江西重点大学附属中学2022-2023学年高一下学期第三次月考数学试题及参考答案

江西重点大学附属中学2022-2023学年高一下学期第三次月考测试题第I卷（选择题）一、单选题1．已知向量，且，则=（）A． B． C．6 D．82．已知的顶点坐标分别为、、，则的面积为（

）A． B． C． D．3．已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（

）A． B． C． D．4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（

）A．4 B．6 C． D．5．若为奇函数，则（

）A．2 B．-2 C． D．6．已知函数的最小正周期，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则下列关于函数的说法错误的是（

）A．函数的图像关于直线对称B．函数在上单调递减C．函数在上有两个极值点D．方程在上有3个解7．已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，，下列结论正确的是（

）A．与同向共线的单位向量是B．与的夹角余弦值为C．向量在向量上的投影向量为D．10．已知（其中，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．C．函数在区间单调递减D．若，且，则11．已知向量，，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为C．若与共线，则为或D．存在，使得12．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（

）A．若B+C=2A，则面积的最大值为B．若，且只有一解，则b的取值范围为C．若C=2A，且为锐角三角形，则c的取值范围为D．为的外心，则第II卷（非选择题）三、填空题13．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若外接圆面积为，则面积的最大值为______．14．在△ABC中，角所对的边分别是，其中，，.若B的角平分线BD交AC于点D，则______.15．如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则______.16．已知满足，当，，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为_____.四、解答题17．已知，，且.(1)求与的夹角；(2)若，求实数的值.18．已知函数在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的表达式；(2)把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象向下平移一个单位，再向左平移个单位，得到函数的图象，若，求函数的值域．19．已知在中，其角、、所对边分别为、、，且满足．(1)若，求的外接圆半径；(2)若，且，求的内切圆半径20．已知函数.(1)若，求的值；(2)若函数有且仅有一个零点，求实数a的取值范围.21．已知锐角三角形中，角的对边分别为，且满足.(1)求证：；(2)若，求三角形面积的取值范围.22．已知函数的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．(1)求的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数为偶函数，求的最小值．(3)若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围．参考答案1．【答案】D【解析】：，因，所以，即，所以2．B【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值，再利用同角三角函数的基本关系求出的值，最后利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】因为的顶点坐标分别为、、，则，，所以，，则为锐角，所以，，因此，.故选：B.3．C【分析】根据投影向量定义计算即可.【详解】为单位向量，则，则向量在向量上的投影向量为.故选：C.4．D【分析】根据三角形内角和定理，结合同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可.【详解】因为，由正弦定理可得，则，，，，，为内角，，则，，,故选：D.5．C【分析】利用奇函数的定义分类讨论求解即可【详解】因为函数为奇函数，所以的定义域关于原点对称.若，则的定义域不关于原点对称，所以的定义域为且，从而，解得.所以，定义域为.令，得.经检验，为奇函数，故选：C.6．D【分析】由题可得，.A选项，将代入，验证其值是否为可判断选项；B选项，由在上的单调性可判断选项；C选项，由在上的极值点可判断选项；D选项，验证在上是否有3个解可判断选项.【详解】由题.的图像向右平移个单位长度后对应的解析式为，因其过原点，则，结合，可得.A选项，，则的图像关于直线对称，故A正确；B选项，时，，因，在上单调递减，则在上单调递减，故B正确.C选项，时，.令，因，，则函数在上有两个极值点，故C正确；D选项，时，.由，可得，则方程在上有2个解，故D错误.故选：D7．D【分析】根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可.【详解】由，得，即函数的单调递减区间为，令，则函数其中一个的单调递减区间为：函数在区间内单调递减，则满足，得，所以的取值范围是.故选：D.8．B【分析】设，由题可得、、三点共线，进而可得的最小值为到边上的高，根据几何关系求出，将化成，通过几何关系求出的最小值即可.【详解】设，于是，令，∵，则，，共线，故，由图可得，当时，有最小值，又∵，，∴，即，即为等边三角形．由余弦定理，，设M为BC中点，，∴当取最小值时，有最小值，∵为边上任意一点，∴当时，有最小值，设，过点作于点，则，又∵，为的中位线，∴，即，∴．故选：B.9．【详解】，故A正确；，故B错误；向量在向量上的投影向量为，故C正确；由，故D正确.故选：ACD10．BC【分析】根据图象可确定最小正周期，从而求得，知A错误；根据五点作图法可求得，知B正确；利用余弦型函数单调性的判断方法可知C正确；由已知等式可求得，根据同角三角函数平方关系及的范围，可确定D错误.【详解】对于A，由图象可知：的最小正周期，，解得：，A错误；对于B，由五点作图法可知：，，又，，B正确；对于C，由AB得：，当时，，单调递减，C正确；对于D，，，，，，，D错误.故选：BC.11．AB【分析】根据得到，即可得到，即可判断A选项；根据投影向量得到，即可得到，即可判断B选项；根据与共线和得到，解得，根据可得，即可得到的坐标，即可判断C选项；假设成立，可得到，与矛盾，即可判断D选项.【详解】对于A，若，则有，即，A正确；对于B，，，在上的投影向量为，所以，∵，∴，B正确；对于C，若与共线，设，所以有，解得，因为，，∴，所以，C不正确；对于D，若成立，则与反向，所以，，，解得，即有，则，与矛盾，故D不正确．故选：AB.12．ACD【分析】对于A，由正弦定理可得，根据求出，再由余弦定理、基本不等式和三角形面积公式可判断A；由正弦定理得，利用可判断B；求出，利用为锐角三角形得的范围，由正弦定理得，求出的范围可判断C；做交于点点，则点为的中点，设可得，利用数量积公式计算可判断D.【详解】对于A，由正弦定理可得，因为，所以，所以，若，且，所以，由余弦定理得，由，可得，即，则面积，所以面积的最大值为，故A正确；对于B，若，且，由正弦定理得，所以，当时即，所以时有一解，故B错误；对于C，若C=2A，所以，且为锐角三角形，所以，解得，所以，由正弦定理得，故C正确；对于D，如图做交于点点，则点为的中点，且，设，所以，所以，故D正确.故选：ACD.13．【分析】利用正弦定理的边角互化和余弦定理求出角，再利用基本不等式和三角形面积公式求解.【详解】由已知及正弦定理得，所以，所以，又，所以．由的外接圆面积为，得外接圆的半径1．由正弦定理得，所以，所以，解得，所以的面积，当且仅当时等号成立．故答案为:.14．##【分析】由角平分线性质及正弦边角关系得、，应用余弦定理求得，在△中应用余弦定理求，正弦边角关系确定最终的长度.【详解】由题设，则，又，则，故，又，即，在△中，由余弦定理知：，即，得，故，在△中，由余弦定理知：，故，故或，又，即，故.故答案为：15．1【分析】利用向量的线性运算得，再利用数量积的计算公式计算即可.【详解】在边长为2的等边中，为中线，则，.故答案为：116．【分析】根据函数的周期性，作出函数在上的图象，将函数的零点个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案.【详解】由题意知满足，故是以8为周期的函数，结合，作出函数在上的图象，如图示：因为，故时，即或，则在上恰有八个不同的零点，即等价于的图象和直线有八个不同的交点，由图象可知，和的图象有6个不同的交点，则和的图象需有2个不同的交点，即，故，则实数的取值范围为，故答案为：【点睛】方法点睛：根据函数的周期以及解析式，可作出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，列出不等式，即可求解.17．(1)(2)【分析】（1）根据数量积的运算律得到，再根据数量积的定义求出夹角的余弦值，即可得解；（2）依题意可得，根据数量积的运算律得到方程，再求出k的值.【详解】（1）因为，所以.设与的夹角为，则，又，所以，故与的夹角为.（2）因为，所以，即，即，所以，即，解得.18．(1)(2)【分析】（1）根据函数图象可得，得，由图象和公式求得，由求得，即可求解；（2）根据三角函数图象的平移伸缩变换可得，利用正弦函数的单调性即可求出函数的值域.【详解】（1）根据函数图象可得，，，，，得，，又，，，，，得，，又，，；（2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到，再向下平移一个单位得到，再向左平移个单位得到，，当时，，又函数在上单调递增，在上单调递减，，，即值域为19．(1)1(2)1【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式和辅助角公式化简已知式，可得，即可求出，再由正弦定理的定义可求得的外接圆半径；（2）由余弦定理和三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以外接圆半径．所以.（2）因为，由题可知，所以，又因为，可得，因为．由的面积，得．20．(1)2(2)【分析】（1）原方程可化为，结合是减函数，且可得答案；（2）利用换元法转化为有且仅有一个零点，根据，，再分别分析开口向上和向下的情况，得出答案.【详解】（1）原方程等价于，即，可化为.令，则是减函数，又，所以.（2）令得，所以，且，整理得，令，则有且仅有一个零点，且，，①当时，，此时，且开口向上，所以在上有且仅有一个零点；

②当时，，此时，且开口向下且对称轴方程为，因为，，故要使在上有且仅有一个零点，只要且，可得符合条件；综上：.21．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先根据正弦定理得，然后结合余弦定理化简整理得，解方程即可证明；（2）先利用正弦定理表示出，结合面积公式得出，利用的范围及函数的单调性进行求解.【详解】（1）由正弦定理可得，又，所以，整理得，即有，所以，即，，，则，所以，所以.（2）由（1）得，因为，由，得,设三角形的面积为，则，在锐角三角形中，,且，所以，所以，设，则，记，则，所以函数在上单调递减，所以，所以，即三角形面积的取值范围.22．(1)，函数的单调递增区间；(2)的最小值为；(3).【分析】（1）根据相邻对称中心的距离求出周期，得的值，根据对称轴求出，得出解析式，结合正弦