2024年中考数学训练-中线四大模型在三角形中的应用（能力提升）（原卷版+解析）

02中线四大模型在三角形中的应用（能力提升）

1.直角三角形中有两条边的长分别为4,8,则此直角三角形斜边上的中线长等于（）

A.4B.475C.4或4旄D.4或2麻

2.如图，点。是RtZ\ABC的斜边BC的中点，点、E、尸分别在边AB、AC上，J.BE=BD

=CF,连接DE、DF,若DE=7叵,DF=IO,则线段BE的长为.

3.如图所示，已知四边形ABC。，R、尸分别是。C、BC上的点，点E、/分别是AP、RP

的中点，当点尸在边BC上从点2向点C移动，且点R从点。向点C移动时，那么下列

结论成立的是（）

A.线段所的长逐渐增大

B.线段EF的长逐渐减少

C.线段所的长不变

D.ZVIB尸和△CRP的面积和不变

4.求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

已知：如图，在△ABC中，ZABC=9Q°,点。是AC的中点.

求证：OB=—AC.

2

证明：延长BO到。，使00=08,连接A。、CD,

中间的证明过程排乱了：

①：/ABC=90°,

②.：0B=0D,0A=0C,

③/•四边形ABCD是平行四边形，

④.••四边形A2C。是矩形.

：.AC=BD,：.OB=^BD=^AC.

22

则中间证明过程正确的顺序是（）

A.①④②③B.①③②④C.②④①③D.②③①④

5.如图，为。。的直径，CA与。。相切于点A,2C交于点D,£是标的中点，连

接0E并延长交AC于点R若AB=5,则AF的长为（）

3

D.4

6.如图，将△ABC沿。E折叠，使点A与BC边的中点尸重合，下列结论中：①EF〃AB

M2EF=AB-,®ZBAF=ZCAF；®S四边形®ZBDF+ZFEC=2ZBAC,

一2

正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

7.矩形ABC。与CE/G,如图放置，点8、C、E共线，点C、。、G共线，连接AF,取

AF的中点X,连接G//,若BC=EP=4,CD=CE=2,贝l]G8=.

c,

8.如图，在△ABC中，延长CA到点。，使AO=AC,点E是AB的中点，连接。E,并延

9.如图，ZVIBC中，AB=AC,点。在AC上，连接2D,△ABD的中线AE的延长线交2C

于点凡ZMC=60°,若AD=5,AB=1,则EF的长为.

10.如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

己知：如图，E是3c的中点，点A在DE上，且/BAE=/CDE.求证：AB=CD.

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性

质，观察本题中要证必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.请

根据上述分析写出详细的证明过程（只需写一种思路）.

11.如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是4。上一点，满足AE=BO=OC,FA=FE.求

ZADC的度数.

A

12.(1)如图1,在△ABC中，ZB=60°,ZC=80°,AO平分/BAC.求证：AD=AC；

(2)如图2,在△ABC中，点E在BC边上，中线与AE相交于点尸，AP=BC.求

证：PE=BE.

13.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1,在△ABC中，4B=8,AC

=6,。是BC的中点，求BC边上的中线的取值范围.

E

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使。E=AD,再证明

“△ADC会AEDB”.

(1)探究得出AD的取值范围是；

(2)【问题解决】如图2,AABC中，N2=90°,AB=2,AD是△ABC的中线，CE

LBC,CE=4,且NAOE=90°,求AE的长.

14.如图，BC为。。直径，AB切OO于8点，AC交。。于。点，E为AB中点.

(1)求证：DE是。。的切线;

(2)若/A=30°,BC=4,求阴影部分的面积.

15.(1)方法回顾证明：三角形中位线定理.

已知：如图1,DE是△ABC的中位线.求证：

证明：

(2)问题解决：如图2,在正方形ABC。中，E为的中点，G、尸分别为AB、CD

边上的点，若AG=3,DF=4,ZGEF=90°,求GF的长.

图2

16.如图1,在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O,AO=CO,ZBCA=ZCAD.

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形;

(2)如图2,E,F,G分别是BO,CO,AO的中点，连接EF,GE,GF,若BO=2AB,

BC=15,AC=16,求△£打?的周长.

17.(1)方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB=6,AC=4,点D为3c边的中点，求

BC边上的中线的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使。£=

AD,再连接BE,可证△ACO04E8D,从而把A3、AC,2A。集中在△ABE中，利用三

角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是(直接写出范围即可).这种解决问题

的方法我们称为倍长中线法；

(2)探究应用：

如图②，在△ABC中，点。是BC的中点，DELDF于点D,DE交AB于点E,DF交

AC于点R连接ER判断BE+CP与跖的大小关系并证明；

(3)问题拓展：

如图③，在四边形ABC。中，AB//CD,AF与DC的延长线交于点A点E是BC的中

点，若AE是/胡/的角平分线.试探究线段AB,AF,CT之间的数量关系，并加以证

明.

18.我们定义：如图1,在AABC中，把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA,把BC绕

点C逆时针旋转90°得至UCB',连接MB'.我们称B'C是△ABC的“旋补交

差三角形"，连接AB'、A'B,我们将AB'、A'8所在直线的相交而成的角称之为△

ABC”旋补交差角”，C点到A'B'中点E间的距离成为“旋转中距”.如图1,AB'

08即为△ABC“旋补交差角”，CE即为△A2C“旋补中距”.

(1)若已知图1中的长度等于4,当NACB=90°,则△ABC“旋补交差角"NB'

OB=90°,“旋补中距"CE长度=2；

(2)若图1中NACB的度数发生改变，则△A2C“旋补交差角”度数是否发生改变？请

证明你的结论，并直接判断AABC“旋补中距”是否也发生改变；

(3)已知图2中△?!'B'C是△ABC“旋补交差三角形”，AB的长度等于4,A'B'

长度等于6,问OC是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明

理由.

19.在四边形4BCD中，ZABC=90°,AB=BC,对角线AC、8。相交于点E,过点C作

CP垂直于BD垂足为R

且CF=DF.

(1)求证：AACDS/XBCF；

(2)如图2,连接AR点尸、M、N分别为线段A3、AF,DP的中点，连接尸M、MN、

PN.

①求证：ZPMN=135°；

②若AD=2加,求△〃新的面积.

02中线四大模型在三角形中的应用（能力提升）

1.直角三角形中有两条边的长分别为4,8,则此直角三角形斜边上的中线长等于（）

A.4B.4泥C.4或4旄D.4或2如

【答案】D

【解答】解：①当4和8均为直角边时，斜边=4泥，则斜边上的中线=2灰；

②当4为直角边，8为斜边时，则斜边上的中线=4.

故选：D.

2.如图，点。是Rt^ABC的斜边的中点，点E、歹分别在边A3、AC上，且BE=BD

=CF,连接DE、DF,若DE=7.历,DF=IO,则线段BE的长为.

【解答】解：如图，延长ED至点尸，使得DP=DF,连接2尸，EP,过点E作EQLED

于点Q,

在ABDP和△CO/中，

：.ABDP^ACDF(SAS),

：.BP=CF,ZPBD=ZC,

VZC+ZABC=90°,

AZPBD+ZABC=90°,

即NAB尸=90°,

♦：BE=CF,

：.BE=BP,

・・・4BEP为等腰直角三角形,

:・EP=MBE,

VZABC+ZC=90°,BD=BE,CD=CF,

ZBDE+ZCDF=135°,

AZEDQ=45°,

•；ED=7&,

：.EQ=DQ=7,

EP=ylIQ2+PQ2=I3V2，

：.BE=13.

故答案为：13.

3.如图所示，已知四边形ABC。，R、P分别是DC、BC上的点，点E、P分别是AP、RP

的中点，当点尸在边BC上从点2向点C移动，且点R从点。向点C移动时，那么下列

结论成立的是（）

B.线段EF的长逐渐减少

C.线段E尸的长不变

D.ZVIBP和△CRP的面积和不变

【答案】A

【解答】解：连接AR,

,:E,尸分别是AP,RP的中点，

：.EF=^-AR,

2

:当点P在BC上从点C向点8移动，点R从点。向点C移动时,AR的长度逐渐增大,

.•.线段跖的长逐渐增大.

SAABP+SACRP=LB。CAB+CR）.

2

；CR随着点R的运动而减小，

AABP和的面积和逐渐减小.

观察选项，只有选项A符合题意.

故选：A.

4.求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

已知：如图，在△ABC中，ZABC=90°,点。是AC的中点.

求证：08=aAC.

2

证明：延长3。到。，使。£>=。2,连接AO、CD,

中间的证明过程排乱了：

①：/ABC=90°,

®'：OB=OD,OA=OC,

③...四边形ABCD是平行四边形，

④...四边形ABC。是矩形.

：.AC=BD,：.OB=^BD=^-AC.

22

则中间证明过程正确的顺序是（）

A.①④②③B.①③②④C.②④①③D.②③①④

【答案】D

【解答】解：延长BO到D,使。。=OB,连接A。、CD,

'：OB=OD,OA=OC,

四边形ABCD是平行四边形，

VZABC=90°,

平行四边形ABCD是矩形.

：.AC=BD,

：.OB=^BD=^-AC.

22

则中间证明过程正确的顺序是②③①④，

故选：D.

5.如图，为O。的直径，CA与。。相切于点A,BC交。0于点、D,E是第的中点，连

接OE并延长交AC于点尸，若AB=5,则AF的长为（

3

蜒1610

A.RrD.4

233

【答案】A

【解答】解：连接交OF于点G,

是第的中点，

：.OE±AD,

：.ZAGO=90°,

为O。的直径，

AZADB=90°,

：.ZADB=ZAGO=90°,

：.BC//OF,

"：OA=OB,

：.AF=CF,

...OP是aABC的中位线，

：.OF=^BC,

2

\-BD=^CD,

3

：.BD=^BC,

4

：C4与。。相切于点A,

AZCAB=90",

：.ZCAB=ZADB=90°,

'：NB=NB,

:.ABDASABAC,

.BA=BD

"BCBA"

.".BA2=BD-BC,

/.25=ABC2,

4

：.BC=10,

：.OF=^BC=5,

2

,：OA=^AB=2.5,

2

■,•^=VOF2-OA2=VS2-2.52=2.5«，

故选：A.

6.如图，将△ABC沿OE折叠，使点A与BC边的中点尸重合，下列结论中：①EF〃AB

且2EF=AB；②/BAF=/CAF；③S四边形ADEF=2AE;@ZBDF+ZFEC=2ZBAC,

2

正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解答】解：设AF与。E相交于点G,

由折叠得：

ZDAE=ZDFE,DE是AF的垂直平分线，AE=EF,

•..点尸是2C的中点，点E不是AC的中点，

EF不是ZvlBC的中位线，

尸不平行于AB,2EF乎AB,

故①不正确；

'JAB^AC,点尸是BC的中点,

ZBAF^ZCAF,

故②不正确；

9：AF±DE,

•*•5四边形产

=^AF^DG+^AF-EG

22

=AAF(DG+EG)

2

=XAF*DE,

2

故③正确；

,/ZBDF是△ADP的一个外角，

ZBDF=ZDAF+ZAFD,

,/NCEF是AAEF的一个外角，

ZCEF=ZEAF+ZEFA,

：.ZBDF+ZFEC=ZDAF+ZAFD+ZEAF+ZEFA

=NDAE+/DFE

=2/DAE,

故④正确；

上列结论中，正确的个数是2,

故选：B.

7.矩形ABCD与CEFG,如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AE取

AF的中点H,连接GH,若BC=EF=4,CD=CE=2,则GH=.

【答案】V2

【解答】解：如图，延长GH交A。于点P,

,/四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形,

AZADC=ZADG=ZCGF=90°,AD=BC=4、GF=CE=2,

J.AD//GF,

：.ZGFH=ZPAH,

又•..”是AF的中点，

：.AH=FH,

在△AP”和△FG”中，

2PAH=NGFH

AH=FH，

ZAHP=ZFHG

£\APH^/XFGH(ASA),

：.AP=GF=2,PH=HG=、PG,

2

"：PD=AD-AP=2,GD=GC-CD=4-2=2

:,GP=VGD2+PD2=2近

:.GH=LGP=M

2

故答案为：V2

8.如图，在△ABC中，延长C4到点D,使AD=AC,点E是AB的中点，连接。E,并延

长DE交BC于点、F,已知BC=4,则3广=.

3

【解答】解：过点8作BG〃CQ,交。尸的延长线于点G,

G

：.ZD=ZG,ZDAE=ZEBG,

...点E是AB的中点，

：.AE=BE,

：.AADE^ABGE(AAS),

：.AD=BG,

\9AD=AC,

：.AD=AC=BG,

：.DC=2BG,

♦：CD〃BG,

：.ZC=ZFBGf

,:/D=/G,

:.△DCFs^GBF,

・DC-CF-o

BGBF

.-.BF=ABC=A,

33

故答案为：A.

3

9.如图，△ABC中，AB=AC,点。在AC上，连接BD,△ABO的中线AE的延长线交BC

于点/，ZMC=60°,若AD=5,AB=1,则EF的长为.

2

【答案】百

【解答】解：延长AE至点G,使得AE=EG,

G

；E是BD的中点，

；.BE=DE,

在AADE和AGBE中，

.".△ADE^AGBE(SAS),

；.AD=GB=5,ZG=ZFAC=60°,

过点B作BH1GE于点H,

在Rt^BGH中，ZGBH=180°-90°-60°=30°,

.•.GH=1BG=2,BH

在RtAABH中，AH2,

；.AG=AH+GH=8,

；.AE=GE=4,

过点D作DM〃EF,交BC于点M.

设EF=x,则DM=2x,

VDM//EF,

DM二CD二2

AF=CA"2^5,

；.AF=7x,

，AE=7x-x=6x=4,

2

.*.x=3,

2

；.EF=3,

2

故答案为：3.

10.如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

己知：如图，E是BC的中点，点A在。E上，且求证：AB=CD.

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性

质，观察本题中要证AB=CD,必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.请

根据上述分析写出详细的证明过程（只需写一种思路）.

【解答】证明：方法一：如图1中，作8尸，DE于点RCGLDE于点G.

(1)

AZF=ZCGE=90°,

在和ACGE中，

'/BEF=/GEC

-BE=CE，

ZBFE=ZCGE

ABFE出ACGE.

：.BF=CG.

在△ABP和△DCG中，

，ZF=ZDGC=90°

<ZBAE=ZCDE，

BF=CG

，AABF丝4DCG.

：.AB=CD.

或方法二：如图2中，作Cr〃AB,交。E的延长线于点尸.

XVZABE=ZD,

：.ZF=ZD.

：.CF=CD.

在△ABE和△n?£■中，

AABE^AFCE.

：.AB=CF.

：.AB=CD.

11.如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE=BD=r>C,FA=FE.求

ZADC的度数.

A

【解答】解：延长至G,使AD=0G,连接5G,在。G上截取

在△ADC和△GOB中，，

AAADC^AGDB(SAS),

：.AC=BG,ZG=ZCAD9

*：FA=FE,

：.ZCAD=ZAEF,

：.ZG=ZCAD=ZAEF=/BED,

J.BG^BE^AC,

•：AE=DC=BD,

：・AE+ED=DH+ED,

：.AD=EH,

在△D4C和中，

:.△DACmAHEB(SAS),

：.CD=BH,

：.BD=BH=DH,

：.ABDH为等边三角形,

：.ZC=ZBDH=60°=AADC.

故答案为：60°.

12.(1)如图1,在△ABC中，ZB=60°,ZC=80°,AO平分/BAC.求证：AD=AC；

(2)如图2,在△ABC中，点E在8c边上，中线8。与AE相交于点P,AP=BC.求

证：PE=BE.

A

D

P,

-D1cBE-----"C

图1图2

【解答】证明：(1)在△A5C中，ZB=60°,NC=80°,

AZBAC=1SO°-60°-80°=40°,

VA£)平分N84C,

・・・N84O=L/3AC=20°,

2乙

AZADC=ZB+ZBAD=600+20°=80°,

VZC=80°,

：.ZC=ZADCf

：.AD=AC；

(2)过点A作A/〃BC交的延长线于点R

:・/F=/DBC,ZFAD=ZC,

9：AD=CD.

：.AADF^ACDB(A4S),

:・AF=BC,

・：AP=BC,

：.AP=AFf

：.ZAPF=ZF,

VZAPF=ZBPEf/F=/DBC,

：.ZBPE=/PBE,

:・PE=BE.

13.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1,在△A5C中，AB=S,AC

=6,。是3c的中点，求3C边上的中线AO的取值范围.

E

图1D

图2

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E,^DE=AD,再证明

“△ADC"AEDB”.

(1)探究得出AD的取值范围是；

(2)【问题解决】如图2,△ABC中，ZB=90°,AB=2,AD是△ABC的中线，CE

1.BC,CE=4,且/AOE=90°,求AE的长.

【解答】解：(1)4。的取值范围是1<AD<7；

故答案为：1<AO<7

(2)延长AO交EC的延长线于尸，

'：AB±BC,EFLBC,

：.ZABD=ZFCD,

在△42。和△/CD中,

，ZABD=ZFCD

•BD=CD，

ZADB=ZFDC

AABD^AFCD(ASA)

：.CF=AB=2,AD=DF,

VZADE=90°,

：.AE=EF,

,/EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6,

：.AE=6

14.如图，BC为。O直径，AB切。。于B点，AC交。。于。点，E为AB中点.

(1)求证：DE是<30的切线；

(2)若NA=30°,BC=4,求阴影部分的面积.

c

BEA

【解答】(1)证明：连接OD,OE,

：.ZOBE=9Q°,

为AB中点，。为BC的中点，

是△ABC的中位线，

：.OE//AC,

：.ZBOE=ZC,ZDOE=ZCDO,

"：OC=OD,

：.ZC=ZCDO,

：.ZBOE=ZDOE,

•：OB=OD,OE=OE,

.,.△BOE出4DOE(SAS),

：./ODE=/OBE=90°,

•••OD是。。的半径，

是OO的切线；

(2)解：过点。作OFLCD,垂足为尸，过点E作EG_LA。，垂足为G,

VZABC=90°,ZA=30°,BC=4,

，AB=F8C=4我，AC=2BC=8,ZC=90°-ZA=60°,

OC=OD,

.•.△COD是等边三角形，

：.ZCOD=ZCDO=6Q°,OC=OD=CD^^BC=2,

2

Z.ZBOD=180°-ZC<9Z)=120°,AD=AC-DC=8-2=6,

OF=OC-sin60°=2X」I_=y,

2

,/ZODE=90°,

Z.ZADE=180°-/ODE-/CDO=30°,

：.ZA=ZADE=30°,

：.AE=DE,

：.AG=DG=^AD=3,

2

；.GE=AG・tan30°=3义返=«,

3

阴影部分的面积=442。的面积-4COD的面积-扇形BOD的面积-XDEA的面积

兀义

=XAB-BC-工CD，OF-1202：_±AD.EG

223602

=AX4X4A/3--X2XJ3-—TT-AX6XJ3

2232

=4V3-—Tt,

3

A阴影部分的面积为4a-叔

15.(1)方法回顾证明：三角形中位线定理.

己知：如图1,OE是△ABC的中位线.求证：.

证明：

(2)问题解决：如图2,在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、尸分别为AB、CD

边上的点，若AG=3,DF=4,ZGEF=90°,求GF的长.

【解答】（1）已知：如图1,OE是△ABC的中位线.求证：DE//BC,DE=^.BC,

2

证明：过点C作CF//BA交DE的延长线于点F,

：.ZA=ZACF,ZF=ZADF,

•.•点E是AC的中点，

：.AE=EC,

：.AADE^ACFE(44S),

：.DE=EF=—DF,AD=CF,

2

•..点。是AB的中点，

:.AD=DB,

：.DB=CF,

二四边形DBCF是平行四边形，

J.DF//BC,DF=BC,

J.DE//BC,DE=LBC,

2

故答案为：DE//BC,DE=LBC；

2

(2)延长GE,CD交于点

•..四边形ABC。是正方形，

：.AB//CD,

：.ZA=ZADH,ZAGE=ZH,

•.•点E是A£＞的中点，

：.AE=DE,

:.丛AGE”丛DHE(A4S),

：.AG=DH=3,GE=EH,

"：DF=4,

：.FH=DH+DF=1,

'：ZGEF=90°,

.•.FE是GH的垂直平分线,

：.GF=FH=1,

16.如图1,在四边形ABC。中，AC和2。相交于点。，AO^CO,ZBCA=ZCAD.

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)如图2,E,F,G分别是80,CO,AD的中点，连接EF,GE,GF,若BD=2AB,

BC=15,AC=16,求△EFG的周长.

【解答】（1）证明：•.•NBCA=NCAD,

J.AD//BC,

在△AQD与△COB中，

:AAOD空ACOB(ASA),

：.AD=BC,

四边形ABC。是平行四边形;

(2)解：连接DR

V四边形ABC。是平行四边形，

：.AD=BC=15,AB=CD,AD//BC,BD=2OD,O4=OC=Lc=8,

2

•:BD=2AB,

：.AB=OD,

：.DO=DC,

,点厂是。C的中点,

.•.OF=_1OC=4,DF±OC,

2

：.AF=OA+OF=n,

在RtAAFD中，^=VAD2-AF2=V152-122=%

...点G是AD的中点，ZAFD=90a,

：.DG=FG=—AD=1.5,

2

•.•点E,点厂分别是02,0C的中点，

是△OBC的中位线，

：.EF=^BC=1.5,EF//BC,

2

：.EF=DG,EF//AD,

四边形GEFD是平行四边形，

：.GE=DF=9,

：.4EFG的周长=GE+GF+EF=9+7.5+7.5=24,

17.(1)方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB=6,AC=4,点。为BC边的中点，求

BC边上的中线AD的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=

AD,再连接BE,可证△ACD也从而把A3、AC,2AD集中在△ABE中，利用三

角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是(直接写出范围即可).这种解决问题

的方法我们称为倍长中线法；

(2)探究应用：

如图②，在△ABC中，点。是BC的中点，DE，。尸于点。，DE交AB于点、E,DF交

AC于点尸，连接EF判断8E+CF与EF的大小关系并证明；

(3)问题拓展：

如图③，在四边形A8CD中，AB//CD,AF与DC的延长线交于点只点E是BC的中

点，若AE是/BAF的角平分线.试探究线段AB,AF,C尸之间的数量关系，并加以证

明.

【解答】解：（1）1<AO<5.

"：AD^BC边上的中线，

：.BD=CD,

:.ABDEgACDA（SAS）,

：.BE=AC=4,

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

：.6-4<AE<6+4,

.,.2<A£<10,

.•.1<AD<5.

证明：（2）延长㈤至点M,使DM=DF,连接BM、EM,如图②所示.

同（1）得：LBMDWACFD（.SAS）,

：.BM=CF,

'：DE±DF,DM=DF,

：.EM=EF,

在ABME中,由三角形的三边关系得：

BE+BM>EM,

：.BE+CF>EF.

A

(3)如图③，延长AE,DF交于点G,

,JAB//CD,

：./BAG=NG,

在△4BE和△GCE中，

CE=BE,ZBAG=ZG,ZAEB=ZGEC,

：.AABE^AGEC(AAS),

CG=AB,

是/BAF的平分线，

ZBAG=ZGAF,

：.ZFAG=NG,

：.AF=GF,

；FG+CF=CG,

：.AF+CF=AB.

18.我们定义：如图1,在△ABC中，把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CAI把3c绕

点C逆时针旋转90°得至UCB',连接A，B'.我们称△A'B'C是△ABC的“旋补交

差三角形"，连接AB'、A'B,我们将AB'、A'8所在直线的相交而成的角称之为△

A2C“旋补交差角”，C点到A'B'中点£间的距离成为“旋转中距”.如图1,ZB'

08即为△ABC“旋补交差角”，CE即为△ABC“旋补中距”.

(1)若已知图1中AB的长度等于4,当/ACB=90°,则△ABC“旋补交差角"ZB'

OB=90°,“旋补中距"CE长度=2；

(2)若图1中/ACB的度数发生改变，则AABC“旋补交差角”度数是否发生改变？请

证明你的结论，并直接判断△A2C“旋补中距”是否也发生改变；

(3)已知图2中aA'B'C是△ABC“旋补交差三角形”，的长度等于4,A'B'

长度等于6,问OC是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明

理由.

【解答】解：(1)如图1,

图1

:把AC点绕点C顺时针旋转90°得到。V,把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB',

/.ZACA'=90°=ZBCB',AC=A'C,BC=B'C,

VZACB=90°,

/.ZA'CB'=ZACB=90°,ZACB+ZACA'=180°,ZACB+ZBCB'=180°,

.•.点A,点C,点8共线，点,B,点C,点A共线，

：.AB'>A'2的交点。与点C重合，

...△ABC“旋补交差角"ZB'08=90°,

"：AC=A'C,Z