线性代数B答案

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线性代数模拟题

一．单项选择题.1.若

(1)

N(1k4l5)

a11ak2a43al4a55是五阶行列式aij的一项，则k、l的值及该项符号

为（C）．

（A）k2，l3，符号为负；(B)k2，l3符号为正；(C)k3，l2，符号为负；(D)k1，l2，符号为正．2.以下行列式（A）的值必为零．

(A)(B)

n阶行列式中，零元素个数多于n2n个；n阶行列式中，零元素个数小于n2n个；

(C)n阶行列式中，零元素个数多于n个；(D)n阶行列式中，零元素的个数小于n个．

3.设A，B均为n阶方阵，若ABABA2B2，则必有（D）．（A）AI；(B)BO；(C)AB；(D)ABBA．4.设A与B均为nn矩阵，则必有（C）．（AABB；（B）ABBA；（CABBA；（D）AB5.假使向量可由向量组1,2,,s线性表出，则（D）

(A)存在一组不全为零的数k1,k2,,ks，使等式k11k22kss成立(B)存在一组全为零的数k1,k2,,ks，使等式k11k22kss成立(C)对的线性表示式不唯一(D)向量组,1,2,,s线性相关6.齐次线性方程组

1

A1B1．

Ax0有非零解的充要条件是（A）

(A)系数矩阵A的任意两个列向量线性相关(B)系数矩阵A的任意两个列向量线性无关(C)必有一列向量是其余向量的线性组合(D)任一列向量都是其余向量的线性组合

－

7.设n阶矩阵A的一个特征值为λ，则(λA1)2＋I必有特征值（C）

22

(a)λ+1(b)λ-1(c)2(d)-2

8.已知

321

A00a与对角矩阵相像，则a＝（A）

000

(a)0;(b)－1;(c)1;(d)2

9.设A，B，C均为n阶方阵，下面（D）不是运算律．

（A）ABC(CB)A；（B）(AB)CACBC；（C）(AB)CA(BC)；（D）(AB)C(AC)B．10.以下矩阵（B）不是初等矩阵．

001100100100(A)010；（B）000；（C）020；（D）012．

100010001001

二．计算题或证明题（

1.已知矩阵A，求A10。其中A参考答案：

10

12

AE=

0

，求的A的特征值为1=1，2=2。=（1）（2）

12

001

当1=1时，解方程（A-E）x=0，由AE，得基础解系1，单位化

111

为p1

1

1

101

，得基础解系2，单位

100

当1=2时，解方程（A-2E）x=0，由A2E

化为p2

1

0

将P1、P2构成正交矩阵：P

p1,p21

10

，有P1AP

020

，

则

10

P1A10P1010021

APP啊，不知道怎么回事。

10

100

10020

11

201

120

，和答案不一样1

参考答案：A10

110

120

102

-1

-1

2.设A为可逆矩阵，λ是它的一个特征值，证明：λ≠0且λ是A的一个特征值。

参考答案：

-1

当A可逆时，由AP=λP,有P=λAP，由于P≠0，知道λ≠0，因此-1-1-1-1

AP=λP,所以λ是A的一个特征值

3.当a取何值时，以下线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．

ax1x2x3a3

x1ax2x32

xxax2

231`

参考答案：

对增广矩阵B=（A，b）作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有

a1211aa11a31

B1a12~01a21a3(a1)~01a1a2

11a201aa1002aa20

当2aa20时，即a1,2时，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解。

此时解为：x1

3(a1)3(a1)

2

a133

,x2,x3a2a2a2

当a=1时，R（A）=R（B）=1，方程组有无穷解

x12k1k2

此时解为：x2k1

xk

23

当a2时，R（A）=2，R（B）=,3无解。

4.求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．

111121101,2,3,4

31204112

参考答案：

1

2（1,2,3,）=4

34

1111

111

10~0

020120

1

0001010

11~13

1000

111

011

则向量的秩为3001

000

极大无关组为：a2,a3,a4，且a1a2a3a4

5.若A是对称矩阵，T是正交矩阵