数学分析教案上

商洛学院教案

《数学分析》

之一

第一章实数集与函数（10+2学时）

教学大纲

教学要求：

1.熟练掌握实数集的基本性质和确界存在原理

2.能够利用有理数集的稠密性证明相关的命题

3.理解函数概念，熟练掌握函数的四则运算、函数的有界性和单调性

4.理解函数确界概念

5.熟练掌握复合函数的概念，并掌握利用运算和复合来构造新函数的方法

6.熟练掌握基本初等函数并熟悉它们的图像，会通过它们构造简单的初等函

数

教学内容：

实数概述，绝对值不等式，区间和邻域，确界、确界原理，函数的几种表示法，

分段表示的函数，具有某些特性的函数，函数的四则运算，复合函数，反函数，

基本初等函数，初等函数。

教学重点：

函数、确界的概念及其有关性质。

1

第页

时-------月-------日课

学时）

间星期-------------题§1实数（4

教学目的使学生掌握实数的基本性质

1.理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；

教学重点2.牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式.（它们是分析论

证的重要工具）

教学难点实数集的概念及其应用

课型理论讲授（部分内容自学）教学媒体

教法选择讲练结合

教法运用及板书

教学过程

要点

复习引新：实数及其性质

1.实数

*黛:学成有限小数和虎胆小数.

有理数<（

［无理数:）

书无限不循环小数表示

R={xlx为7实数企体实数的集合.

［问题］有］里数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的.为

以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”.为

此作如下规定：

对于正有限小数X=%%…4,其中

0<a,.<9,/=1,2,尸0,旬为非负整数，

记X=..q-9999…；对于正整数x=a。，则己x=（%）—1）.9999…；

对于负有限小数（包括负整数）y,则先将-y表示为无限小数，现在所

得的小数之前加负号.0=0.0000…

例：2.001-2.0009999…

3->2.9999…

-2001->-2.009999-­•

-3――2.9999…

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

2

第页

利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.但新的问题

又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？

2.两实数大小的比较

1）定义1给定两个非负实数％=%a.…，>=瓦仇…〃，…。其

中丹,瓦为非负整数，%,比优=1,2,…）为整数，04449,0*49。

若有6=①，4=1,2,…，贝।麻x与y相等，记为x=y；若劭>瓦或存在

非负整数/，使得％=瓦/=1,2,,而a->仇+1,则称x大于y或y

小于x,分别记为》>>或）<X。对于负实数x、y,若按上述规定分别

有一x=->或一x>-y或一无<一y,则分别称为x=y或x<y或x>y。

规定：任何非负实数大于任何负实数.

实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）.

定义2（不足近似与过剩近似）：若x=…％…为非负实数，称

—1

x“=40巧。2…%为实数X的〃位不足近似；称X"=%+而7为实数X的

n位过剩近似。若x=-aoay•■••••为负实数，称xn--anat•••an---

为实数x的〃位不足近似；称工=-旬4…a,…为实数》的〃位过剩近似。

注：实数》的不足近似七当〃增大时不减，即有与4玉4%<…4x;过剩

近似七当n增大时不增，即有与Nx^xN…

命题：记x=…实数X的不足近似X,,当〃增大时不减，即有

x0<xi<x2<-<x;过剩近似当n增大时不增，即有

xo>X]>X>->Xa

记x=〃oq,,,〃”…，y=瓦瓦…b〃…为两个实数,则的等价条

件是：存在非负整数n,使（其中％为1的〃位不足近似，觉为

y的〃位过剩近似）。

命题应用-------例1

例1.设为实数，x<y,证明存在有理数一，满足x<r<y.

证.由x<y,知：存在非负整数n,使得当<先.令厂=；「〃+%），

3

第页

则r为有理数，且

x<xn<r<yn<y.即x<r<y.

3.实数常用性质

封闭性（实数集R对+,-,x,+）四则运算是封闭的.即任意两个实数的和、

差、积、商（除数不为0）仍是实数.

有序性：任意两个实数。力必满足下列关系之一：a<b,a>b,a=b.

传递性；a<b,b>c=>a>c.

阿基米德性：e>a>On三〃eN使得〃a〉b。

稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数.

实数集R与数轴上的点有着一一对应关系.

例2.设X/a/eR,证明：若对任何正数£,有“</?+£,则

（提示：反证法.利用“有序性”，取£=。一匕）

数相等的充要条件：a=b^Vs>Q,\a-b\<£

二、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）.

1.绝对值的定义实数。的绝对值的定义为lal=,

[-aa<0

2.几何意义：从数轴看，数。的绝对值lai就是点。到原点的距离。认

识到这一点非常有用，与此相应，\x-a\表示就是数轴上点x与。之间的

距离。

3.性质.

1）lal=l-al>O;lal=O««=O（非负性）；2）-lal<a<|«|；

3）\a\<ho-h<a<h,\a\<ho-h<a<〃.（〃>0）；

4）对任何有lal-lbKla±6IMal+lbl（三角不等式）;

5）\a\=ba\-\b\；6）-L—"HO）.

I4\b\

2.其他不等式：

（1）<72>2ab,

4

第页

|sinx|<l.|sinx\<\x\.

⑵均值不等式：对Vq,乙,…记

M(%)=.+勺+—+”“二巷％,(算术平均值)

〃〃,=1

G(《)=《。刈2…|口4，(几何平均值)

\/=!>

〃1n

"(《)=T—i------------f=「7~F=丁1.(调和平均值)

一+-+・••+——X—

«1«2an〃什%

有平均值不等式：

H(ai)<G(ai)<M(al),等号当且仅当％=电=一=4时成立.

(3)Bernoulli不等式：(在中学已用数学归纳法证明过)

Vx>—1,有不等式(l+x)n>\+nx,neN.

当x>—1且xwO,〃eN且〃N2时，有严格不等式

(1+X)">1+HX.

证：由l+x>0且

1+x力0,=>(1+x)"+〃一l=(l+x)"+1+1+…+1〉

>〃4(l+x)”=n(1+x).=>(1+x)">1+nx.

(4)利用二项展开式得到的不等式：对V〃>0,由二项展开式

,rt(n-l),2〃("一1)(〃一2),3,„

(1+A)=\+nh+—-----h~+-----------A5+■■■+/2,

2!3!

有(1+4)”>上式右端任何一项.

f一实数及其性质

［练习］P4.习题3.5［课堂小结］:实数：之…―

二绝对值与不等式

5

第页

-------月-------日课

时间§2数集•确界原理（2学时）（一）

星期-------------题

教学目的使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念

1.掌握邻域的概念：

教学重点

2.理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用

教学难点确界的概念及其有关性质（确界原理）

课型理论课教学媒体

教法选择讲授

教法运用

及板

教学过程

书要

点

一区间与邻域

区间用来表示变量的变化范围)

设eR且a<bo

开区间：{x£R1aVX</?}=(。,力),

有限区间，闭区间：{%w/?1。VxW。}=[a,切.

半开半闭区间!闭开区间:⑼

[开闭区间:"£对4<%"}=(〃向

区间<

[xeR\x>a]=[a,+oo).

{xeR\x<a]=(-oo,a].

无限区间<{x£R1%>Q}=(a,+8).

[xeR\x<a\=(-oo,a).

{xe7?1-oo<x<4-oo)=R.

邻域

点、a的b领域：

点a的空心3领[域：

点a的方左领域::

点、a的5右领域::

+0C的领域：

—0C的领域：

a的3邻域：设。£R,b〉0,满足不等式1x—Ql<5的全体实数X的集合称为点

a的3邻域，记作U(a;3),或简记为U(〃),即

6

U（a;S）={x|lx-a\<-（a-6,a+3）.

点a的空心8邻域

U"（a；^）={x|0<1x-al<^}={a—8,a）<J（a,a+3）.

a的b右邻域和点a的空心b右邻域

U+（a；3）={x\a<x<a+3}=[a；a+3）

U°+（a；^）={x|a<x<a+§\-{a-,a+8}

点a的3左邻域和点a的空心S左邻域

U_（a；<5）={x|a-6<x<a]=（a-6；a]

U°-（a；<5）={x|a-8<x<a]-（a-3；a）

（5）8邻域，+8邻域，—8邻域

U（oo）={x|lxl〉M},（其中M为充分大的正数）；

t/（+oo）={x[x>M^,U（-oo）={x[x<-M}

二、有界数集与确界原理：

1.有界数集：定义（上、下有界，有界），闭区间、（a,6）（。力为有限数）、

邻域等都是有界数集，集合E={yly=sinx,xe（-oo,+oo）}也是有界数

集.

无界数集：定义,（—8,+00）,（-8,0）,（0,+8）,等都是无界数集，

集合E={yly=',xe（0,1）}也是无界数集.

X

注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）无界集的定义

2.确界:给出直观和刻画两种定义.

三确界与确界原理

1、定义

定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数〃满足：（1）对一切

xeS,有（即77是S的上界）；（2）对任何a<7，存在X（）GS,使

得x0>a（即〃是S的上界中最小的一个），则称数〃为数集S的上确界，

记作〃=supS.

7

第页

定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数J满足：（1）对一切xeS,

有xNj（即q是S的下界）；（2）对任何/?>《，存在/eS,使得与</

（即J是S的下界中最大的一个），则称数片为数集S的下确界，记作

J=infS.

上确界与下确界统称为确界。

例1⑴S=h+^-|〃=l,2,…J,则

n

supS=___,infS=—

（2）E={y1y=sinx,x£（0,4）}则

supE=________,inf£=_________.

例2非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.

例3设S和A是非空数集，且有SnA则有

supS>supA,infS<infA

例4设A、B为非空数集，满足：对一切xeA和yeB有xWy.证明：

数集A有上确界，数集B有下确界，且supAWinfB.

证由假设，数集B中任一数），都是数集A的上界，A中任一数x都是B

的下界，故由确界原理推知数集A有上确界，数集B有下确界.

对任何yeB,y是数集A的一个上界，而由上确界的定义知,supA是数集

A的最小上界，故有supA<y.而此式又表明supA是数集B的一个下界，

故由下确界定义证得supA<infB.

三、确界原理：

设S为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有

下确界。

小结：区间与邻域，有界数集与确界原理：作业：P9：5；

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

8

f曰甘n月日营§2数集•确界原理（2学时）（续）

间星期-------------题

教学目的使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念

1.掌握邻域的概念；

教学重点

2.理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用

教学难点确界的概念及其有关性质（确界原理）

课型理论+实践教学媒体

教法选择讲练结合（部分内容引导学生自己完成）

教法运用及板书

教学过程

要点

叙述有界集，无界集的概念

叙述上、下确界的定义

证明：

（1）任何有限区间都是有界集；

（2）无限区间都是无界集；

（3）由有限个数组成的数集是有界集。

辨析：

1.数集与确界的关系：

确界不一定属于原集合.以例1⑵为例做解释.

2.确界与最值的关系：设百为数集.

⑴下的最值必属于总，但确界未必，确界是--种临界点.

⑵非空有界数集必有确界（见下面的确界原理），但未必有最值.

（3）若maxE存在，必有max£*=sup£1.对下确界有类似的结论.

三、确界原理：

设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有

下确界

9

例A和8为非空数集，S=AUA试证明

infS=min{infA,inf8}.。

证VxeS,有xwA或xe8,由infA和inf8分别是A和B的下界,

有x2infA或x>infB.=>x>min{inf/I,infB).即

min{infA,inf8}是数集S的下界，ninfS>min{infA,infB}.

又SnA,0S的下界就是A的下界,infS是S的下界，ninfS是A

的下界，ninfS<infA;同理有infS4inf8.于是有

infS<min{infA,inf5}.综上，有infS=min{infA,inf8}

习题辅导

p.92设S为非空数集，试对下列概念给出定义

(1)S无上界；(2)S无界.

解：(1)S无上界，我小，3"焉>”.

(2)$无界<=>VM>0,却eS,V恍|>M.

p.93试证明S={y：y=2-*，xeR}有上界而无下界.

证：因为VyeS,y42,所以s有上界；

又VM>0,取％=J3+MeR,

%=2-%；=2-3-〃=-l-M<-M,故s无下界.

P.96设S非空数集，定义S-={x：-xeS},证明

(1)infS~=-supS；(2)supS-=-infS.

证：(1)、设supS=J,则VxwS"-xwS,师~x<^,相xN-J,

由此知—supS是s-的下界.又V£>0,瑞eS,，于是

故inf=-supS.同理可证supS-=-infS.

小结：确界的概念及其有关性质(确界原理)

作业：p.9习题2.习题6(2)

10

第页

1星期-土――5§3函数概念(2学时)

深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表

教学目的示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分

析初等函数的复合关系。

教学重点初等函数的定义、性质及其图象

教学难点初等函数复合关系的分析

课型理论教学媒体

教法选择讲授+演示(部分内容自学)

教法运用及板书

教学过程

要点

引言：关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解。为便于今后的学

习，本节将对此作进一步讨论。

-函数的定义

1.定义1设D,MuR,如果存在对应法则/,使对X/xe。，存

在唯一的一个数yeV与之对应，则称/是定义在数集D上的函数，记作

/:。M(xIfy).

函数/在点X的函数值，记为/"),全体函数值的集合称为函数/的值

域，记作即

/(D)={yly=/(x),xe£>}»

(1)函数定义的记号中“f:DTM”表示按法则/建立D到M的函数

关系，xlfy表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作xlf—(x)。

习惯上称x自变量，y为因变量。

(2)函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。

我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则。

(3)函数的定义域与存在域(自然定义域)。

(4)“映射”的观点来看，，函数/本质上是映射，对于ae。，/(a)称

为映射了下a的象。。称为/(a)的原象。

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

II

第页

二函数的表示方法

1主要方法：解析法(分式法)、列表法和图象法。

2可用“特殊方法”来表示的函数。

分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。

l,x>0

例如sgnx=<0,x=0，(符号函数)

—1,x<0

(借助于Sgnx可表示f(x)x1,即f(x)=1x1=xsgnx)。

(2)用语言叙述的函数。(注意；以下函数不是分段函数)

例1)y=[X](取整函数)

~当X为有理数，—、

2)O(x)=〈八北班H工1H将(Dirichlet)

[0,当x为无理数，

当x=R(p,qeN+,K为假分数)，虫

3)R(x)=〈qqq(Riemman函数)

0,当》=0,1和(0,1)内的无理数.

三函数的四则运算

给定两个函数eO],g,XeQ,记。=£)|口。2，并设。定

义/与g在D上的和、差、积运算如下：F(x)=f(x)+g(x),xeD；

G(x)=/(x)-g(x),xe。；H(x)=/(x)g(x),xeD

若在D中除去使g(x)=0的值，即令

D=O\{x|g(x)H0,xer>2}*"，后在D上定义/与g的商运算如

下：L(x)="^,xeO

g(x)

注：1)若。=Ac。2=。，则/与g不能进行四则运算。

2)为叙述方便，函数/与g的和、差、积、商常分别写为：

f+g,f-g,fg,L

g

12

第页

四复合运算

1.例子

例：质量为m的物体自由下落，速度为v,则功率E为

尸12])

E=—mv1,

2>=>E=7

v=gtJ2

1,

我们得到两个函数/(V)=]«w2,v=gf,把v(f)代入/,即得

/(%))=

这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”。

[问题]任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；

y-f(u)-arcsinw,MeD=[-1,1],M-g(x)-2+x2,xeE-R

就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外

函数”的定义域的交集不空(从而引出下面定义)。

2.定义(复合函数)设有两个函数y=/(«),«eDu=g(x),x&E

记E={x1g(x)eZ)}cE手(/),则对每一个xeE*.可通过函数g对应D

内唯一的一个值”，而“又通过函数f对应唯一的一个值)，.这就确定了一

个定义在E*上的函数，它以x为自变量，y为因变量，记作

y=/(g(x))，xeE*或y=(/og)(x)=/og,xe£"

称为函数/和g的复合函数，并称/为外函数，g为内函数，N为中间变

量。

3.例子

例1讨论函数y=/(w)=V^,we[0,+oo)与函数

U-g(x)=1-e(-8,+8)能否进行复合，求复合函数。

4注：

1)复合函数可由多个函数相继复合而成。每次复合，都要验证能否进行？

在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？

例如：y=sinu,u=y/v,v=1-x2,复合成：y=sin--^2,1,1].

13

第页

2)不仅要会复合，更要会分解。把一个函数分解成若干个简单函数，在

分解时也要注意定义域的变化。

①V=log„Vl-x2,xe(0,l)->y=log„u,u=z=l-x2.

②y=arcsiny/x2+1fy=arcsinw,M=dx2+1.

③y=2sin2jtfy=2",〃=v=sinx.

五、反函数

1反函数概念

设函数y=/(x),xw。。满足：对于值域/(。)中的每一个值y,D中有

且只有一个值x，便导/(x)=y,则按此对应法则得到一个定义在/(D)上

的函数，称这个函数为一的反函数，记作

P'：/(。)♦(yIfx)或x=ye/(D)

2注

a)并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数/有反函数，意

味着/是D与/(£))之间的一个一一映射，称/T为映射/的逆映射，它

把/(。)一。；

b)函数/与尸互为反函数，并有：/-'(/(x))=x,xeD,

(c)在反函数的表示了=/一1(/,、€/(。)中，是以y为自变量，x为

因变量。若按习惯做法用x做为自变量的记号，y作为因变量的记号，

则函数)的反函数/t可以改写为

y=/-l(x),x6/(D).

应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对

应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已。但它们的图形在同一坐标系

中画出时有所差别。

六初等函数

1-基本初等函数(6类)

14

第页

常量函数y=C(C为常数)；

幕函数y=xa(eeR)；

指数函数y=a'(a〉O,awl)；

对数函数y=log(,x(a>0,a1)；

三角函数y=sinx,y=cox,y=fg^cy-ctgJ；

反三角函数y=arcsinx,y-arccosx,y=arctgx,y=arcctgx。

注：爆函数y=x«aGR)和指数函数？=优(。>0,。力1)都涉及乘塞，而

在中学数学课程中只给了有理指数乘基的定义。下面我们借助于确界来定

义无理指数暴，便它与有理指数事一起构成实指数乘塞，并保持有理批数

累的基本性质。

定义2.给定实数。>0,4工1,设x为无理数，我们规定：

'sup｛/lr为有理数｝，当a>l时，

ax=<

鹤典有理数当｝,OM<1

［问题］:这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？”

2.初等函数

定义3.由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，

统称为初等函数

91_1

如：y=2sinx+cos2x,y=sin(—),y=1og-冗+--------,y=\x\.

XX

不是初等函数的函数，称为非初等函数。如Dirichlet函数、Riemann函数、

取整函数等都是非初等函数。

注：初等函数是本课程研究的主要对象。为此，除对基本初等函数的图象

与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域。确定定义域时应

注意两点。

例2.求下列函数的定义域。

(1)y-J］；(2)y-Insinx

小结：确定函数的定义域确定函数的复合与分解

P.15习题5.6.7.

15

第页

R日出，月日,§4具有某些特性的函数习题课（2+2=4课时）

间星期-----------题

理解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性.并利用定义证明函数是否具有上述

教学目的性质，.掌握有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的图形特征，并加以合

理地应用.

教学重点有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的概念.

教学难点有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的概念.

课型理论+实践教学媒体

教法选择讲练结合（部分例题学生完成）

教法运用及板书

教学过程

要点

-有界函数

定义1设/为定义在D上的函数，若存在数V。），使得对每一个

有/（x）〈用（/（x）2L）,则称/为D上的有上（下）界函数，M（L）称

为了在D上的一个上（下）界。

根据定义，/在D上有上（下）界，意味着值域/（。）是一个有上（下）

界的数集；又若"（L）为了在D上的一个上（下）界，则任何大于M（小

于L）的数也是/在D上的上（下）界。所以，函数的上（下）界若存在，

则不是唯一的。

定义2设/为定义在D上的函数。若存在正数M,使得对每一个xe。有

\f{x）\<M,则称/为D上的有界函数。

根据定义，/在D上有界，意味着值域/（。）是一个有界集.又按定

义不难验证：/在D上有界=/在D上既有上界又有下界;.

几何意义是：/为D上的有界函数，则/的图象完全落在y=M和

y=-M之间；

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

16

第页

例如，y=sinx,y=cosx为R上的有界函数，因为对每一个X£〃者［5

eIsinx|<1Icosx|<1

有i।和।।.

关于函数/在数集D上无上界、无下界或无界的定义，可按上述相应

定义.

的否定说法来叙述.例如，设/为定义在D上的函数，若对任何M（无论M

多大），都存在使得/（/）>”,则称/为D上的无上界函数.

例1证明/（》）=,为（0,1］上的无上界函数.

X

证对任何正数M,取（0,1］上的一点/=—!—,则有

M+1

/（x0）=—=M+1>M,故

%

按上述定义，/为（0,1］上的无上界函数。

例2设/,g为D上的有界函数。证明：

（1）in+m自（x）〈inf/（x）+g（x）｝；

（2）suE/（x）+g（x）｝Vsu「（x）+su区（x）.

XEDxeDxeD

二单调函数

定义3设/为定义在D上的函数，Vx,,x2e<x2,（1）

若/（再）</。2），则称/为D上的增函数：若/（苍）</。2），则称/为

D上的严格增函数。（2）若/（占）2/（々），则称/为D上的减函数；若

/（外）>/（》2）,则称/为D上的严格减函数。

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增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严

格单调函数.

函数y=X，在R上是严格增的.因为对Vx,,x2G(-oo,+oo)R,当％]<4时

总有

J一

2—o

X：—X；—(%2—X|)(X2H~~~)~+^X：>0,“一o

-2-1O1234

-1

即；；

X<X.—<-2

例4函数y=[幻在R上是增的.因为对图1-3

,x2e(-00,+00),设匹<工2，显然有[xjW足]•但此函数在R上不是

严格增的，若取项=0,x2=0.5,则有[X]]=[X2]=Q,所以函数丁=[幻

在R上是增函数。，即定义中所要求的严格不等式不成立.此函数的图象如

图1—3所示.

严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直线至多有一个交点，这一

特性保证了它必定具有反

函数.

定理1.2设y=/(x),xe。为严格增(减)函数，则/必有反函

数/T,且/t在其定义域/(。)上也是严格增(减)函数。.

证设/在。上严格增.对任一ye/(O),有xe。，使/(x)=y,

下面证明这样的x只能有一个.

事实上，对于。内任一由/在。上的严格递增性，当项<工时

/(X|)<y，当X]>x时/(X1)>y，总之/(X。Hy•这就说明，对每一

个yw/(D),都只存在唯一的一个xGD,W/(x)=y,从而函数f存

在反函数x=/T(y),ye/(D).

现证广|也是严格增的.任取力,为G/(£>),y,<乃•设

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/=/T(%),无2=尸(％)，则％=/(。)，为=/(尤2)-由%<为及

一的严格增性，显然有/<乙，即/7(乃)</7(为).所以反函数/T是

严格增的。

例5函数y=V在(_oo,0]上是严格减的，有反函数(按习惯记法)

y=-Vx,>xw(0,+oo),y=/在(0,+00)上是严格增的，有反函数

y=4x,xe[0,+oo)o但y=/在整个定义域R上不是单调的，也不存在

反函数.

上节中我们给出了实指数基的定义，从而将指数函数

y=ax(a>0,〃w1)

的定义域拓广到整个实数集R.下面证明指数函数在R上的严格单调性.

例6,证明：y=优当。〉1时在R上严格增，当0<。<1时在R上

严格递减。

证设。>1.给定尤],12£R，X]<•由有理数的稠密性，可取到有

理数八，使玉v八<弓V工2，(参见§1例1)，故有

a”=sup卜卜为有理数｝a"sup沙卜为有理数j=d,这就证

r<Xjr<x2

明了y=/当a>1时在R上严格增。类似可证y="当0<a<1时在R上

严格递减。

注由例6及定理1.2还可得出结论：对数函数>=l°g“x当。>1

时在(0,+8)上严格递增，当0<。<1时在(0,+00)上严格递减.

三奇函数和偶函数

定义4设D为对称于原点的数集，/为定义在D上的函数。若对每一个

XW。有(1)/(-X)=-/(%),则称f为D上的奇函数；(2)

/(-X)=/(%),则称/为D上的偶函数。

从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象则关于y

轴对称.

例如，正弦函数？=$抽》和正切函数)'=tanx工是奇函数，余弦函数

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y=cosx是偶函数，符号函数)'=sgnx是奇函数(见图[一]).而函数

7T

y=sinx+cosx既不是奇函数，也不是偶函数，因若取光。二彳，则

/(%)=&

/(一%)=°,显然既不成立/(_/)=_/5),也不成立

/(-X。)-f(x0).

四周期函数

设/为定义在数集D上的函数，若存在

cr>0,使得对一切xe。有//////

\-2-InI231

/(x±b)=/(x)须称/为周期函数，。

图1-4

称为/的一个周期。

显然，若cr是/的周期，则"b(〃wN+)也是/的周期，所以周期若存在，

则不唯一。因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数/的所有周

期中有一个最小的周期，则称此最小周期为/的“基本周期”，简称“周期二

例如，sinx的周期为2兀，tanx的周期为1.

函数/(x)={x}=x-[x],xwR,周期为1；(见图1一4).

函数/(x)=C(C为常数)，xwR,任何正数都是周期，但无基本周期；.定

1,x为有理数

义在R上的。讥函数。(x)=4,十是以任何正有理数数

10,x为无理数

为周期的周期函数，但不存在基本周期.

小结与提问:本节要求学生掌握函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性，

并在有关命题中加以运用，要求学生课堂上给出函数不是单调函数、奇(偶)

函数、周期函数的定义.

课外作业：尸2。3、6、7、8、9、10、11、12.

2()

商洛学院教案

《数学分析》

之二

第二章数列极限（10+2学时）

教学大纲

教学要求：

1.理解并熟练掌握数列极限的定义、

2.熟练掌握收敛数列的性质，并能应用它们证明相关命题

3.熟练掌握单调有界定理，掌握数列的子列的概念

4.掌握Cauchy收敛准则，并能够用它来判断数列的敛散性

教学内容：

数列极限的£-N定义，收敛数列的性质（唯一性、有界性、保号性、不等式性

质、迫敛性、有理运算），单调有界定理，极限存在性的证明。

本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的定义及其应用.

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时-----月------日

课2§1数列极限概念（4学时）（一、二）

间星期-----------题

理解数列极限1概念并利用定义证明数列是否收敛..掌握无穷小数列概念并利用其证

教学目的

明数列是否收;及于指定的常数.

教学重点数列极限的概念，数列极限的£-N定义及其应用

教学难点数列极限的£一N定义及其应用

课型理论课教学媒体

教法选择讲授

教法运用及板书

教学过程

要点

一、数列的定义

若函数/的定义域为全体正整数集合N+,则称