数学分析教案下

商洛学院教案

《数学分析》

之十二

第十二章数项级数（8+2学时）

教学大纲

教学要求：

1.熟练掌握数项级数收敛的概念与必要条件

2.掌握级数敛散性的Cauchy准则

3.熟练掌握正项级数收敛的各种判别法

4.掌握交错级数的Leibniz判别法

5.了解数项级数的Abel判别法和Dirichlet判别法

教学内容：

级数的收敛与和的定义，正项级数，比较判别法及其极限形式，比式判别法和根

式判别法，积分判别法，交错级数，绝对收敛与条件收敛，阿贝尔判别法和狄利

克雷判别法。

第页

时------月-------日课

§1级数的收敛性(2学时)

间星期-----------题

教学目的让学生掌握级数收敛和发散的概念以及收敛级数的性质

教学重点级数收敛定义和柯西准则，用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性

教学难点级数收敛定义和柯西准则，用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性

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教法选择讲练结合

教法运用及板书

教学过程

要点

级数概念

在初等数学中，我们知道：任意有限个实数相加，其结果仍是一个实数，

在本章将讨论一一无限多个实数相加一一级数一一所可能出现的情形及特

征。如

1111

---1-4-+…-1-----1-…

222232"

从直观上可知，其和为1。

又如，

1+(-1)+1+(—1)+…O

其和无意义；

若将其改写为：

则其和为：0；

若写为：

1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+---

则和为：1。(其结果完全不同)。

问题：无限多个实数相加是否存在和；

如果存在，和等于什么。

定义I给定一个数列，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式

W]+“2+〃3+•,•+〃〃+•••(])

称为数项级数或无穷级数(简称级数)，其中““称为级数(1)的通项。

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

第页

00

级数（1）简记为：£，，“，或£%,o

〃=1

级数的收敛性

记

S“=»k=%+%+••,+”“

k=l

称之为级数的第1个部分和，简称部分和。

n=l

定义2若数项级数的部分和数列｛S，/收敛于S（即！，场s“=s）,

n=l

则称数项级

数£”,，收敛，称S为数项级数的和，记作

/:=1«=1

q—Li,+孙+,•,+〃“+•••

»-LM«=。

7»=1

若部分和数列｛s〃｝发散,则称数项级数与“”发散。

试讨论等比级数（几何级数）

00

〉[aq"1=ci+uc[+aq~+…+aq"1+,,,

M,（aH0）

的收敛性。

解：见P2。

讨论级数

1111

+++•,,++•••

1-22-33-4n（n+1）

的收敛性。

解:见P2。

收敛级数的性质

由于级数的敛散性是由它的部分和数列｛s”｝来确定的，因而也可以认为数

项级数是数列｛s，，｝的另一表现形式。反之，对于任意的数列｛%｝,总可视

其为数项级数

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=4]+（劭-%）+（%-〃2）+…+（乐-an-\）+…

«=1

的部分和数列，此时数列｛%｝与级数

%+（%-%）+（。3-°2）+（4“一an-\）+…有

相同的敛散性，因此，有

定理12-1-1（级数收敛的Cauchy准则）级数（1）收敛的充要条件是：任

给正数£，总存在正整数N,使得当m>N以及对任意的正整数P,都有

+1+〃,"+2+…+〃,“+?<£

注：级数（1）发散的充要条件是：存在某个£。>°,对任何正整数N,总

存在正整数

机o（>N）,Po,有

U£

+"，”。+2+,•-+ma+P<l\~0o

推论（必要条件）若级数（1）收敛，则

limwn=0

"Too

注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3。

讨论调和级数

.111

1H-------1-----F•••4-------F…

23n

的敛散性。

解：显然，有

limwn=lim—=0

n—>con—>oo冷

但当令0=机时，有

1111

W，“+i+%“+2+”,“+3+…+%“|m+1m+2m+32m

、11111

2m2m2m2m20

因此，取万，对任何正整数N,只要加>"和「=机就有

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“，“。+1+〃/+2+...+“/+外|2£（）

故调和级数发散。

V—

应用级数收敛的柯西准则证明级数乙，/收敛。

证明：由于

111

W“M+〃,“+2+……|=^717+的+2）2+…+（加+0）2

m（m+1）（〃z+1）（加+2）m+p-l）（m+p）mm+pm

故对Ve〉O,取~=1±1使当m>N及对任何正整数P,都有

忆………+"|＜小

V—

故级数2小收敛。

若级数目""与都有收敛,

则对任意常数,，"，级数

定理12-1-2

00

Z（c〃“+dv”）

?:=1

也收敛，且

8CO8

Z（c〃“+小“）=cW"“+二匕，

n=]〃=1n=l

即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。

定理12-1-3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。

（即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）0

OO

若级数占收敛，设其和为s,则级数""+1+""+2+…也收敛，且其和

为

RN=S-SK

并称为级数宫""的第"个余项（简称余项），它代表用s”代替s时所产生的

误差。

定理12-1-4在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不

第页

改变它的和。

注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛(即去括

号法则不成立)。

如：

(1-1)+(1-1)H----F(1+-=0+0d---1-()+•■•

收敛，而级数

1-1+1-1+…

是发散的。

课后记

1、学生初次接触级数首先让学生知道级数主要是讨论无限多个数相加问题

的，对于

U|+“2+“3+0+0+0+,••

只是一种特殊情况。

2、用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性是重点，讲清用收敛性定义证

明级数收敛或发散主要是在用初等的方法处理S，，的技巧，用柯西准则证明

级数收敛或发散主要是放大

除+1+2+…++P|

的技巧放大后使式子中不含「并能解出加＞“正数”效果较好.

第页

f曰甘n月日营§2正项级数（3学时+1学时习题课）

间星期-------------题

教学目的让学生掌握判别正项级数敛散性的各种判别法

教学重点比式判别法和根式判别法，判别法的灵活运用

教学难点比式判别法和根式判别法，判别法的灵活运用

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教法选择讲练结合

教法运用及板书

教学过程

要点

正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同，则称它为

同号级数.对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数一一称为

正项级数.如果级数的各项都是负数，则它乘以一1后就得到一个正项级

数，它们具有相同的敛散性.

一正项级数收敛性的一般判别原则

若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究

各项都由正数组成的级数一一正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一

个负号，而这并不影响其收敛性。

定理12-2-1正项级数收敛。部分和数列｛s“｝有界。

证明：由于对必1，故炽｝是递增的，因此，有

收敛O⑸｝收敛O｛S，J有界。

定理12-2-2（比较原则）设客“"和之、'"均为正项级数，如果存在某个

正数N,使得对

>N都有

u„V乙

88

则（1）若级数收敛，则级数分‘'”也收敛；

第页

(2)若级数各"”发散，则级数各"也发散。

证明：由定义及定理12-2-1即可得。

V---------

考察急〃2一〃+1的收敛性。

解：由于当〃22时，有

1,11,1

---------«------=--------W--------

/一〃+1n2-nn(n-l)(n-1)2

V—!—

因正项级数占(“一1)2收敛，故

,t=i〃2—n4-1

收敛。

8

(、'S''

推论(比较判别法的极限形式)设和会"是两个正项级数，若

lim—=/

〃T8y

则(1)当°</<+c。时，级数〃""、同时收敛或同时发散；

(2)当/=°且级数收敛时，级数宾“”也收敛；

88

(3)当/=+(»且"=1发散时，级数日也发散。

证明：由比较原则即可得。

讨论级数02"-〃的收敛性。

V—V—?—

解：利用级数乙2”的收敛性，由推论可知级数乙2"-〃收敛。

例3由级数V乙-〃的发散性，可知级数乙Vs.in-〃是发散的。

二比式判别法和根式判别法

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

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定理12-2-3（达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设汇“”为正项级数，

且存在某个正整数及常数qe（0,1）:

若对>No,有“,，-q,则级数收敛：

加N1Y

若对有〃“，则级数乙册发散。

巴山~<q

证明：（1）不妨设对一切〃，有〃，，成立，于是，有

uu,u

—7Kg—二<q,…---l-t-4q,…

%,“2，”1。

故

UU/八〃-1

M2,3nsq

111U2M«-l,

即由于，当q6（0,1）时，级数天收敛，

由比较原则，可知级数Z"”收敛。

limn,,w0V'

因此时…8",故级数乙“u"发散。

推论（比式判别法的极限形式）设Z%为正项级数，且

lim^*=q

1811n

则（1）当q<i时，级数Z%收敛；

当q>i（可为+<»）时，级数Z%发散：

当g=i时，级数2册可能收敛，也可能发散。如：

证明：由比式判别法和极限定义即可得。

例4讨论级数

22-52-5-82-5-8---[2+3（n-l）]

+++…++…

11-51-5-9159…[1+4（〃一1）]

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

第页

的收敛性。

例5讨论级数汇"X”'（X>0）的收敛性。

定理12-2-4（柯西判别法，或称根式判别法）设为正项级数，且存

在某个正整

数N。及正常数/,

⑴若对必1〉"。，有疯则级数收敛；

⑵若对V〃>N。，有向NI,则级数2X发散。

证明：由比较判别法即可得。

推论（根式判别法的极限形式）设Z%为正项级数，且

lim向=/

…，

则⑴当/<1时，级数收敛；

（2）当/〉1（可为+8）时，级数发散；

（3）当4=1时，级数可能收敛，也可能发散。如：",工常。

例6讨论级数乙2"的敛散性。

解：由上推论即得。

lim=q=>lim'{[u~-q

说明：因"f"""4这就说明凡能用比式判别法判

定收敛性的级数，也能用根式判别法来判断，即根式判别法较之比式判别

法更有效。但反之不能，如例6。

三积分判别法

特点：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为

比较对象来判断正项级数的敛散性。

定理12-2-5设八为[】，+8）上非负减函数，则正项级数汇/（〃）与反常

积分工”、）必同时收敛或同时发散。

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证明：由假设/(X)为［1,+8)上非负减函数，则对任何正数A,F8在［1,

A］上可积，从而有了5)wj.,〃=2,3,…

依次相加，得

〃Jmw-l

<^/(n-1)=X

n=2n=2〃=1

若反常积分收敛，则对Vm,有

Sm=£/(〃)W/⑴+『/(x)dx4/(I)+J「fMdx

〃=1o

于是，知级数Z"〃)收敛。

反之，若级数Z/5)收敛，则对任意正整数机(>1),有

tn-\

JM/(x)dx«S“i=Z/(〃)4Z/(〃)=S

“W=,o

又因/(x)为［1，+8)上非负减函数，故对任何4>1,有

0<f［/Af(x)dx<S<S<“，］

［f(x)dx

故知，反常积分1八收敛。

同理可证它们同时发散。

讨论下列级数

y8-L181y8-------1--------

£〃P,£〃(ln〃)P,£"(ln〃)(lnln〃V

的敛散性。

课后记

1、这一节共讲了正项级数的4种判别法，要判别级数的收敛或发散首先要

选择用哪种判别法，其中用比较判别法、积分判别法的基础是要知道一些

级数或无穷积分的敛散性，而用比式判别法与根式判别法则是要与一些己

知的极限相联系，讲清这些有利于帮助同学们正确使用这些判别法。

2、用极限能判别级数的收敛性，反之，级数收敛的必要条件又提供一种求

极限的方法，这一方法在后面的课程里经常用到。

第页

第页

时------月-------日课

§3一般项级数(3学时+1学时习题课)

间星期-----------题--

教学目的让学生掌握一般项级数的收敛性问题

教学重点某些特殊类型的级数的收敛性问题，判别法的推导和灵活应用.

教学难点某些特殊类型的级数的收敛性问题，判别法的推导和灵活应用.

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教法选择讲授

教法运用及板书

教学过程

要点

一交错级数

若级数的各项符号正负相同，即

8

n=\

称为交错级数。

定理1223(莱布尼茨判别法)若交错级数

fl+,

Z(-D«n

n=l

满足下述两个条件：

(1)数列｛""｝单调式limi/,,=0

H减；⑵…。

则级数念收敛。且此时有

£(-1严〃“<u｝

r»=lo

证明：因S2,“T=%_(〃2-%)------(”2*2-“2”1)4%是递减的；

而S2m=(u]-lG)+(〃3-〃4)+…+(〃2刑T一〃2加)

是递增的。又

。<S2m-1-S2m="2m-。(m一>8),从而｛[S27M,｝是一个

闭区间套，故由闭区间套定,理知，存在唯一的一个数S,使

1而=lin门S2m=S

>8/n—>8

故数列｛sj收敛，即级数

n=\

收敛。

至于不等式

£(一1严%＜».

rt=l

由S2nlT即可得。

之(一1严'"“

推论若级数看满足莱布尼茨判别法的条件，则其余项估计式

为

CO

寓|=2(-1严如4％

』+i。

例：判别下列级数的收敛性：

9181CO

Z(-Dn+I—7^(一1严'弁

〃+l.〃=1(2/1-1)!,,10

n=\，，I=1。

二绝对收敛级数及其性质

若级数＞＞，，各项绝对值所组成的级数汇收敛，则称原级数Z““绝对

收敛。

定理12-3-2绝对收敛的级数一定收敛。

证明：由绝对收敛的定义及级数收敛的柯西准则即可得。

说明：对于级数是否绝对收敛，可用正项级数的各判别法进行判别。

qa“

对任何实数e,级数2r方是绝对收敛的。

若级数X""收敛，但级数汇.」发散，则称级数汇""条件收敛。

如：

X_8i严：1

„=i»+1

是条件收敛的；

X(-D,,+l--—

£(2/7-1)!

是绝对收敛的。

全体收敛的级数可分为绝对收敛级数和条件收敛级数两大类。

绝对收敛的级数有以下性质：

第页

级数的重排

定理12-3-3设级数Z"，，绝对收敛，且其和等于S,则任意重排后所得到

的级数也绝对收敛，且其和也不变。

注意：(1)由条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛：即使收

敛，也不一定收敛于原来的和数。

(2)条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先

指定的任何数。如：设

R1V1+11,1111111.

占n2345678,

则

n-11J】LA

2占“24682(

而

y(_ird4y(-irl=i4-l+l+l-l+...=^

念〃2普n325742

它正是第1个级数的重排。

2.级数的乘积

设有收敛级数

»，“=%+“2+--+〃“+--=4,⑴

v=v+vB

Z«i2+--+v„+--=(2)

它们每一项所有可能的乘积为：

〃产2M1V3...U\Vn...

»2V1设2V2W2V3...U2Vn...

«3V1必3y2U3V3...”3匕，...

(3)

・・・♦・・・・・•・・•・・・・・

U,,V2%匕...u„v......

・・••••・・・•••••・

定理12-34(柯西定理)若级数(1)、(2)都绝对收敛，则对(3)中所

有乘积“尸J按任意顺序排列所得到的级数工卬"也绝对收敛，且和等于

ABo

等比级数

第页

1一1=1+7+厂2+•••+/•”+•,”<1

是绝对收敛的，将（Z〃“）2按（15）的顺序排列。则得到

]

（1-r）2

为

T

]+（厂+尸）+（/2+/2+/2）----1_（r«t-------1_----

〃+：个

_1+2r+3r2H—+（〃+1»〃+・・•

注（3）中所有乘积处匕可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按

正方形顺序：

UiV]+〃]匕+〃2V2+〃2匕+〃2匕+〃2匕+〃3匕+〃3匕+〃3匕+.

或对角线顺序：

WjVj+W|V+WVj+〃[匕+〃2y2+〃3匕+•••

22o

三阿贝耳判别法和狄利克雷判别法

本段介绍两个判别一般项级数收敛性的方法，先引进一个公式：

引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换）设弓，匕«=1，2,…为两组

实数，若令

巴=匕+匕+…+匕，（A=1,2,…，〃）

则有下列求和公式成立：

〃

E弓匕=（£|一%）巧+（邑一%）％+…+（£,1-£“）b,i+

>=|。

证明：直接计算可得。

推论（阿贝尔引理）若（1）单调数组;

⑵对任一正整数有E=,+%+…+记

£=max{瓦|}

11,则有

七%M43M

hlo

证明：由阿贝尔引理即可得。

第页

定理12-3-5（阿贝尔判别法）若为单调有界数列，且级数Z2收

敛，则级数

Za也=*+4%+•••+。也+…

收敛。证明：由阿贝尔引理及柯西准则即可得。

如：由此判别法可知，当级数收敛时，级数

Z号（P＞。）

收敛。

定理12-3-6（狄利克雷判别法）若伍"｝为单调递减数列，且！%=°,

又级数的部分和数列有界，则级数

£a力"="e+a2b2+---+a„b„+…

收敛。

证明：同定理12-3-5o

若数列｛%｝为单调递减，且!即/=°,则级数

Z勺sin，优，Z%cos〃x

对任何尤€（0,2乃）都收敛。

解：由狄利克雷判别法即得。

课后记

阿贝耳变换与阿贝耳引理及其证明过程中所得的不等式虽然都是一些初等

的知识和技巧但是由于定理内容比较抽象同学们感到很难记忆，但它在以

后的证明中又经常用到，根据以往的经验我这一次在每次用到时都做一详

细的复习效果不错。

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

商洛学院教案

《数学分析》

之十三

第十三章函数列与函数项级数（8+2学时）

教学大纲

教学要求：

1.理解函数列一致收敛的概念，掌握函数列一致收敛的Cauchy准则

2.掌握一致收敛的函数列与其极限函数的连续性、可积性之间的关系

3.了解一致收敛的函数列与其极限函数的可微性之间的关系

4.熟练掌握函数项级数的一致收敛性的M-判别法

5.了解函数项级数的一致收敛性的Abel判别法、Dirichlet判别法

6.掌握一致收敛的函数项级数与其和函数的连续性、可积性、可微性之间的

关系

教学内容：

函数列和函数项级数的收敛与一致收敛概念，一致收敛的柯西准则，一致收敛判

别法，优级数判别法，一致收敛函数列与函数项级数的性质，函项求导和逐项积

分。

第页

时------月-------日课

§1一致收敛性（4学时）

间星期-------------题

教学目的让学生掌握函数列与函数项级数一致收敛的定义及其判别方法.

一致收敛定义、一致收敛的柯西准则、一致收敛的充要条件、一致收敛的优级数判

教学重点别法、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法.一致收敛与非一致收敛的定义的几何解释、

阿贝耳判别法和狄利克雷判别法的应用和证明.

教学难点同上

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教法选择讲练结合

教法运用及板书

教学过程

要点

我们知道，可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数，在此，将讨

论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数。

一函数列及其一致收敛性。

设

力/,…/，…⑴

是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列。也可简记

为：

｛/“｝或储”12…。

设X。€E,将X。代人力，，2,…，/"，…得到数列：

f\（xo）'fi（xo"（2）

若数列（2）收敛，则称函数列（1）在点〜收敛，称为函数列（1）的

收敛点。若数列（2）发散，则称函数列（1）在点、，发散。则称函数列（1）

在数集。uE上每一点都收敛，则称（1）在数集D上收敛。这时Vxe0,

都有数列｛/“｝的一个极限值与之对应，由这个对应法则就确定了D上的一

个函数，称它为函数列｛/“｝的极限函数。记作于是，有

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

第页

xeDo

函数列极限的£-N定义对每一个固定的xeD,对V£>0,3^V>0

（注意：一般说来N值的确定与£和》的值都有关），使得当〃>"时，总

有

使函数列｛/“｝收敛的全体收敛点的集合，称为函数列｛/“｝的收敛域。

例1设/"（幻=/，"=12…为定义在（一叫8）上的函数列，证明它的

收敛域是（TJ

且有极限函数

0,|x|<1

f(x)=

l,x=1

证任给£>0（不妨设£<1）,当。（岗<1时，由于

故只要取

z,、Ins

叱…碉,

则当〃>N（£,X）时，就有

\fSx)-f(X)\<£

而当x=°和X=1时，则对任何正整数"，都有

\fn（0）-/（0）|=0<£,|/„（1）-/⑴|=0<£

这就证得｛/“｝在（一U］上收敛，且有（3）式所表示的极限函数。

当凶>1时，则有W"f+8（〃-8）,当x=_l时，对应的数列为

1,1,…它显然是发散的。所以函数列卜"｝在区间（-1,1］外都是发散

的。

第页

例2定义在（-8，+°°）上的函数列,〃一1,2,…，由于对

sinnx<1

任何实数X,都有"一”，故对任给的

］sinnx_fsinnxy

£〉°,只要“匕就有〃'“。所以函数列〔«）的

收敛域为无限区间（一叫”），函数极限/（X）=°。

定义1设函数列｛$｝与函数/定义在同一数集D上，若对任给的正数

£，总存在某一正整数N,使得当"〉N时，对一切的xeO,都有

|/“（x）-/（x）<£

则称函数列｛/“｝在。上一致收敛于f,

定理13-1（函数列一致收敛的柯西准则）函数列｛工,｝在数集。上一致收

敛的充要条件是：对任给的正数£，总存在正数N,使得当〃，机>"时，

对一切xeO,都有

证［必要性］设对任给£>°,存在正数N,使得当时，对一切

xe。，都有

20（5）

于是当〃,m>N,由小）就有

\f„M-fmW|<|/„（x）-f（x）\+\f（x）-fm（到苦+」=£

［充分性］若条件（4）成立，由数列收敛的柯西准则，｛/,,｝在八上任

一点都收敛，记其极限函数为/*）,xe°。现固定（4）式中的“，让

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加->8,于是当〃〉N时，对一切xeD都有

|/„(x)-/(x)|<£-o

由定义1,证完。

定理13-2函数列｛/“｝在区间。上一致收敛于f的充要条件是：

limsup|y„(x)-y(x)=0

。(6)

证［必要性］对任给的正数£,存在不依赖与X的正整数N,当〃>N时，

有

\f„M-f(x)\<£xwD

，O

由上确界的定义，亦有

sup/“(X)-/(%)«£

D0

则有

limsup|/n(x)-y(x)|=O

〃T0°xeD。

［充分性］由假设，对任给的£〉°,存在正整数N,使得当“〉N,有

sup|/„(%)-/(%)<£

xwD。

因为对一切xe°,总有

/„(x)-/W-sup|/“(X)-/(X)

故由(7)式得

£(x)-/(x)<£。

于是""在。上一致收敛于f。

定义在［0,1］上的函数列

-21

2/?.x,0<x<——

2n

2I1

f(x)=v2〃-2〃~x,—<x<一

n2nn

0,-<x<l

n〃=1,2,…(g)

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由于f,5）=0,故

/（0）=lim/„（0）=0

M—>00°

1

当°<x〈l时，只要”>二，

就有£,（幻=0,

故在（0刀上有

fM=limfn（x）=0

于是函数列（8）在［0,1］上的极限函数/（x）=0,又由于

sup1/（x）-/（x）|=f（­）=〃-8

X避"1"2〃5—8）,

所以函数列（8）在［0,1］上不一致收敛。

二函数顶级数及其一致收敛性

设｛““（X）｝是定义在数集E上的一个函数列，表达式

〃i（x）+〃2（x）+…+"“（x）+…，xwE（9）

称为定义在E上的函数顶级数，简记为

工或2%㈤。称

〃=|

S.（x）=£4（x）

AT,xeE,〃=1,2,…（io）

为函数顶级数（9）的部分和函数列。

若X。€E,数顶级数"1（x（j）+»2（X0）""（Xo）+,,,（］1）

收敛，既部分和£'°当"f00时极限存在，则称级数（9）

在点与收敛，/称为级数（9）的收敛点，若级数（11）发散，则称级数

（9）在点与发散。若级数（9）在E某个子集D上每个点都收敛，则称级

数（9）在点D上收敛，若D为级数（9）全体收敛点的集合，这时则城D

为级数（9）的收敛域。级数（9）在D上每一点x与其所对应的数项级数

（11）的和S（x）构成一个定义在D上的函数，称为级数（9）的和函数，

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%(x)+“2(x)+…+"“(x)+…=S(x)

，，

limS“(x)=5(x)

即"T8八，,xenD。

也就是说，函数项级数(9)的收敛性就是指它的部分和函数列(10)的收

敛性。

定义在(-8,+8)上的函数项级数(几何级数)

1+x+x~+•••+xn+…(12)

的部分和函数为5"(")一1-x。故当W<1时，

S(x)=hmS“(x)=,

…l-xo

所以几何级数(12)在(一口)内收敛于和函数

S(x)=—i―

l-x；

当时，几何级数是发散的。

定义2(函数项级数一致收敛性定义)设｛S"(x»是函数项级数的部

«=1

分和函数列。若｛S"*)｝在数集D上一致收敛于函数S(x),则称函数项级

数在D上

n=l

一致收敛于函数S(x),或称在D上一致收敛。

”=1

由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来决定的，因此有

定理13-3(函数项级数一致收敛的柯西准则)函数项级数在D上一

/1=1

致收敛O对

于V£>0,3N,使得当〃>N时，对一切XC0和一切正整数P,都有

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即册+1（X）+〃“+2（X）+…+（X）<£。

特别地，当〃=1时，得到函数项级数收敛的必要条件：

推论函数项级数£，，“在D上一致收敛的必要条件是函数列｛“"（"）｝在

〃=]

D上一致收敛于0。

设£%=S（x）,xwD,称R"*）=S（x）—S”（x）为函数项级数

n=l

oo

的余项。

n=l

定理13-4函数项级数在D上一致收敛于S（x）0

n=l

limsup|/?H（x）|=limsup|S（x）-5„（x）|=0

“T8xeD'"+OJ€f）°

Vr"

讨论几何级数占在所给区间上的一致收敛性：

Hz,a]（0<a<l）.（-1,1）