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课题学习最短路径问题选择题1.有一以互相平行的直线a、b为岸的河流,其两侧有村庄A和村庄B,现在要在河上建一座桥梁MN(桥与河岸垂直),使两村庄之间的距离最短,从作图痕迹上来看,正确的是()2.如图,直线l外不重合的两点A、B,在直线l上求作一点C,使得AC+BC的长度最短,作法为:①作点B关于直线l的对称点B′;②连接AB′与直线l相交于点C,则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是()A.转化思想B.三角形的两边之和大于第三边C.两点之间,线段最短D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角3.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,△PMN周长的最小值是5cm,则∠AOB的度数是()A.25°B.30°C.35°D.40°4.如图,四边形ABCD中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E、F分别是BC、DC上的点,当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为()A.50°B.60°C.70°D.80°二、填空题5.如图,AD是等边△ABC的BC边上的高,AD=6,M是AD上的动点,E是AC边的中点,则EM+CM的最小值为____.6.如图,在平面直角坐标系中,点A(-2,4),B(4,2),在x轴上取一点P,使点P到点A和点B的距离之和最小,则点P的坐标是.三、解答题7.如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.(1)若要使厂部到A,B村的距离相等,则应选择在哪建厂?(2)若要使厂部到A,B两村的水管最短,应建在什么地方?【拓展应用】8.如图,牧马人从A地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到B处,请画出最短路径【学习评价】自评师评参考答案1.D2.D3.B分析:分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,由对称的性质得出PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA;PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB,得出∠AOB=∠COD,证出△OCD是等边三角形,得出∠COD=60°,即可得出结果.4.分析:据要使△AEF的周长最小,即利用点的对称,使三角形的三边在同一直线上,作出A关于BC和CD的对称点A′,A″,即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=80°,进而得出∠AEF+∠AFE=2(∠AA′E+∠A″),即可得出答案.解答:作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于E,交CD于F,则A′A″即为△AEF的周长最小值.作DA延长线AH,∵∠C=50°,∴∠DAB=130°,∴∠HAA′=50°,∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°,∵∠EA′A=∠EAA′,∠FAD=∠A″,且∠EA′A+∠EAA′=∠AEF,∠FAD+∠A″=∠AFE,∴∠AEF+∠AFE=∠EA′A+∠EAA′+∠FAD+∠A″=2(∠AA′E+∠A″)=2×50°=100°∴∠EAF=180°﹣100°=80°,故选D.5.6;6.(2,0)7.分析:(1)到A,B两点距离相等,可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”,又要在河边,所以作AB的垂直平分线,与EF的交点即为符合条件的点.(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短,可联想到“两点之间线段最短”,作A(或B)点关于EF的对称点,连接对称点与B点,与EF的交点即为所求.解:(1)如图1,取线段AB的中点G,过中点G画AB的垂线,交EF于P,则P到A,B的距离相等.也可分别以A、B为圆心,以大于eq\f(1,2)AB为半径画弧,两弧交于两点,过这两点作直线,与EF的交点P即为所求.(2)如图2,画出点A关于河岸EF的对称点A′,连接A′B交EF于P,则P到A,B的距离和最短.解:沿AH-HG-GB路线走是最短的路线如图所示
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