假如切合题意的话，那么点B的地点距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．例22012年黄冈市中考模拟第25题如图1，已知抛物线的方程C1：y1(x2)(xm)(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点Bm在点C的左边．1）若抛物线C1过点M(2,2)，务实数m的值；2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上能否存在点F，使得以点B、C、F为极点的三角形与△BCE相像？若存在，求m的值；若不存在，请说明原因．图1思路点拨精选教课课件设计|Excellentteachingplan1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．2．第（4）题的解题策略是：先分两种状况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或许作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．而后依据夹角相等，两边对应成比率列对于m的方程．满分解答（1）将M(2,2)代入y1m)，得214(2m)．解得m＝4．(x2)(xmm（2）当m＝4时，y1(x2)(x4)1x21x2．所以C(4,0)，E(0,2)．442所以S△BCE＝1BCOE1626．22（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．设对称轴与x轴的交点为P，那么HPEO．CPCO所以HP2．解得HP3．所以点H的坐标为(1,3)．3422（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．因为∠BCE＝∠FBC，所以当CEBC，即BC2CEBF时，△BCE∽△FBC．CBBF1(x2)(xm))，由FF'1(x2)(xm)2．设点F的坐标为(x,EO，得mx2mBF'COm解得x＝m＋2．所以F′(m＋2,0)．由COBF'，得mm4．所以BF(m4)m24．CEBFm24BFm由BC2CEBF，得(m2)2m24(m4)m24．m整理，得0＝16．此方程无解．图2图3图4②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，因为∠EBC＝∠CBF，所以BEBC，即BC2BEBF时，△BCE∽△BFC．BCBF在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得1(x2)(xm)x2．m解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，BF2(2m2)．(2m,0)由BC2BEBF，得(m2)2222(2m2)．解得m222．综合①、②，切合题意的m为222．精选教课课件设计|Excellentteachingplan考点伸展第（4）题也能够这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，依据两点间的距离公式求BF的长．1.2因动点产生的等腰三角形问题例12012年扬州市中考第27题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上能否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出全部切合条件的点

M的坐标；若不存在，请说明原因．图1思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．2．第（3）题分三种状况列方程议论等腰三角形的存在性．满分解答1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由BHPH，BO＝CO，得PH＝BH＝2．BOCO所以点P的坐标为(1,2)．图2（3）点M的坐标为(1,1)、(1,6)、(1,6)或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得此时点M的坐标为(1,1)．

m＝1．②如图

4，当

AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程

4＋m2＝10，得m

6

．精选教课课件设计|Excellentteachingplan此时点M的坐标为(1,6)或(1,6)．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1,6)时，M、A、C三点共线，所以此时切合条件的点M的坐标为(1,0)．图3图4图5例22012年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的地点．1）求点B的坐标；2）求经过A、O、B的抛物线的分析式；3）在此抛物线的对称轴上，能否存在点P，使得以点P、O、B为极点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明原因．图1思路点拨1．用代数法研究等腰三角形分三步：先分类，按腰相均分三种状况；再依据两点间的距离公式列方程；而后解方程并查验．2．此题中等腰三角形的角度特别，三种状况的点P重合在一同．满分解答（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，OC23．所以点B的坐标为(2,23)．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4,0)，设抛物线的分析式为y＝ax(x－4)，代入点B(2,23)，232a(6)．解得a3．6精选教课课件设计|Excellentteachingplan所以抛物线的分析式为y3x(x4)3x223x．663（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2,y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得y23．当P在(2,23)时，B、O、P三点共线（如图2）．②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以42(y23)216．解得yy223．1③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以42(y23)222y2．解得y23．综合①、②、③，点P的坐标为(2,23)，如图2所示．图2图3考点伸展如图3，在此题中，设抛物线的极点为D，那么△DOA与△OAB是两个相像的等腰三角形．由y3x(x4)3(x2)223，得抛物线的极点为D(2,23)．6633所以tanDOA23．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．31.3因动点产生的直角三角形问题例12012年广州市中考第24题如图1，抛物线y3x23x3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．41）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的随意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4,0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为极点所作的直角三角形有且只有三个时，．．．．求直线l的分析式．图1精选教课课件设计|Excellentteachingplan思路点拨1．依据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离到处相等，能够知道切合条件的点2．当直线l与以AB为直径的圆订交时，切合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线

D有两个．l与圆相切时，切合∠AMB＝90°的点M只有1个．3．灵巧应用相像比解题比较简易．满分解答（1）由y3x23x33(x4)(x2)，848得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4,0)、B(2,0)．对称轴是直线x＝－1．2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等．过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′．设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以DGCO3．BGAO4所以DG3BG9，点D的坐标为(1,9)．444因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．而D′H＝DH，所以D′G＝3DG27．所以D′的坐标为(1,27)．44图2（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线以AB为直径的⊙G假如与直线l订交，那么就有2个点联络GM，那么GM⊥l．

图3l老是有交点的，即M；假如圆与直线

2个点M．l相切，就只有

1个点

M了．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△EM1A中，AE＝8，tanM1EAM1A3，所以M1A＝6．AE4所以点M1的坐标为(－4,6)，过M1、E的直线l为y3x3．4依据对称性，直线l还能够是y3x3．4考点伸展第（3）题中的直线l恰巧经过点C，所以能够过点C、E求直线l的分析式．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5．所以三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直线CM过点C．精选教课课件设计|Excellentteachingplan例22012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比率函数与二次函数（1）当k＝－2时，求反比率函数的分析式；（2）要使反比率函数与二次函数都是y随（3）设二次函数的图象的极点为Q，当△

y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．x增大而增大，求k应知足的条件以及x的取值范围；ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．图

1思路点拨1．由点

A(1,k)或点

B(－1,－k)的坐标能够知道，反比率函数的分析式就是

y

k

．题目中的

k都是一致的．x2．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标还能够知道，A、B对于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O．3．依据直径所对的圆周角是直角，当Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．满分解答（1）因为反比率函数的图象过点A(1,k)，所以反比率函数的分析式是yk．x当k＝－2时，反比率函数的分析式是y2．x（2）在反比率函数yk中，假如y随x增大而增大，那么k＜0．x当k＜0时，抛物线的张口向下，在对称轴左边，y随x增大而增大．抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝k(x1)25k的对称轴是直线x1．242所以当k＜0且x1时，反比率函数与二次函数都是y随x增大而增大．2（3）抛物线的极点15k)，A、B对于原点O中心对称，Q的坐标是(,4当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．由OQ2＝OA2，得(1)2(5k)212k2．24解得k123（如图2），k223（如图3）．33精选教课课件设计|Excellentteachingplan图

2

图

3考点伸展如图

4，已知经过原点

O的两条直线

AB

与

CD

分别与双曲线

y

k

（k＞0）交于

A、B和

C、D，那么xAB与CD相互均分，所以四边形ACBD是平行四边形．问平行四边形ABCD可否成为矩形？可否成为正方形？如图5，当A、C对于直线y＝x对称时，AB与CD相互均分且相等，四边形ABCD是矩形．因为A、C能够无穷靠近坐标系可是不可以落在座标轴上，所以OA与OC没法垂直，所以四边形能成为正方形．

ABCD

不图4图51.4因动点产生的平行四边形问题例12012年福州市中考第21题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联络PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当此中一点抵达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）能否存在

t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明原因，并研究如何改变点（3）如图

Q的速度（匀速运动），使四边形2，在整个运动过程中，求出线段

PDBQ在某一时刻为菱形，求点PQ的中点M所经过的路径长．

Q的速度；精选教课课件设计|Excellentteachingplan图1图2思路点拨1．菱形PDBQ一定切合两个条件，点P在∠ABC的均分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再依据PQ//AB，对应线段成比率求CQ的长，进而求出点Q的速度．2．研究点M的路径，能够先取两个极端值画线段，再考证这条线段能否是点M的路径．满分解答1）QB＝8－2t，PD＝4t．32）如图3，作∠ABC的均分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．图3在Rt△APE中，cosAAE23，所以t10．APt53当PQ//AB时，CQCP，即CQ61032．63．解得CQCBCA89所以点Q的运动速度为321016．9315（3）以C为原点成立直角坐标系．如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．直线EF的分析式是y＝－2x＋6．如图6，PQ的中点M的坐标能够表示为（6t，t）．经考证，点M（6t，t）在直线EF上．22所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝25．图4图5图6精选教课课件设计|Excellentteachingplan考点伸展第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．设点M的运动路径的分析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，9a3bc0,得abc4,解得a＝0，b＝－2，c＝6．4a2bc2.所以点M的运动路径的分析式为y＝－2x＋6．例

2

2012

年烟台市中考第

26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个极点B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A为极点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的分析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为什么值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为什么值时，在矩形ABCD内（包含界限）存在点H，使以C、Q、E、H为极点的四边形为菱形？请直接写出

t的值．图1思路点拨1．把△ACG切割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD．2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．3．结构以C、Q、E、H为极点的平行四边形，再用邻边相等列方程考证菱形能否存在．满分解答（1）A(1,4)．因为抛物线的极点为A，设抛物线的分析式为y＝a(x－1)2＋4，代入点C(3,0)，可得a＝－1．所以抛物线的分析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）因为PE//BC，所以APAB2．所以PE1AP1t．PEBC22所以点E的横坐标为11t．2将x11t代入抛物线的分析式，y＝－(x－1)2＋4＝41t2．24所以点G的纵坐标为41t2．于是获得GE(41t2)(4t)1t2t．444精选教课课件设计|Excellentteachingplan所以SACGSAGESCGE1GE(AFDF)1t2t1(t2)21．244所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1．（3）t20或t2085．13考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ边形EH′CQ也是平行四边形．再依据FQ＝CQ列对于t的方程，查验四边形四边形EH′CQ能否为菱形．

是平行四边形．再结构点FECQ能否为菱形，依据

F对于PE轴对称的点H′，那么四EQ＝CQ列对于t的方程，查验E(11t,4t)，F(11t,4)，Q(3,t)，C(3,0)．22如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，所以(1t2)2(4t)2t2．2整理，得t240t800．解得t12085，t22085（舍去）．如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，所以(1t2)2(42t)2t2．2整理，得13t272t8000．(13t20)(t40)0．所以t120，t240（舍去）．13图2图31.5因动点产生的梯形问题例12012年上海市松江区中考模拟第24题已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和极点坐标；2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B对于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的极点为

P，其对称

轴与直线

y精选教课课件设计|Excellentteachingplan＝3x－3交于点E，若tanDPE3，7求四边形BDEP的面积．图1思路点拨1．这道题的最大阻碍是绘图，A、B、C、D四个点一定画正确，其实抛物线不用画出，画出对称轴就能够了．2．抛物线向右平移，不变的是极点的纵坐标，不变的是D、P两点间的垂直距离等于7．3．已知∠DPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点间的垂直距离等于7，那么点P向右平移到直线x＝3时，就停止平移．满分解答1）直线y＝3x－3与x轴的交点为A(1，0)，与y轴的交点为B(0,－3)．将A(1，0)、B(0,－3)分别代入y＝ax2＋2x＋c，得a2c0,解得a1,c3.c3.所以抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3．对称轴为直线x＝－1，极点为(－1,－4)．2）①如图2，点B对于直线l的对称点C的坐标为(－2,－3)．因为CD//AB，设直线CD的分析式为y＝3x＋b，代入点C(－2,－3)，可得b＝3．所以点D的坐标为（0，3）．②过点P作PH⊥y轴，垂足为H，那么∠PDH＝∠DPE．由tanDPE3，得tanPDHPH3．7DH7而DH＝7，所以PH＝3．所以点E的坐标为（3，6）．所以S梯形BDEP1(BDEP)PH24．2图2图3考点伸展第（2）①用几何法求点D的坐标更简易：因为CD//AB，所以∠CDB＝∠ABO．所以BCOA1．所以BD＝3BC＝6，OD＝3．所以D（0，3）．BDOB3例22012年衢州市中考第24题如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已精选教课课件设计|Excellentteachingplan知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数分析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问能否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明原因；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A一直在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．尝试究S能否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明原因．图1思路点拨1．假如四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形能够切割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分红的3小段，双侧的线段长线段．2．△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，能够经过割补获得，即△OFG减去△OEH．3．求△OEH的面积时，假如结构底边OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角边的比为1∶2．4．设点A′挪动的水平距离为m，那么全部的直角三角形的直角边都能够用m表示．满分解答1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，abc2,3，b7，c0．所以y3x27x．得c0,解得a4a2bc1.2222（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，假如梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，所以yA－yM′＝yP′－yB．直线OC的分析式为y1x，设点P的坐标为(x,1x)，那么M(x,3x27x)．2222解方程2(3x27x)1x，得x12，x22．2223x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以P(2,1)．33图2图3精选教课课件设计|Excellentteachingplan（3）如图3，△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，作EK⊥OD于K．设点A′挪动的水平距离为m，那么OG＝1＋m，GB′＝m．在Rt△OFG中，FG1OG1(1m)．所以SOFG1(1m)2．224在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以HG1A'G1(2m)11m．222所以OHOGHG(1m)(11m)3m．2在Rt△OEK中，OK＝2EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK；所以OK＝4HK．所以OK4OH43m2m．所以EK1OKm．3322所以SOEH1OHEK13mm3m2．2224于是SSOFGSOEH1(1m)23m21m21m11(m1)23．44224228因为0＜m＜1，所以当m1时，S获得最大值，最大值为3．28考点伸展第（3）题也能够这样来解：设点A′的横坐标为a．由直线AC：y＝－x＋3，可得A′(a,－a＋3)．由直线OC：y1x，可得F(a,1a)．22由直线OA：y＝2x及A′(a,－a＋3)，可得直线O′A′：y＝2x－3a＋3，H(3a3,0)．2由直线OC和直线O′A′可求得交点E(2a－2，a－1)．由E、F、G、H4个点的坐标，可得1.6因动点产生的面积问题例12012年菏泽市中考第21题如图1，在平面直角坐标系中搁置向来角三角板，其极点为A(0,1)、B(2,0)、O(0,0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，获得三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的分析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，能否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，恳求出点P的坐标；若不存在，请说明原因；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪一种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1思路点拨1．四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，能够转变为四边形PB′OB的面积是△A′B′O面积的3倍．精选教课课件设计|Excellentteachingplan2．联络PO，四边形PB′OB能够切割为两个三角形．3．过点向x轴作垂线，四边形PB′OB也能够切割为一个直角梯形和一个直角三角形．满分解答（1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为(－1,0)、(0,2)．因为抛物线与x轴交于A′(－1,0)、B(2,0)，设分析式为y＝a(x＋1)(x－2)，代入B′(0,2)，得a＝1．所以该抛物线的分析式为y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．（2）S△A′B′O＝1．假如S四边形PB′A′B＝4S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3S△A′B′O＝3．如图2，作PD⊥OB，垂足为D．设点P的坐标为(x，－x2＋x＋2)．S梯形PB'OD1DO(B'OPD)1x(2x2x2)1x31x22x．2222SPDB1DBPD1(2x)(x2x2)1x33x22．2222所以S四边形PB'A'DS梯形PB'ODSPDBx22x+2．解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．所以点P的坐标为(1，2)．图2图3图43）如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．考点伸展第（2）题求四边形PB′OB的面积，也能够如图4那样切割图形，这样运算过程更简单．SS

PB'O1B'OxP12xx．22PBO1BOyP12(x2x2)x2x2．22所以S四边形PB'A'DSPB'OSPBOx22x+2．甚至我们能够更勇敢地依据抛物线的对称性直接获得点P：作△A′OB′对于抛物线的对称轴对称的△BOE，那么点E的坐标为(1，2)．而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．因此点E就是要研究的点P．例22012年河南省中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，直线y1x1与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B2精选教课课件设计|Excellentteachingplan的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．1）求a、b及sin∠ACP的值；2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分红两个三角形，能否存在合适的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明原因．图1思路点拨1．第（1）题因为CP//y轴，把∠ACP转变为它的同位角．2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种状况议论．满分解答（1）设直线y1x1与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．2在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以AE5．所以sinAEO25．5因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．所以sinACP25．5将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得4a2b30,16a4b33.解得a1，b1．22（2）由P(m,1m21m3)，C(m,1m1)，222得PC(1m1)(1m21m3)1m2m4．2222所以PDPCsinACP25PC25(1m2m4)5(m1)295．55255所以PD的最大值为95．5（3）当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，m5；2当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，m32．9精选教课课件设计|Excellentteachingplan图2考点伸展第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．而DNPDcosPDNPDcosACP525(1m2m4)1(m2)(m4)，5525BM＝4－m．①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，

1(m2)(m4)9(4m)．解得m5．51021(m2)(m4)10(4m)．解得m32．5991.7因动点产生的相切问题例12012年河北省中考第25题如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．1）求点C的坐标；2）当∠BCP＝15°时，求t的值；3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．图1答案（1）点C的坐标为(0,3)．（2）如图2，当P在B的右边，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°，t43；如图3，当P在B的左边，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°，t433．图2图33）如图4，当⊙P与直线BC相切时，t＝1；如图5，当⊙P与直线DC相切时，t＝4；精选教课课件设计|Excellentteachingplan如图6，当⊙P与直线AD相切时，t＝5.6．图4图5图6例22012年无锡市中考模拟第28题如图1，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A出发，以每秒3厘米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P抵达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为如何的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？图一答案（1）因为AQt，AP3tt，所以AQAP．所以PQ//BC．AB2AC232ABAC（2）如图2，由PQ＝PH＝1PC，得t1(233t)．解得t436．22如图3，由PQ＝PB，得等边三角形PBQ．所以Q是AB的中点，t＝1．如图4，由PQ＝PC，得t233t．解得t33．如图5，当P、C重合时，t＝2．所以，当t436或1＜t≤33或t＝2时，⊙P与边BC有1个公共点．当436＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．图2图3图4图51.8因动点产生的线段和差问题精选教课课件设计|Excellentteachingplan例12012

年滨州市中考第

24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2,（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的分析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．

－4)、O(0,0)、B(2,0)三点．图1答案（1）y1x2x。（2）AM＋OM的最小值为42．2图2图3例22012

年山西省中考第

26题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的极点．（1）求直线AC的分析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．尝试究：跟着点P的运动，在抛物线上能否存在点Q，使以A、P、Q、C为极点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出切合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明原因；（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．图

1思路点拨1．第（2）题研究平行四边形，依据AP为边或许对角线分两种状况议论．2．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，结构点B对于“河流”AC的对称点MB＋MD最小，△MBD的周长最小．

B′，那么

M落在

B′D上时，精选教课课件设计|Excellentteachingplan满分解答1）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x＋1)(x－3)＝－(x－1)2＋4，得A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)、D(1,4)．直线AC的分析式是y＝3x＋3．（2）Q1(2,3)，Q2(17,3)，Q3(17,3)．（3）设点B对于直线AC的对称点为B′，联络BB′交AC于F．联络B′D，B′D与交AC的交点就是要研究的点M．作B′E⊥x轴于E，那么△BB′E∽△BAF∽△CAO．在Rt△BAF中，AFBFAB，AB＝4，所以BF12．131010在Rt△BB′E中，B'EBEBB'，BB'2BF24，所以B'E12，BE36．13101055所以OEBEOB36321．所以点B′的坐标为(21,12)．5555因为点M在直线y＝3x＋3上，设点M的坐标为(x,3x＋3)．由DD'MM'，得yDyB'yMyB'4123x312．所以55．B'D'B'M'xDxB'xMxB'121x2155解得x9．所以点M的坐标为(9,132)．353535图2图3考点伸展第（2）题的解题思路是这样的：①如图4，当AP是平行四边形的边时，CQ//AP，所以点C、Q对于抛物线的对称轴对称，点Q的坐标为(2,3)．②如图5，当AP是平行四边形的对角线时，点C、Q分居x轴双侧，C、Q到x轴的距离相等．解方程－x2＋2x＋3＝－3，得x17．所以点Q的坐标为(17,3)或(17,3)．图4图5精选教课课件设计|Excellentteachingplan第二部分函数图象中点的存在性问题2.1由比率线段产生的函数关系问题例12012年上海市徐汇区中考模拟第25题在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB3，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上5的动点．1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°获得⊙M，请判断⊙M与直线AB的地点关系；2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；3）如图3，点N是边BC上的动点，假如以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y对于x的函数关系式及定义域．图1图2图3思路点拨1．∠B的三角比频频用到，注意对应关系，防备错杂．2．分三种状况研究等腰△OMP，各样状况都有各自特别的地点关系，用几何说理的方法比较简单．3．研究y对于x的函数关系式，作△OBN的边OB上的高，把△OBN切割为两个拥有公共直角边的直角三角形．满分解答（1）在Rt△ABC中，AC＝6，sinB3，所以AB＝10，BC＝8．5过点M作MD⊥AB，垂足为D．在Rt△BMD中，BM＝2，sinBMD3，所以MD6．BM55所以MD＞MP，⊙M与直线AB相离．图4（2）①如图4，MO≥MD＞MP，所以不存在MO＝MP的状况．②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，所以△BOM是直角三角形．在Rt△BOM中，BM＝2，cosBBO4，所以BO8．此时OA42．BM555③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE．在Rt△BOE中，BE＝3，cosBBE4，所以BO15．此时OA65．2BO588图5图6精选教课课件设计|Excellentteachingplan3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联络ON．当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．在Rt△BNF中，BN＝y，sinB3，cosB4，所以NF3y，BF4y．5555在Rt△ONF中，OFABAOBF10x4y，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2．5于是获得(xy)2(10x4y)2(3y)2．55整理，得y25050x．定义域为0＜x＜5．x40图7图8考点伸展第（2）题也能够这样思虑：如图8，在Rt△BMF中，BM＝2，MF6，BF8．55在Rt△OMF中，OF＝10x842x，所以OM2(42x)2(6)2．5555在Rt△BPQ中，BP＝1，PQ3，BQ4．55在Rt△OPQ中，OF＝10x446x，所以OP2(46x)2(3)2．5555①当MO＝MP＝1时，方程(42x)2(6)21没有实数根．55②当PO＝PM＝1时，解方程462(321，可得xOA42(x))555③当OM＝OP时，解方程(42x)2(6)2(46x)2(3)2，可得xOA65．55558例22012年连云港市中考第26题如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲抵达M点，乙抵达N点．1）请说明甲、乙两人抵达点O前，MN与AB不行能平行；2）当t为什么值时，△OMN∽△OBA？3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．精选教课课件设计|Excellentteachingplan图1答案（1）当M、N都在O右边时，OM24t12t，ON64t12t，OA2OB63所以OMON．所以MN与AB不平行．OAOB2）①如图2，当M、N都在O右边时，∠OMN＞∠B，不行能△OMN∽△OBA．②如图3，当M在O左边、N在O右边时，∠MON＞∠BOA，不行能△OMN∽△OBA．③如图4，当M、N都在O左边时，假如△OMN∽△OBA，那么ONOA．OMOB所以4t62．解得t＝2．4t26图2图3图4（3）①如图2，OM24t，OH12t，MH3(12t)．NHONOH(64t)(12t)52t．②如图3，OM4t2，OH2t1，MH3(2t1)．NHONOH(64t)(2t1)52t．③如图4，OM4t2，OH2t1，MH3(2t1)．NHOHON(2t1)(4t6)52t．综合①、②、③，sMN2MH2NH23(2t2(52t)216t232t2816(t1)212．1)所以当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．2.2由面积产生的函数关系问题例12012年广东省中考第22题如图1，抛物线y1x23x9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联络BC、AC．21）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE（3）在（2）的条件下，联络

的面积为s，求s对于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保存π）．精选教课课件设计|Excellentteachingplan图1思路点拨1．△ADE与△ACB相像，面积比等于对应边的比的平方．2．△CDE与△ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（1）由y1x23x91(x3)(x6)，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)．222所以AB＝9，OC＝9．2）如图2，因为DE//CB，所以△ADE∽△ACB．所以SADE(AE)2．SACBAB而SACB1ABOC81，AE＝m，22所以sSADE(AE)2SACB(m)2811m2．AB922m的取值范围是0＜m＜9．图2图3（3）如图2，因为DE//CB，所以CDBE9m．ADAEm因为△CDE与△ADE是同高三角形，所以SCDECD9m．SADEADm所以SCDE9m1m21m29m1(m9)281．m222228当m9时，△CDE的面积最大，最大值为81．28此时E是AB的中点，BE9．2如图3，作EH⊥CB，垂足为H．精选教课课件设计|Excellentteachingplan在Rt△BOC中，OB＝6，OC＝9，所以sinB3313．1313在Rt△BEH中，EHBEsinB9313213当⊙E与BC相切时，rEH．所以Sr2

2713．26．52考点伸展在此题中，△CDE与△BEC可否相像？如图2，固然∠CED＝∠BCE，可是∠B＞∠BCA≥∠ECD，所以△CDE与△BEC不可以相像．例22012年河北省中考第26题如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cosABC5．13研究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．拓展如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们以为S△ABD＝0）（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只好确立独一的点D，指出这样的x的取值范围．发现请你确立一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不用写出过程），并写出这个最小值．图1图2答案研究AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84．拓展（1）S△ABD＝1△1nx．2mx，SCBD＝2（2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得1mx1nx84．所以mn168．22x因为AC边上的高BG56，所以x的取值范围是56≤x≤14．55所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12．3）x的取值范围是x＝56或13＜x≤14．5发现A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为56．5例12009年临沂市中考第26题如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．精选教课课件设计|Excellentteachingplan1）求此抛物线的分析式；2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，能否存在点P，使得以A、P、M为极点的三角形与△OAC相像？若存在，恳求出切合条件的点P的坐标；若不存在，请说明原因；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求分析式时，设交点式比较简易．2．数形联合，用分析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．3．依据两条直角边对应成比率，分两种状况列方程．4．把△DCA能够切割为共底的两个三角形，高的和等于OA．满分解