2005数学二考研路上的幸福哥

2005年考研数学二.设y(1sinx)x，则dy|x 3曲线y 的斜渐近线方程 1x1 1x0(2x2微分方程xy2yxlnx满足y(1)1的解 11xarcsin（5）x0时，(x)kx2与(x)设1,2,33

是等价无穷小，则 A(1,2,3)，B (12 3,122 43,132 如果A1，那么B .n1xn1x 处处可导 恰有两个不可导点

f(x)在(,) 恰有一个不可导点 至少有三个不可导点 F(x)是偶函f(x)是奇函数（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数F(x)是周期函数f(x)是周期函数F(x)是单调函数f(x)是单调函数 xt2设函y=y(x)由参数方程yln(1t)y=y(x)x=3x

1ln23 88ln23

1ln2388ln23 （10）Dxyx2y24x0,y0f(x)D上的正值连续函数，a,bD D (B)ab 2

(a (D)ab2

设函数u(x,y)则必

y)

y)

xy(t)dt,其中函数y

具有一阶导2u 2u

x

y2 y

x

y2x

f(x)

,x,ex1x=0,x=1f(x)的第一类间断点（B）x=0,x=1f(x)的第二类间断点x=0f(x)的第一类间断点，x=1f(x)的第二类间断点x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点 ) (D)20 An（n2）A12B,A*B*A,B阵

交换A*的第1列与第2列得B* (B)交换A*的第1行与第2行得B* 交换A*的第1列与第2列得B* (D)交换A*的第1行与第2行得B* 三、解答题（本题9小题，满94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤f(x)f(0)0，求极限

0(xt)f(t)dtxxx0f(xxx如图，C和Cy1(1exyex的图象，过点(0,1)的曲线C是一单调增函数的图象. C2M(x,y)分别作垂直于xylxly.C1C2lx所围图形的面积为S1xC2C3与ly所围图形的面积为S2y如果总S1x)S2y，求曲线C3的方x如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)的切线，其交点为(2,4).f(x)具有三阶连续导数，计算定积分3(x2xf0xcost(0t)(1x2yxyy0y

2的特解已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且 证明),（II）存在两个不同的点,0,1)，使得f()f()已知函数 的全微分dz2xdx2ydy，并且 求f(x,y)在椭圆D{(x,y)x2y4

1}上的最大值和最小值D计算二重积分x2y21dDxy0x1,0yD确定常数a,使向量组1(1,1,a)T 3 可由向量 2,a,4)T,(2aa)T线性表示，但向量组,,不能由向量组,, 性表示

已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B 6（k为常数且AB=O, 线性方程组Ax=0的通解

3 k2005年考研数学二解.

dx【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为【详解】方法一：y1sinxxexln(1sinxyexln(1sinx)[ln(1sinx)xcosx]1sin从

=y()dxyln(1sinx)y

xcos，1sin于是y(1sinx)x[ln(1sinx)x cos1sin

]，

=y()dx3 3曲线y 的斜渐近线方程为yx 2【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程进行计算即可3【详解】因为a=

f(x)

x(1x)2x

blimf(x)axyx1 .

lim(1x)2x2 321x（3）0(2x21x【分析】作三角代换求积分即可【详解】xsint sintcos 0(2x2)1x 0(2sint)cos dcos =2 arctan(cost) 2 01cos2 （4）xy2yxlnxy(1)1y1xlnx1 【分析】直接套用一阶线性微分方程yP(x)yQ(x)的通 yePx)dx[Q(x)ePx)dxdxC]，y2ylnxx于是通解 y

2 [ln

2xdxC]

1[x2lnxdxC] =1xlnx1xC1 x y(1

xlnx 1xarcsin（5）当x0时，(x)kx2与(x) 是等价无穷小，1xarcsin4x01xarcsinx cos【1xarcsinx cosx0 kx==1

xarcsinx1cosx

31k32k x （6）设1,2,33维列向量，记矩A(1,2,3)，B (12 3,122 43,132 如果A1，那么B 【分析】B写成A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可【详解】由题设，有B(1 3,1 1 =(,,) 3 3 1 于是

BA

3129.n1x（7）n1x

f(x)在(,) 处处可导 恰有一个不可导点 恰有两个不可导点 至少有三个不可导点[ 【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形n1x【详解】x1fn1x

1n1x1f(xn1x1f(x)lim

1 1)nxxx3 xf(x)

x3

1xx

f(x)x=1时不可导，故应选F(x)是偶函f(x)是奇函数（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数F(x)是周期函数f(x)是周期函数F(x)是单调函数f(x)是单调函数 A【分析 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案【详解F(xxf(t)dtCF(x0F(x)F(x)F(x)F(x1)F(x)

ff(x)f(x)f(xf(x)f(x)为奇函数；反过来，若f(x为奇函数，则0xf(t)dt为偶函数，从而xF(x0f(t)dtC为偶函数，可见(A)为正确选项方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、 令f(x)=x,则取F(x)=1x2,排除(D);故应选2xt2y=y(x)由参数方程yln(1t)确定，则曲线y=y(x)x=3x标

1ln23 88ln23

1ln2388ln23 [A【分析】先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标【详解x=3时，有t22t3，得t1,t3（y无意义1t 2t

t

，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为8yln28(x3)1y=0x轴交点的横坐标为：ln23,故应8Dxyx2y24,x0,y0}，f(x)D上的正值连续函数，a,bD D (B)ab 2

(a (D)ab2

【分析】由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是的 本题可考虑用轮换对称性 d =1[

f(x)

f(y)

f(y)

f(x) f(x)

f(

f(y)

fabdab122ab 应选 x设函数u(x,y)数，则必

y)

y)

(t)dt,其中函数yy

具有一阶2u 2u

x

y2

x

y2 【分析】先分别求出x2y2xy，再比较答案即可【详解为u(xy(xy(xy(xyu(xy)(xy)(xy)(xy)于 (xy)(xy)(xy)(xy)，x

(xy)(xy)(xy)(xy) (xy)(xy)(xy)(xy)y2u可见有x y2，应选f(x)

,x,ex1x=0,x=1f(x)的第一类间断点（B）x=0,x=1f(x)的第二类间断点x=0f(x)的第一类间断点，x=1f(x)的第二类间断点 x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点 【分析】显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限【详解f(x)x=0,x=1点处无定义，因此是间断点且limf(xx=0limf(x)0limf(x)1x=1为第一类间断点，故应选 ) (D)20 【分析 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可 k1k2 k 2线性无关，则必然有20(,否则，1A(12)=11线性相关)，故应选1方法二：由于[A(,,1

1 2

2可见1A(12)线性无关的充要条件是

20故应选An（n2）A12B,A*B*A,B的伴 交换A*的第1列与第2列得B* (B)交换A*的第1行与第2行得B* 交换A*的第1列与第2列得B* (D)交换A*的第1行与第2行得B* 【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩【详解】由题设存在初等矩阵E12（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得使 E12AB于是B*E12A)*A*E

A*

E121A*E12A*

B*,可见应选三、解答题（本题9小题，满94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤f(x)f(0)0，求极限

0(xt)f(t)dtxxx0f(xxx 【分析 此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法则，但分子分母求导前应 x【详解0f(xx

xt

xf(u)(du)0f(u)du, lim0(xt)f(t)dtlimx0f(t)dt0tf00x0xxf(x xxf00x=x

xf(t)dtxf(x)xf0 0

=lim

0f0

f(u)duxf 0

f(u)duxf=limxx0

0fxxxf

ff(0)f

12 fx如图，C和Cy1(1exyex的图象，过点(0,1)的曲线C是一单调增函数的图象. C2M(x,y)分别作垂直于xylxly.C1C2lx所围图形的面积为S1xC2C3与ly所围图形的面积为S2y如果总S1x)S2y，求曲线C3的方x【详解】如图x有 S(x) [et (1et)]dt (exx1)由题设

yS2(y)1(lnt(t))dt1(exx1)y(lnt(t))dt yex1ylny1)y(lnt 1(11)lny(y)

y.2如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)的切线，其交点为(2,4).f(x)具有三阶连续导数，计算定积分3(x2xf0【分析】题设图形相当于已知f(x)x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值 f(0)2; f(3)2,f(3)由分部积分 3(x2x)f(x)dx3(x2x)df(x)(x2x)f

33f(x)(2x =3(2x1)df(x)(2x1)f0=162[f(3)f(0)]

323f xcost(0t)(1x2yxyy0y

2的特解 dyd2【分析】先将y,y转化为

dt2，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可【详解】ydydt dy sintydydt[costdy d2y] 1) sin2t sintdt sin代入原方程

d2dt

y0解此微分方程， yC1costC2sintC1x 将初始条件

2代入，有C2,C1.y2x

1x2已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且 证明),（II）存在两个不同的点,0,1)，使得f()f()【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中【详解（I）F(xf(x1xF(x)在[0，1]上连续F(0)=-1<0,F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在0,1),F(0f(1.（II）在[0,和[,1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点(0,),(,1) f()f(0)，f()

f(1)f()1于 f()1f()1 1 1已知函数 的全微分dz2xdx2ydy，并且 求f(x,y)在椭圆D{(x,y)x2y4

1}上的最大值和最小值【分析f(x,y)的表达式.f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值,可 .【详解】由题设， x2x，y2y2x2于是f(xy)x2Cy，且Cy2y，从而Cy)y2C，f(1,1)=2，得C=2,故f(xy2x2f0,

0得可能极值点为 且A

2，B

0 2yC2y

B2AC40，所以点(0,0)不是极值点，从而也非最值点x2y24

1上的情形：令拉格朗日函数F(x,y,)

f(x,y)(x2y4

1)Ff2x2(1)x F 2y y Fx2 1 x0,y2,4；x0,y2,4；x1,y0,1；x1,y0,1.f(1,0)3z=f(x,y)Dxyx2yf(x,y)f(0,2)

1内的最大3，4小值为-D计算二重积分x2y21dDxy0x1,0yD【分析 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可 【详解】D1xyxy1,xy D2{(x,y)x2y21,(x,y)于 x2y21d=(x2y21)dxdy(x2y2 =2 (r21)rdr (x2y21)dxdy (x2y2

=+dx(x2y21)dy2d(r21)rdr= 确定常数a,使向量组1(1,1,a)T 3 可由向量 2,a,4)T,(2aa)T线性表示，但向量组,,不能由向量组,, 性表示

【分析】向量组1,2,3可由向量组1,2,3线性表示，相当与方程组ix11x22x33,i1,2,3均有解，问题转化为r(1,2,3)=r(1,2,3i),i1,2,3是否均成立？这通过初等变换化 讨论即可.而向量组1,2,3不能由向量组1,2,3线性表示，相当于至少有一个向量j(j1,2,3)不能由1,2,3表示，即至少有一方程【详解对矩A(1,2,31,2,3作初等行变A(,,,,)=