初中数学 文档：学反比例函数悟数学思想 省赛一等奖

学反比例函数悟数学思想数学思想是对数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的一种本质认识.它是数学发现、发明的关键和动力，抓住数学思想方法，是提高解题能力的根本所在.在平时的学习过程中，如果能注意有意识地发现解题过程中的数学思想，并能加以归纳，则抓住了问题的本质，升华了思维，真正学到了数学方法.本文试从近年中考试题中的反比例函数有关题目中，选取几例谈谈数学思想在问题中的运用.一、分类讨论思想例1、函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）.AABCD解析：注意到两个函数解析式中，有相同的“k”为m,则按m的正负情况进行讨论.当m＞0时，反比例函数的图象在一、三象限；一次函数的图象过一、三、四象限.当m＜0时，反比例函数的图象在二、四象限；一次函数的图象过一、二、四象限.故选C评注：分类讨论思想是解决函数类问题中常用的一种数学思想.分类要注意两点：（1）正确选择一个分类标准；（2）分类要科学，既不重复，又不遗漏.二、数形结合思想例2、如图1，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于轴、轴上，点B的坐标为B（），D是AB边上的一点.将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是图1解析：过点E作EF⊥OC，垂足为F，由于EO=AO=5，则有，所以，EF=3，FO=4，于是有E（-4，3），设反比例函数解析式为：，把E（-4，3）代入就有∴该函数解析式为：.评注：函数几何综合问题是近年来各地中考试题中引人注目的新题型，它是几何与代数的综合题，构题者巧妙地将几何图形置于坐标系中，通过函数图象为纽带，将数与形有机结合，重在考查学生的创新思维及灵活运用函数、几何有关知识解决决问题的能力.三、方程思想图2例3、直线y=k1x+b与双曲线y=只有—个交点A(1，2)，且与x轴、y轴分别交于B,C两点AD垂直平分OB，垂足为D，求直线、双曲线的解析式．图2解析：∵点A（1，2）在上∴∴∴双曲线的解析式为∵AD垂直平分OB，∴OD=1，OB=2∴B（2，0）.∵A（1，2），B（2，0）在直线上∴解得.∴直线解析式为：.评注：在解决函数问题时，从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化.要做到得心应手，就得善于挖掘隐含条件，具有方程的思想意识，在平时的学习，应该不断积累用方程思想解题的方法.四、转化思想例4、如图3，梯形AOBC的顶点A、C在反比例函数图象上，OA∥BC，上底边OA在直线y=x上，下底边BC交x轴于E（2，0），则四边形AOEC的面积为A．3B．C．-1D．+1图3解析：过点C作CD⊥OE，垂足为D，由OA∥BC，OA在直线y=x上，可知CD=ED=1，EC=而OE=2，∴OD=3，则C（3，1）设反比例函数解析式为：，则有.∴设A（a,a）则有，∴A，于是有OA=.过点E作EF⊥OA，则△OEF为等腰直角三角形，∴EF=.∴由梯形面积公式可求四边形AOEC的面积为：=+1故，选D.评注：本题的主要是