江苏省奔牛2023学年高考数学二模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“Vxe（（）,1）,"">Inx"的否定是（）

x

A.VXG(0,1),^<InxB.3X(；e(0,1),e~°>Inx0

x

C.3x0e(0,1),e~0<Inx0D.Bx0e(0,1),"与<Inx()

2.若复数二满足（l+i）z=i（i是虚数单位），贝！Jz的虚部为（）

3.已知集合4={%|〃吆2%<1}，集合B={y[y=127卜则AU8=()

A.（-oo,2）B.（-oo,2]C.（0,2）D.[0,+<»）

22

4.已知双曲线C：与=1（a>0,fe>0）的焦距为8,一条渐近线方程为y=则（7为（）

a2b-

22

D犬九1

C.工上=1

16484816

5.如图，在Z/8C中，点M是边BC的中点，将Z/AT船着AM翻折成ZHB'M且点8不在平面」内，点?是线

段8'C上一点.若二面角，与二面角/的平面角相等，则直线.“经过448（的（）

A.重心B.垂心C.内心D.夕卜心

6,执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）

7153115

-B.—C.—D.—

881616

7.已知圆x2+y2—6x—7=0与抛物线丁=2〃%(〃>0)的准线相切，则〃的值为()

1

A.1B.2C.-D.4

2

8.已知定义在R上的奇函数/(x)和偶函数g(x)满足/(x)+g(x)=a'-a7+2(。〉0且。。1),若g(2)=a,则

函数/(V+2”的单调递增区间为()

A.(-1,1)B.(f1)C.(1收)D.(-1收)

9.记等差数列｛4｝的公差为d,前〃项和为S“.若，o=4O,4=5,则()

A.d=3B.《0=12C.$20=280D.q=-4

22

10.双曲线CI：5一4=1(。〉0，。>0)的一个焦点为歹(c,0)(c>0),且双曲线G的两条渐近线与圆。2：

6rb

(x—c)2+y2=£l均相切，则双曲线G的渐近线方程为()

4

A.x±\I?>y=0B.百x±y=0C.-J5x+y=0D.x+y[5y=0

11.下图为一个正四面体的侧面展开图，G为BF的中点,则在原正四面体中，直线EG与直线8c所成角的余弦值

为()

R瓜

旦15.-----

.V3

D.叵

6

12.点。为AABC的三条中线的交点，且。4_LO8,AB=2,则衣.前的值为（）

A.4B.8C.6D.12

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2e'-1,x<2

13./(%)={,则/（7（2））的值为

2

log3(x-1),x>2

14.抛物线V=4x上到其焦点的距离为1的点的个数为

x>1

15.已知%，）'满足x+y<4且目标函数z=2x+），的最大值为7,最小值为1,则「+"£=.

a

ax+by+c<0

16.设S“为数列｛a,,｝的前"项和，若。“〉0,ai=l,且2s“=«""GN*,则Sio=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采

用并联安装，再与一级过滤器串联安装.

二级过滤器,一"I>/

11

----7级过滤器

其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要

更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用

过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为

此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤

器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.

表1：一级滤芯更换频数分布表

一级滤芯更换的个数89

频数6040

以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率

代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.

（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；

（2）记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求X的分布列及数学期望；

（3）记相,〃分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若加+〃=19,且机w{8,9},

以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定也〃的值.

x-cosa

18.（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为〈.（a为参数），将曲线C上每一点的横坐标

y=sina

变为原来的0倍,纵坐标不变,得到曲线c2,以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线/：e=。

与曲线c?交于点P,将射线i绕极点逆时针方向旋转T交曲线c?于点Q.

（1）求曲线G的参数方程；

（2）求APOQ面积的最大值.

19.（12分）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现例如，豌豆携

带这样一对遗传因子：A使之开红花，。使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：A4为开

红花，Aa和aA一样不加区分为开粉色花，为开白色花.生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包

含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以,

2

的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的.可以把第〃代的遗传设想为第八次实验的结果，每一次实

验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状Aa的父系来说，如果抛出正面就选择因子A,如果抛出反面就选择因

子。，概率都是一，对母系也一样.父系、母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状.假设三种遗

2

传性状A4,A”(或aA),放在父系和母系中以同样的比例："：v:w(〃+v+w=1)出现，则在随机杂交实验中，遗

VV

传因子A被选中的概率是〃="+],遗传因子”被选中的概率是4=卬+万.称，，“分别为父系和母系中遗传因子

A和"的频率，p：q实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比.基于以上常识回答以下问题：

(D如果植物的上一代父系、母系的遗传性状都是Aa,后代遗传性状为A4,Aa(或岫)，的概率各是多少？

(2)对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系和母系中仅有遗传性状

为A4和Aa(或3)的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子A被选中的概率为P,。被选中的概率为夕，

p+q=L求杂交所得子代的三种遗传性状A4,Aa(或aA),用所占的比例%，匕，叱.

(3)继续对(2)中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为的个体假设得到的第〃代总体中3种遗传

性状A4,Aa(或M),所占比例分别为““,％%(%+匕,+吗=1).设第〃代遗传因子A和。的频率分别为P“和

u+』上1

纵，已知有以下公式“—"2〃,2〃一1.证明一是等差数列.

Pn，]〃9n

1-吗1-wnJ

(4)求〃,，5，叼的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？

20.(12分)某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花

卉.方案是：先建造一条直道DE将AABC分成面积之比为2:1的两部分(点。，E分别在边AB,AC上)；再取OE

的中点M,建造直道AM(如图).设AD=x,DE=弘,AM=y2(单位：百米).

(D分别求y,%关于x的函数关系式；

(2)试确定点。的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.

21.(12分)已知函数/(x)=xlnx+x,g(x)=j

e

(1)若不等式/(x)g(x)Wax2对恒成立，求a的最小值；

(2)证明:/(x)+l-x>g(x).

（3）设方程/（%）-8（%）=%的实根为%.令={/、.若存在西，与X,<x,,使得

、g（町，X>工0'

F（XI）=F（X2）,证明：F（X2）<F（2X0-X1）.

22.（10分）已知圆O:/+y2=4,定点41,0）,7>为平面内一动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O,设动点P的

轨迹为曲线C

（1）求曲线C的方程

（2）过点。（2,石）的直线/与C交于两点，已知点。（2,0）,直线x=Xo分别与直线。E，DE交于S,T两点，

线段ST的中点M是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据全称命题的否定是特称命题，对命题进行改写即可.

【详解】

全称命题的否定是特称命题，所以命题“也€（0』），07〉111%”的否定是：mr°e（0,l）,e』Wlnx。.

故选D.

【点睛】

本题考查全称命题的否定，难度容易.

2.A

【解析】

由（1+i）z=/.得z=一二，然后分子分母同时乘以分母的共枕复数可得复数二，从而可得二的虚部.

1+Z

【详解】

因为(l+i)z=i,

所以z=---=---------=----=---=—I—i,

1+Z（14-0（1-01-/1+122

所以复数二的虚部为!.

2

故选A.

【点睛】

本题考查了复数的除法运算和复数的概念，属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共枕复数，转化

为乘法运算.

3.D

【解析】

可求出集合A，B,然后进行并集的运算即可.

【详解】

解：A={x|0<x<2},B={y|y>0}；

AU8=[0,+w）.

故选O.

【点睛】

考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算.

4.A

【解析】

由题意求得c与2的值，结合隐含条件列式求得层，加，则答案可求.

a

【详解】

由题意,2c=8,则c=4,

又2=6,且“2+62=02,

a

解得层=4,b2=12.

22

双曲线C的方程为二—二=1.

412

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.

5.A

【解析】

根据题意P到两个平面的距离相等，根据等体积法得到S"BN=、PCM,得到答案.

【详解】

二面角尸-AM-8与二面角P-AM-C的平面角相等，故尸到两个平面的距离相等.

故‘P-AB'M=VP-ACM,即七-PB,M=VA-PCM,两三棱锥高相等,^4PB'M=SAPCM,

故B'P=CP,故P为CB中点.

故选：4

【点睛】

本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

6.D

【解析】

由程序框图确定程序功能后可得出结论.

【详解】

执行该程序可得5=0+**+:+*=*

故选：D.

【点睛】

本题考查程序框图.解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然

后求解.

7.B

【解析】

因为圆Y+V—6》一7=0与抛物线丁=2川(〃>0)的准线相切，则圆心为(3,0),半径为4,根据相切可知，圆心

到直线的距离等于半径，可知P的值为2,选B.

【详解】

请在此输入详解！

8.D

【解析】

根据函数的奇偶性用方程法求出/(x),g(x)的解析式，进而求出。，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.

【详解】

依题意有/(x)+g(x)=a*-尸+2,①

/(一x)+g(-x)=a~'-a'+2=-f(x)+g(x)，②

①一②得/(x)=ax-ax,g(x)=2,又因为g(2)=a,

所以。=2J(x)=2'-2T,/(x)在R上单调递增，

所以函数/(丁+2,的单调递增区间为(-1,”).

故选:D.

【点睛】

本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.

9.C

【解析】

由/=(4+；。"0=5(%+牝)=40,和4=5,可求得火=3,从而求得4和％,再验证选项.

【详解】

因为50=15±^112=5(/+%)=40,4=5,

所以解得为=3,

所以4二心一%=2,

所以4()=4+4〃=5+8=13,%=4-4d=3—8=—5,S20—2Qa}+190e/=-100+380—280,

故选：C.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式、前〃项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.

10.A

【解析】

bec

根据题意得到“化简得到/=3〃，得到答案.

V«2+b22

【详解】

h,bec

根据题意知：焦点F(C,O)到渐近线y=-x的距离为d=——,

ay/a+h~?2

故。2=3〃，故渐近线为x±>Ay=O.

故选：A.

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.

11.C

【解析】

将正四面体的展开图还原为空间几何体，A,。,产三点重合，记作。，取。。中点”，连接EG,E”,G〃，NEG”即

为EG与直线8c所成的角，表示出三角形EG"的三条边长，用余弦定理即可求得cosNEG”.

【详解】

将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中厂三点重合，记作。：

则G为3。中点，取。。中点“，连接EG,EH,GH,设正四面体的棱长均为。，

由中位线定理可得GH//8C且GH=-BC=-a,

22

所以ZEGH即为EG与直线3c所成的角，

\<2)2

由余弦定理可得cosZEGH=EG'GHN-EH：

2EGGH

313

2223

44--4

=6

与1

2X

22-

所以直线EG与直线BC所成角的余弦值为

6

故选：c.

【点睛】

本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.

12.B

【解析】

2AC-BC=3AOAC=2A0+W

可画出图形，根据条件可得,从而可解出《,然后根据Q4LQB,AB=2进

2BC-AC=3BOBC=2BO+AO

行数量积的运算即可求出ACBC^(2AO+BO)(2B0+AO)=8.

【详解】

如图:

点。为AABC的三条中线的交点

.•.AO=1(AB+AC)=1(2AC-BC),BO=1(BA+BC)=^(2BC-AC)

2AC-BC=3WAC=2A0+W

可得:

2BC-AC=3BOBC=2BO+AO

又因Q4_LQB,AB=2,

,•.....-232*2

ACBC=(2AO+BO)■(2BO+AO)=2AO+2BO=2AB=8-

故选：B

【点睛】

本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运

算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

先求/(I),再根据/(I)值所在区间求/(7(I)).

【详解】

1I

由题意，/(I)=10g3=1,故/(/(D)W⑴=lxe=l,故答案为：1.

【点睛】

本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.

14.1

【解析】

设抛物线上任意一点的坐标为(毛,%)，根据抛物线的定义求得%，并求出对应的即可得出结果.

【详解】

设抛物线上任意一点的坐标为(毛,%)，

抛物线y2=4x的准线方程为x=T,由抛物线的定义得X。+1=1,解得/=0,此时%=0.

因此，抛物线y2=4x上到其焦点的距离为1的点的个数为1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.

15.-2

【解析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y

轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可.

【详解】

由题意得：目标函数Z=2x+y在点B取得最大值为7,在点A处取得最小值为1,

AA(l,-1),8(3,1),

二直线AB的方程是：x-y—2=0,

.•.则£±如£=_2,故答案为-2.

a

【点睛】

本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题.

16.55

【解析】

由阴=2£=q(q+f)求出f=l.由2S“=a,,(a“+l),可得2s,一=4-(a,i+1),两式相减，可得数列｛叫是以1

为首项，1为公差的等差数列，即求A。.

【详解】

由题意，当”=1时，24=251=q(4+。，

,/4=1,2=1+1,:.t=\

当〃22时，由2Sa=。”(。“+1),

可得25"_|=an-\(an-l+1)，

两式相减，可得2%=a“(4,+l)-a,i(4)T+1),

整理得(q,+a,-)(4一6-1)=。，

-1=0,

即％一。,”1=1，

.••数列｛q｝是以1为首项，1为公差的等差数列,

S“,=10xl+l^xl=55.

102

故答案为：55.

【点睛】

本题考查求数列的前〃项和，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

52

17.(1)0.024；(2)分布列见解析，EX=w；(3)m=8,〃=11

【解析】

(1)由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16,则该套净水系统中一个一级过

滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，而由一级滤芯更换频数分布表和二级滤芯更换频数条

形图可知，一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6,二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2,再由乘法原理可

求出概率；

(2)由二级滤芯更换频数条形图可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4,5,6的概率分别为0.2,0.4,0.4,

而X的可能取值为8,9,10,11,12,然后求出概率，可得到X的分布列及数学期望；

(3)由加+〃=19,且加e{8,9},可知若m=8,则“=11,或若加=9,贝=再分别计算两种情况下的所

需总费用的期望值比较大小即可.

【详解】

(1)由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16,则该套净水系统中一个一级过滤

器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数

恰好为16”为事件A,

因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6,二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2,所以

尸(A)=0.6x0.2x0.2=0.024.

(2)由柱状图知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4,5,6的概率分别为0.2,0.4,0.4,由题意X的可能取

值为8,9,10,11,12,

从而P(X=8)=0.2x0.2=0.04,P(X=9)=2x0.2x0.4=0.16,

P(X=10)=2x0.2x0.4+0.4x0.4=0.32,P(X=11)=2x0.4x0.4=0.32,

P(X=12)=0.4x0.4=0.16.

所以X的分布列为

X89101112

P0.040.160.320.320.16

EX=8x0.()4+9x0.16+10x0.32+11x0.32+12x0.16=10.4(个).

或用分数表示也可以为

X89101112

14884

P

2525252525

8x—+9x—+10x—+11XA12X—=—

EX+（个）.

25252525255

（3）解法一：记丫表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用（单位：元）

因为〃2+〃=19,且〃?e{8,9},

1°若m-S,则〃=11,

孙=160x8+400x0.4+80x11+200x0.16=2352（元）:

2°若m=9,则”=10,

=160x9+80x10+200x0.32+400x0.16=2368（元）.

因为EY<EX，故选择方案：加=8,〃=11.

解法二：记分别表示该客户的净水系统在使用期内购买一级滤芯和二级滤芯所需费用（单位：元）

1°若m=S,则〃=11,

"看的分布列为

小12801680

P0.60.4

8801080

P0.840.16

该客户的净水系统在使用期内购买的各级滤芯所需总费用为

切+监=1280x0.6+1680x0.4+880x0.84+1080x0.16=2352（元）;

2。若m=9,贝!|〃=10,

&的分布列为

80010001200

P0.520.320.16

E%+砥=160x9+800x0.52+1000x0.32+1200x0.16=2368（元）.

因为+E。<Er)2+E&2

所以选择方案：加=8,〃=11.

【点睛】

此题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型，考查运算求解能力，属于中档题.

18.⑴卜=应孙。”为参数)；(2)也.

【解析】

(1)根据伸缩变换结合曲线C,的参数方程可得出曲线C?的参数方程；

(2)将曲线G的方程化为普通方程，然后化为极坐标方程，设点尸的极坐标为(门,。)，点。的极坐标为(Q，9+'

将这两点的极坐标代入椭圆。的极坐标方程，得出「：和°；关于。的表达式，然后利用三角恒等变换思想即可求出

△POQ面积的最大值.

【详解】

x-cosa

(i)由于曲线G的参数方程为.(。为参数)，

y=s\na

将曲线G上每一点的横坐标变为原来的0倍，纵坐标不变，得到曲线。2，

Y-J2cosa

则曲线C,的参数方程为、(a为参数)；

y=sina

(2)将曲线G的参数方程化为普通方程得：+丁=|，

化为极坐标方程得已卫2+「气皿2。=1,即夕2=一,

2l+SHT。

设点P的极坐标为(月,夕)，点。的极坐标为')，

c22"2

222-7X-"Z

将这两点的极坐标代入椭圆。的极坐标方程得■^滔1，1+sin2<1+COS>>

APOQ的面积为

1

&_1121

、hPOQ~~^P\P1—x—1——j—^2+(sincos9?)"

2J(l+sin%)(l+cos*Q){2+sin28cos2(p

当sin2。=0时，AP。。的面积取到最大值我=当

【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查了伸缩变换，同时也考查了利用极坐标方程求解三角形面积

的最值问题，要熟悉极坐标方程所适用的基本类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

:•⑵仁忧「〃答案见解析⑷答

19.(1)AA>Aa(或M),的概率分别是一，一，2—2(3)

42

案见解析

【解析】

(1)利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.

(2)利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.

(3)由⑵知““+i=P,,2,%=2p,g,w,m=q.2,求出p用、qn+l,利用等差数列的定义即可证出.

j।q/\2

(4)利用等差数列的通项公式可得一=一+5-1),从而可得为=1—,再由叱m=/2=_幺_,利用式子

%1i+〃q'1'U+qJ

的特征可得叫越来越小，进而得出结论.

【详解】

(1)即A”与Aa是父亲和母亲的性状，每个因子被选择的概率都是,，

2

故AA出现的概率是一x一,或出现的概率是一x—I—x—=—,

2222224

aa出现的概率是一x—

22

所以：AA,Aa(或6(A),的概率分别是二，—,—

424

22

(2)=p,vt=2pq,w[=q

(3)由(2)知%+i=P;，乙+i=2p“q“，吗+|="

〃,用+号P,.2।2P“名

于是，21

1一吗+ii—q：1+%

匕+i

PM,p“q“

(i—g”)(i+%)i+q.

=

%q“

•••P-是等差数列，公差为i

l/J

ii,,、

(4)—=—+(/?-1)

q”%

212p£

其中，二22q(由(2)的结论得)

12

1-wx1-<7]+q

11q

所以一=一+”=>%=丁^—

<7,,01+〃夕

、2

于是，%+i=q/q

1+%,

,P+nq，p+nq'2

外=J％=不7'%Pn

J+酩

cp(p+nq)

很明显吗+]q,“越大，卬向越小，所以这种实验长期进行下去,

14-nq/

巴越来越小，而必是子代中所占的比例，也即性状山会渐渐消失.

【点睛】

本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式、等差数列的定义、等差数列的通项公式，考查了学生的分析能力，属

于中档题，

x2+^$-6,xe[2,3].y=

20.(1)y—2++xe[2,3]

]Tlr-

(2)当A。=几百米时，两条直道的长度之和取得最小值V6+百米.

【解析】

2

（1）由5凶/,£=§5.叱，可解得隹・方法一：再在AADE中，利用余弦定理，可得X关于x的函数关系式；在MDE

和AAEM中，利用余弦定理，可得为关于x的函数关系式•方法二：在A4QE中，可得诙=通-亚，则有

DE2=AE-2AEAD+AD2＞化简整理即得；同理而7=而+通），化简整理即得.（2）由（1）和基本不等

式，计算即得.

【详解】

2

解：（1）vAABC是边长为3的等边三角形，又A0=x,

—AD-AE-sin—=——x32xsin—|AE=—.

233（23Jx

[0<AD=x<3

由＜,#2<x<3.

0<A£=-<3

x

法1：在AAD石中，由余弦定理，得

DE2=AD2+AE2-2ADAECOS-=X2+^--6.

3x2

故直道DE长度月关于x的函数关系式为％=+*—6,XG[2,3].

在A4D石和AAEM中，由余弦定理，得

AD?=£>"+AM?-2OM•AM•cosNAMD…①

松=余+4^2_2或/.411.85（乃_4^0…②

因为M为0E的中点，所以。M=

2

由①+②，得A£>2+AE2=。例2+E用2+2A〃2^-DE2+2AM2,

2

所以炉+（9[=1_//+*一6]+24知2,所以A"2=E+3+3.

2^x2）4x22

所以，直道AM长度力关于丫的函数关系式为

>2-'XG[2,3].

法2：因为在AAD石中，DE=AE-AD^

所以诙?=正—2荏.通+而2=仅1-2--xcos^+x2=X2+^$-6.

Ixjx3x

所以，直道DE长度月关于x的函数关系式为％XG[2,3].

在AM坦中，因为M为。E的中点，所以Z而=；(•万+通上

所以=：(赤2+亚?+2而.恁)=；(/+当+6).

所以，直道AM长度为关于X的函数关系式为)弓=左+之+3,x«2,3].

4x2

故当AO=几百米时，两条直道的长度之和取得最小值瓜百米.

【点睛】

本题考查了余弦定理和基本不等式，第一问也可以利用三角形中的向量关系进行求解，属于中档题.

21.(1)-(2)证明见解析(3)证明见解析

e

【解析】

(1)由题意可得，^—<a,令左(力=电>，利用导数得Mx)在［1,”)上单调递减，进而可得结论；

(2)不等式转化为lnx+,>e，令f(x)=lnx+L力(月=二，利用导数得单调性即可得到答案；

xexe

(3)由题意可得lnx°=进而可将不等式转化为/"(xJvbQxo-xJ,再利用单调性可得xjn%孑,

记，〃(x)=xlnx-一配「l<x<x°,再利用导数研究单调性可得”(x)在(1,%)上单调递增，即

〃7(£)<团(%)=0,即xjnx〈争仔，即可得到结论.

【详解】

(1)/(x)g(x)»泼，即(xlnx+x)•土2ox?,化简可得I"'+1£a.

eAex

令攵(%)=写11,《⑴二一士无+1),因为XN1,所以%1,lnx+121.

所以《(x)WO,A(x)在[1,例)上单调递减，^(x)<^(l)=j.

所以a的最小值为1.

e

JQ

(2)要证〃x)+l-x>g(x),即xlnx+1>-Y(X>0).