《数学物理方程》习题精练

PAGEPAGE4《数学物理方程》习题精练5(椭圆型方程的边值问题)内容1.分离变量法2.调和函数的性质与极值原理3.Dirichlet问题的Green函数法1.分离变量法(1)Poisson方程边值问题的“特解法”Poisson方程描述稳恒场的分布情况，对于Poisson方程的边值问题，虽不像波动方程和热传导方程那样有所谓的Duhamel原理，但若能找到Poisson方程的一个特解，常可把它转化成Laplace方程的边值问题来求解，这便是所谓的“特解法”.今有边值问题(*)设是Poisson方程的一个解(特解)，是所给边值问题的解.令，则满足如下的边值问题(**)亦即是域上的调和函数.这样，就把Poisson方程的边值问题(*)转化成Laplace方程的边值问题(**).对于特殊的区域，我们还可以用分离变量法来求解(**).例1求解Poisson方程的边值问题解①先寻求Poisson方程的一个特解.显然，，于是得到一个特解为.令，则新的未知函数满足如下的定解问题：②在平面极坐标系下用分离变量法求解关于的圆域边值问题：根据Laplace方程圆域Dirichlet问题的形式解(或Poisson积分公式)我们得到(令)第一项和第二项积分等于零，第三项积分当且仅当时不等于零..[或者由分离变量法得到Laplace方程满足自然单值条件和在圆域内有界的解为，由边界条件得，比较两端系数得，∴].故所求Poisson方程边值问题的解为.附注用“特解法”求解Poisson方程的边值问题，由于特解的寻求多种多样，自然是越简单越好，以减少繁杂的计算.特解找到后，则问题便转化成Laplace方程的边值问题.就圆域而言，在极坐标系下分离变量，问题已经解决.因而特解的寻求以对称形式为好，对令，则可化为，称为球Bessel方程.〈ⅱ〉对三维波动方程和三维热传导方程将时间变量和空间变量分离，都会导出Helmholtz方程，其中便是分离变量时引入的泛定常数，时，Helmholtz方程成为Laplace方程.2.调和函数的性质与极值原理例3试证：对于Poisson方程的解来说，当为正(为负)时，不能为极小(极大).证若在点有极值，则一元函数在有极值，在有极值，在有极值.而对于一元函数，若在有极值，则，一般的，若在点，，而，则以下我们用反证法来证明：由于，①当时，若为极小，则而于是.但，矛盾.②当时，同样可以证明.附注〈ⅰ〉物理解释：对于的情形，Poisson方程的解有明显的物理意义：内部有热源的稳恒的温度场，其温度函数便满足Poisson方程.若于物体内点处放一热源，则处的温度不会比其附近的温度低.对于按电荷密度分布的带电体也是这样.〈ⅱ〉上述性质可以推广到如下的方程，其中皆为的已知函数.我们有如下的结论：①若，则不能为正的极大.②若，则不能为负的极小.证明仍用反证法.①设，若为正的极大，则因为，从而，这与原方程矛盾.同样可证明②.〈ⅲ〉更一般的我们有对于方程，其中都只是的已知函数，若矩阵是正定的，并且，则当时，不能在有界域内取负的极小值；而当时，不能在有界域内取正的极大值.证明事实上，若不然，设当时，在有界域内处取负的极小值，则由取极值的必要条件：，而正定，于是，又，所以这时+=+.但，这与方程矛盾，于是证明了前半部分.同样可证后半部分.〈ⅳ〉一般的，对方程不成立极值原理.事实上，考虑方程在矩形域的情形.容易看出，显然是方程的一个解.对于区域而言，，而在的内部内，，因而的极小值0(也是最小值)只在边界上达到，但在且只在的内点达到极大值1(也是最大值).于是我们看到，对方程而言，无极值原理可谈.3.Dirichlet问题的Green函数法用Green函数法求解Poisson方程的Dirichlet问题，其核心是寻求该区域的Green函数，对特殊的区域，可用“镜像法”求得Green函数.例4利用“镜像法”求上半球体Dirichlet问题的Green函数.解“镜像法”的核心是:在所给区域内点放置一单位正电荷，求出其像点的“假想电荷”于边界上所产生的电势(即感应电荷产生的电势).设上半球体为：，则其边界有两部分：上半球面和大圆盘，：，：.若在内点处放置单位正电荷，则像点有三个：关于大圆盘的对称点，关于上半球面的对称点，关于平面的对称点(即关于下半球面的对称点).为使处的单位正电荷和处的“假想电荷”于边界上产生的电势之和为零，则应于处放置一个单位负电荷；为使处的单位正电荷和处的“假想电荷”于边界上产生的电势之和为零，则应于处放置一个带电量的电荷()；但这时三个点电荷于每一部分边界上产生的电势之和都不再为零.因此，还需“平衡一下”：应于处再放置一个带电量的电荷，这时，四个点电荷于整个边界上产生的电势之和正好为零.故所求Green函数为.例5利用Green函数法求解Laplace方程第一象限Dirichlet问题.解二维Poisson方程Dirichlet问题解的表达式为，其中称为二维Laplace算子关于区域的Dirichlet问题的Green函数，而满足同三维情形一样，可理解为区域内点处的单位正电荷于处产生的电势，而可理解为感应电荷(假想电荷)于处所产生的电势.因此，其核心仍然是求感应电荷(假想电荷)所产生的电势.对第一象限来说，若于处放置一单位正电荷，为使它和某处(像点)的假想电荷(感应电荷)于边界正轴上产生的电势之和为零，则应于关于轴的对称点(像点)处放置一个单位负电荷；同理，为使它和某处(像点)的假想电荷(感应电荷)于边界正轴上产生的电势之和为零，则应于关于轴的对称点(像点)处放置一个单位负电荷；但这时三个点电荷于边界上产生的电势之和将不再为零，因此，还需“平衡一下”：应于关于原点的中心对称点(像点)处放置一单位正电荷，这四个电荷于整个边界上产生的电势之和正好为零.故Green函数为.而所求之解为 ∵， ..★二维Poisson方程Dirichlet问题的Green函数法的分析过程1.Green恒等式.Green第一、第二恒等式：设是由若干条互不相交的正则闭曲线围成的(单连通或复连通)区域，记其边界为是边界的外法线方向，下同.设在Green公式中取，则有即，同理，称、为Green第一恒等式.-立得，(2)称为Green第二恒等式(或称为Laplace算子的基本公式)..一个重要公式我们知道，的基本解为，在的地方，满足.于Green公式(2)中取(为一固定点).①当点在外时，.由(2)得.②当点时，由于以定点为奇点，不能直接用(2)，以为心，为半径作一小圆，使其含于内，并记其边界为.则在上(2)成立.令☆设在内除点外，，且在近旁无界.若在近旁，则当时，收敛.是收敛的，因在近旁，.“左”：∵广义积分收敛，∴.“右”：在上，，∵||而有界.∴.综上我们得2.二维调和函数的性质.定义设两个实变数的实函数在区域内有连续的二阶偏导数，并且满足二维Laplace方程(或二维调和方程)，(4)则称为二元调和函数或调和函数..调和函数作为解析函数的实部及虚部定理1设在区域内解析，则其实部和虚部是在内的调和函数.解析函数的实部及虚部满足C-R条件：，(5)称在区域内满足C-R条件(5)的调和函数和为共轭调和函数.定理2函数在单连通区域内解析的充要条件是：和是在区域内的共轭调和函数..调和函数的性质性质1设，则.(6)证在中取为内的调和函数，立得.性质2设则.(7)证在Green第二恒等式中取如所给，取，立得.附物理意义：对于稳定的温度场，经物体边界流入和流出该物体的热量相等，否则温度场不稳定.推论二维Neumann问题(8)有解的必要条件是.(9)性质3(中值公式)设是在闭圆盘上的调和函数，作在上的解析函数，(10)由Cauchy公式，(11)并令，我们有.(12)比较上式两边的实部和虚部，就得到调和函数的中值定理：定理3如果是在闭圆盘上的调和函数，那么.(13)(13)式叫做调和函数的中值公式，由此立得推论如果是在闭圆盘上的调和函数，那么.(14)性质4Poisson公式取作为复变数，而用表示复常数.设是在上的调和函数，取定内一点，作分式线性变换函数：，即，它把映照成，把映照成.通过映照，就变成了上的调和函数：，对这函数应用定理3，我们有，(15)其中.(16)于是，对这式两边取对数，然后再微分，即得，(17)令，就有.(18)把(16)、(18)代入(15)，我们得到定理4如果是在闭圆盘上的调和函数，那么，对于，.(19)(19)式称为Poisson公式，它推广了中值公式(13)，而把后者作为特例().附注在上面的定理及其推论中，把“在上调和”换成“是在上的连续函数，在内调和”，有关结论仍然成立.性质5(极值原理)一个在区域内不为常数的调和函数，不可能在这区域的内点达到最大值和最小值.证明用最大模原理，采用反证法.模的最大值原理：若在闭区域上解析，且不为常数，则只能在边界上达到最大值.假设调和函数(不为常数)在区域的内点处达到最大值，设圆盘在区域内，作出在内解析的函数，使其实部为.显然不为常数，于是在内解析的函数(不为常数)的模在处达到最大值，与最大模原理矛盾.因此，在不可能达到最大值.考虑函数，可以证明在区域的内点也不可达到最小值.附注二维调和函数还有许多其它性质，如：Harnark不等式、Liouville定理、奇点可去定理等，可参阅有关的参考书.3.Dirichlet问题的Green函数法.Dirichlet问题的Green函数法的分析过程考虑二维Poisson方程的Dirichlet问题：(1)对任一，由1的公式(3)，有.(2)但这不是(1)的解，因即经给定，(1)的解若存在必唯一.故不能在任意给了，所以(2)中的尚不知.能否设法消去它？直接由(2)入手还不行，因的系数是确定的.在Green恒等式中取是(1)的待求之解(暂不将在内代入)，取待定，有.(3)(2)+(3),得上式中“”是未知项，而可适当选取：若令(4)并记，(5)又，则.(6)称为二维Laplace算子关于区域的Dirichlet问题的Green函数，公式(6)称为二维Poisson方程Dirichlet问题解的积分公式.当时，(6)式成为.(7)称为Laplace方程Dirichlet问题解的积分公式..保角变换法关于二维Laplace方程的Dirichlet问题，还可以用保角变换法求解.设有解析函数，如果，则它代表一个保角变换.特别的，存在这样一个保角变换，它可以把平面的任一单连通区域变到平面上的单位圆内.若函数在内调和，则经过函数或者的保角变换后，所得的新函数在单位圆内仍然调和.因此，我们要解决平面上Laplace方程关于区域的Dirichlet问题，只要先在平面上求出Laplace方程关于单位圆的Dirichlet问题之解，然后还原到平面，便得到原问题之解.从以上分析可知，二维Laplace方程的Dirichlet问题，对于一般的单连通区域之所以都能获得解决，关键在于那个变换函数(把任意单连通区域变为单位圆)的存在.事实上，这个变换函数的存在，恰恰等价于Green函数的存在..Green函数的性质(二维Dirichlet问题)由(4)、(5)定义的具有如下性质：①即(其中为函数，它不是通常意义下的函数，属广义函数的范畴).证由定义即知.②.证在的解的积分公式(7)：中取即得.③(互易原理).物理意义点处的“源”在点处的作用等于点处相同“源”在处的作用(因而Green函数在物理上常被称为“源函数”或“影响函数”)..Green函数的物理意义二维Laplace算子关于区域的Dirichlet问题的Green函数为，其中满足同三维情形类似，可理解为：特定装置下，区域内点处的单位正电荷于处所产生的电势；而可理解为：处的单位正电荷于边界上所产生的“感应电荷”于处所产生的电势.于是，可理解为：特定装置下，区域内点处的单位正电荷于处所产生的电势.因此，求Green函数归结为求“感应电荷”所产生的电势，而“感应电荷”可想象成放置于某处的“假想电荷”，使得它和处的单位正电荷于边界上产生的电势之和为零.附注用“镜像法”求二维Laplace算子关于区域的