2023高考数学(文)其次篇 函数导数及其应用 第6节 二

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第6节二次函数与幂函数

基础对点练(时间:30分钟)

1.(2023贵州模拟)幂函数y=f(x)经过点(3,),则f(x)是(D)

(A)偶函数,且在(0,+∞)上是增函数

(B)偶函数,且在(0,+∞)上是减函数

(C)奇函数,且在(0,+∞)上是减函数

(D)非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数

解析:设幂函数的解析式为y=xα,

将(3,)代入解析式得3α=,解得α=,所以y=,

应选D.

2.设y1=0.,y2=0.,y3=0.,则(B)

(A)y3y2y1(B)y1y2y3

(C)y2y3y1(D)y1y3y2

解析:y=是R上的单调递增函数,

所以0.0.,指数函数y=0.5x是定义域上的单调递减函数,所以0.0.,故y1y2y3.应选B.

3.(2023新余三模)若f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(4,+∞)上是增函数,

那么实数a的取值范围是(B)

(A)3,+∞)(B)-3,+∞)

(C)(-∞,-3](D)(-∞,5]

解析:二次函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=1-a,

所以二次函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在1-a,+∞)上是增函数,

由于在区间(4,+∞)上是增函数,

所以1-a≤4,解得a≥-3.应选B.

f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数且是

(0,+∞)上的增函数,则函数g(x)=的定义域为(A)

(A)(1,2)(B)(1,2]

(C)1,+∞)(D)(1,+∞)

解析:由于函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数且是(0,+∞)上的增

函数,

所以

解得m=-1,

所以函数g(x)==,

所以0x-11,

解得1x2,

故函数g(x)的定义域是(1,2),

应选A.

5.(2023陕西校级期末)若函数f(x)=x2+bx+c对任意x∈R都有

f(x-1)=f(3-x),则以下结论中正确的是(A)

(A)f(0)f(-2)f(5)(B)f(-2)f(5)f(0)

(C)f(-2)f(0)f(5)(D)f(0)f(5)f(-2)

解析:由于函数f(x)=x2+bx+c对任意x∈R都有f(x-1)=f(3-x),令x-1=t+1,则x=t+2,

所以f(t+1)=f(1-t),所以函数f(x)关于直线x=1对称.

所以f(0)=f(2),f(-2)=f(4),

由于二次项的系数=10,即二次函数f(x)=x2+bx+c的图象是开口向上的抛物线,

所以当x1时,f(x)单调递增,

所以f(2)f(4)f(5),

所以f(0)f(-2)f(5).应选A.

6.(2023全国Ⅲ卷)已知a=,b=,c=2,则(A)

(A)bac(B)abc

(C)bca(D)cab

解析:a3=()3=24=16,

b3=()3=9,

c3=(2)3=25,

所以c3a3b3,

所以cab.应选A.

7.(2023上海模拟)函数f(x)=x2-2x+1在区间0,m]上的最小值为0,最大值为1,则实数m的取值范围是.

解析:由于f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,

所以对称轴x=1,f(1)=0,f(2)=1,f(0)=1,

由于f(x)=x2-2x+1在区间0,m]上的最大值为1,最小值为0,

所以

所以1≤m≤2.

答案:1,2]

8.(2023南京校级期末)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈(m,m+1),都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是.

解析:由于函数f(x)=x2+mx-1的图象是开口向上的抛物线,

所以要使对于任意x∈(m,m+1),都有f(x)0成立,

则

解得-≤m≤0.

答案:-,0]

9.(2023全国Ⅰ卷)设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是.

解析:

?

?

所以x1,

或

??1≤x≤8

综上所述,x≤8.

答案:(-∞,8]

10.(2023衡阳校级模拟)已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1和f(x+1)-f(x)=2x.

(1)求f(x);

(2)求f(x)在区间-1,1]上的最大值和最小值.

解:(1)设f(x)=ax2+bx+c,

则f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b,

所以由题恒成立

所以得

所以f(x)=x2-x+1.

(2)f(x)=x2-x+1=(x-)2+在-1,]上单调递减,在,1]上单调递增,所以f(x)min=f()=,f(x)max=f(-1)=3.

11.点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2,)在幂函数g(x)的图象上.

(1)求f(x),g(x)的解析式;

(2)当x取何值时有:①f(x)g(x);②f(x)=g(x);

③f(x)g(x).

解:(1)设f(x)=xa,得2=()a,解得a=2,即f(x)=x2.

设g(x)=xb,将(-2,)代入g(x)=xb中,

得=(-2)b,解得b=-2,即g(x)=x-2.

(2)在同一坐标系下作出