届高考数学(理)一轮复习讲义142参数方程(人教A版)

届高考数学(理)一轮复习讲义：14.2参数方程(人教A版)1．参数方程的观点一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上随意一点的坐标x，y都是某个变x＝ft数t的函数①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)数x，y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．参数方程和普通方程的互化(1)参数而从参数方程获得普通方程．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，比如x＝f，方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参y＝gt数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线、圆和圆锥曲线的参数方程x＝－1－t，1．极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程(t为参数)所表示的图形分y＝2＋t别是()．A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线xx解析∵ρcos＝θx，∴cosθ＝ρ代入到ρ＝cosθ，得ρ＝ρ，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆．x＝－1－t，又∵相加得x＋y＝1，表示直线．y＝2＋t，答案Dx＝1－2t，2．若直线(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.y＝2＋3tx＝1－2t，解析参数方程所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直y＝2＋3t，34线4x＋ky＝1垂直可得－2－k＝－1，解得k＝－6.答案－6x＝5cosθ，3．二次曲线(θ是参数)的左焦点的坐标是y＝3sinθx2y2解析题中二次曲线的普通方程为2591

．左焦点为

(－4,0)．答案(－4,0)x＝t＋1，4．(20XX年湖南)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与y＝1－2tx＝asinθ曲线C2：(θ为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.＝y3cosθx2y2解析曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2a＋9＝1，直x2y23线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为20，故曲线a9＝1也经过这个点，代33入解得

a＝2

舍去－

2.3答案

2x＝

5cos

θ，5．(20XX年广东)已知两曲线参数方程分别为y＝sinθ5＝x2，4(t∈R)，它们的交点坐标为

(0≤θ＜π)和．y＝tx＝5cosθ，x22解析由(0≤θ＜π)得，5y＝1(0≤y≤1，－5x≤5)，y＝sinθ5＝x2，5由4(t∈R)得，x＝42，y＝t45y4＋16y2－16＝0.解得：y2＝5或y2＝－4(舍去)．525.则x＝4y2＝1又θ≥0，得交点坐标为1，525答案1，5对应学生211考向一参数方程与普通方程的互化把下列参数方程化为普通方程：x＝3＋cosθ，(1)y＝2－sinθ；1x＝1＋2t，(2)3y＝5＋2t.cosθ＝x－3，解(1)由已知由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1,sin＝θ2－y，可知(x－3)2＋(y－2)2＝1.3(2)由已知t＝2x－2，代入y＝5＋2中，3得y＝5＋2(2x－2)，即3x－y＋53＝0.参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程经过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．x＝cosα，【训练1】(20XX年陕西)参数方程(α为参数)化成普通方程为y＝1＋sinα．x＝cosα，x＝cosα，①解析由得y＝1＋sinαy－1＝sin，α②①2＋②2得：x2＋(y－1)2＝1.答案x2＋(y－1)2＝1考向二直线与圆的参数方程的应用x＝2＋tcosα，x＝1＋cosθ，已知圆C：(θ为参数)和直线l：(其y＝sinθ＝y3＋tsinα中t为参数，α为直线l的倾斜角)．2π(1)当α＝3l距离的最小值；(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．2π解(1)当α＝3l的直角坐标方程为3x＋y－33＝0，圆C的圆心3坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d＝23，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为3－1.(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(cos＋α3sinα＋)t3＝0，这个对于t的一元二次方程有π3π3α＋α＋解，故＝4(cosα＋3sinα)－12≥0，则sin≥，即sin6462或22πsinα＋6π33ππ2πππ≤－2又0≤α＜π，故只能sinα＋6≥2，3≤α＋63即6α≤2.故αππ的范围是62.如果问题中的方程都是参数方程，那就要起码把其中的一个化为直角坐标方程．x＝1＋t，【训练2】已知直线

l的参数方程为

(参数

t∈R)，圆

C的参数方y＝4－2tx＝2cosθ＋2，程为(参数θ∈[0,2π，])求直线l被圆C所截得的弦长．

[来y＝2sin

θ源:]x＝1＋t，解

由消参数后得普通方程为

2x＋y－6＝0，y＝4－2tx＝2cosθ＋2，由消参数后得普通方程为(x－2)2＋y2＝4，显然圆心坐标为y＝2sinθ(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x＋y－6＝0的距离为d＝25－5.5考向三圆锥曲线的参数方程的应用x22求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆4y＝1所得的弦长．2x＝1－2，由条件可知直线的参数方程是2y＝1＋2|2×2＋0－6|55，2＋1所以所求弦长为2解(t为参数)，代入椭圆方程21－2221＋t2＝1，可得＋425即22＋2t＋1＝0.设方程的两实根分别为t1、t2，则由二次方程的根与系数2t＋t125，的关系可得2tt125则直线截椭圆的弦长是|t1－t2|＝t1＋t2－4t1t2＝242622－－4×＝555普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x＝f(t))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不同样．【训练3】(20XX年南京模拟)过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线1x＝t＋t1y＝t－t(t为参数)相交于A、B两点，求线段AB的长．解3x＝－3＋2s，直线的参数方程为1y＝2(s为参数)，1x＝t＋t又曲线1y＝t－t(t为参数)能够化为x2－y2＝4，将直线的参数方程代入上式，得s2－3s＋10＝0，设A、B对应的参数分别为s1，s2.∴s1＋s2＝63，s1s2＝10.∴|AB|＝|s1－s2|＝s1＋s2－4s1s2＝217.(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每题5分，共40分)x＝－2－2t，1．(20XX年深圳模拟)直线(t为参数)上与点A(－2,3)2y＝3＋2t的点的坐标是．12解析由题意知(－2t)2＋(2t)2＝(2)2，所以t2＝2，t＝2，代入x＝－2－2t，(t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．y＝3＋2t答案(－3,4)或(－1,2)x＝2＋cosθ，2．(20XX年东莞模拟)若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯y＝sinθ一的公共点，则实数k＝________.解析曲线C化为普通方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝3答案3x＝cosα，3．直线3x＋4y－7＝0截曲线(α为参数)的弦长为．y＝1＋sinα＋|04－7|3解析曲线可化为x＋(y－1)＝1，圆心到直线的距离d＝＝，则弦9＋16522|2k|31k＝.31＋k8长l＝r－d＝5.8答案5x＝1－2t，x＝s，4．已知直线l1：(t为参数)，l2：(s为参数)，若l1∥l2，y＝2＋kty＝1－2s则k＝；若l1⊥l2，则k＝________.解析将l1、l2的方程化为直角坐标方程得l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋yk24＋k1＝0，由l1∥l22＝11k＝4，由l1⊥l2，得2k＋2＝0k＝1.答案4－1x＝3＋3cosθ，5．(20XX年湛江调研)参数方程(θ为参数)表示的图形上的点到直y＝－3＋3sinθ线y＝x的最短距离为．x＝3＋3cosθ，解析参数方程化为普通方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝9，圆心y＝－3＋3sinθ－|3－3|坐标为(3，－3)，半径r＝3，则圆心到直线y＝x的距离d＝32，则圆上点到直线y＝x的最短距离为d－r＝2－3＝2－1)．答案3(2－1)6．(20XX年陕西)直角坐标系xO