电磁场导论第二章

电磁场导论第二章第1页，共90页，2023年，2月20日，星期一1.

Coulomb定律

真空中任意两个静止点电荷q1和q2之间作用力的大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比，方向沿q1和q2连线方向。

xF12zyro第2页，共90页，2023年，2月20日，星期一叠加原理

真空中多个点电荷构成的电荷体系，两两间的作用力，不受其它电荷存在的影响。多个电荷体系中某个电荷受到的作用力是其余电荷与该电荷单独存在时作用力矢量代数和。qi第3页，共90页，2023年，2月20日，星期一2.

电场强度

电场对某点单位正试验电荷的作用力称为该点的电场强度，以E表示。

式中，q为试验电荷的电荷量；

F为电荷q受到的作用力。xF12zyro第4页，共90页，2023年，2月20日，星期一3.

静电场的电位

电场强度可以表示为一个标量函数的负梯度，这个标量函数就是静电场的位函数，简称电位(φ)

。所以有

电位的单位是伏(V)。

因此电场强度的单位为伏/米(V/m)。

位于源点r′处的点电荷q，在r处产生的电位为：

第5页，共90页，2023年，2月20日，星期一

物理意义：电荷分布在有限区域时，选无限远处作电位参考点：

单位正电荷在电场力的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力作的功。第6页，共90页，2023年，2月20日，星期一

若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密度

S

及线密度l

的关系分别为:第7页，共90页，2023年，2月20日，星期一

电位相等的曲面称为等位面，其方程为等位面电场线E几种电场线和等位面的分布4.

电力线与等位面

电场线方程电场管第8页，共90页，2023年，2月20日，星期一例1

计算电偶极子的电位及电场强度。

解

由于电位及电场强度均与电荷量的一次方成正比。因此，电偶极子产生的电位应为

x–q+qzylrr–r+O若观察距离远大于间距l，则可认为,，于是求得：第9页，共90页，2023年，2月20日，星期一乘积ql

称为电偶极子的电矩，以p表示，即那么电偶极子产生的电位可用电矩p

表示为

已知，求得电偶极子的电场强度为可见电偶极子的，，而且两者均与方位角

有关。第10页，共90页，2023年，2月20日，星期一电偶极子的电场线和等位线第11页，共90页，2023年，2月20日，星期一1.

真空中的高斯定理

实验表明，真空中静电场的电场强度E满足下列两个积分形式的方程右式表明真空中静电场的电场强度穿过任一封闭曲面的电通量等于该封闭曲面所包围的电荷量与真空中的介电常数之比。称为高斯定理。第12页，共90页，2023年，2月20日，星期一

•E=0

(正源)•E=0

(无源）•E=

0

(负源)真空中任意一点电场强度的散度，等于该点的电荷量与真空中的介电常数之比。电场强度是空间中所有的电荷产生的，与其他点电荷有关，但其他点的电荷在该点产生的散度为零。高斯定理的微分形式：第13页，共90页，2023年，2月20日，星期一有极分子无极分子2.介质极化

导体中的电子称为自由电子，其电荷称为自由电荷。介质中的电荷不会自由运动，因此称为束缚电荷。

在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移的现象称为极化。无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。

无极分子有极分子Ea第14页，共90页，2023年，2月20日，星期一外加场Ea

介质极化现象是逐渐形成的。自外电场Ea

加入发生极化后，一直达到动态平衡的过程如下图所示。

介质合成场Ea+Es

极化二次场Es第15页，共90页，2023年，2月20日，星期一

单位体积中电矩的矢量和称为极化强度，以P

表示，即

式中，pi

为体积V

中第i

个电偶极子的电矩；N

为V

中电偶极子的数目。式中e

称为极化率，它是一个正实数。

大多数介质发生极化时，，令第16页，共90页，2023年，2月20日，星期一

3.介质中的静电场方程

在介质内部，穿过任一闭合面S的电通应为式中，q为自由电荷；为束缚电荷。令，求得此处定义的D

称为电通密度。第17页，共90页，2023年，2月20日，星期一可见，介质中穿过任一闭合面的电通密度的通量等于该闭合面包围的自由电荷，而与束缚电荷无关。

上式又称为介质中的高斯定律的积分形式，利用散度定理不难推出其微分形式为

该式表明，某点电通密度的散度等于该点自由电荷的体密度。

第18页，共90页，2023年，2月20日，星期一

已知各向同性介质的极化强度，求得

令式中，称为介质的介电常数。则？由于，因此第19页，共90页，2023年，2月20日，星期一相对介电常数r

定义为几种介质的相对介电常数介

质介

质空

气1.0石

英3.3油2.3云

母6.0纸1.3~4.0陶

瓷5.3~6.5有机玻璃2.6~3.5纯

水81石

腊2.1树

脂3.3聚乙烯2.3聚苯乙烯2.6rr>1第20页，共90页，2023年，2月20日，星期一各向异性介质的电通密度与电场强度的关系为可见，各向异性介质中，电通密度和电场强度的关系与外加电场的方向有关。

均匀介质的介电常数与空间坐标无关。线性介质的介电常数与电场强度的大小无关。静止介质的介电常数与时间无关。第21页，共90页，2023年，2月20日，星期一

例2

设在半径为a的球体内分布着电荷体密度为0

的电荷，试计算空间中任意点的电场强度。

当r<a

时，当r>a

时，第22页，共90页，2023年，2月20日，星期一

例3

设半径为a，电荷体密度为

的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电圆柱内、外的电场强度。

xzyaLS1

选取圆柱坐标系，由于场量与

z

坐标无关，且上下对称，因此电场强度一定垂直于z轴。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特点，场强一定与角度

无关。

因此，可以利用高斯定律求解。第23页，共90页，2023年，2月20日，星期一

取半径为r

，长度为L

的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用高斯定律，得

xzyaLS1

因电场强度方向处处与圆柱侧面S1的外法线方向一致，而与上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为第24页，共90页，2023年，2月20日，星期一

当r<a

时，则电荷量q为,求得电场强度为

当r>a

时，则电荷量q为,求得电场强度为第25页，共90页，2023年，2月20日，星期一

a2

可以认为是单位长度内的电荷量。那么，柱外电场可以看作为位于圆柱轴上线密度为a2

的线电荷产生的电场。因此线密度为的无限长线电荷的电场强度为

由上可见，对于无限长圆柱体分布电荷，利用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。第26页，共90页，2023年，2月20日，星期一（1）电场是一种保守场。静电场几个重要特性（2）静电场的电场线既不能闭合的也不可能相交。（3）若电荷分布已知，计算静电场的方法是：直接根据电荷分布计算电场强度通过电位求出电场强度利用高斯定律计算电场强度第27页，共90页，2023年，2月20日，星期一

由上两式可以求出电场强度的散度及旋度分别为

左式表明，真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点电荷体密度与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度的旋度处处为零。真空中静电场是有散无旋场。1.

真空中静电场方程

第28页，共90页，2023年，2月20日，星期一2.两种介质的边界条件

由于介质的特性不同，引起场量在两种介质的分界面上发生突变，这种变化规律称为静电场的边界条件。

通常分别讨论边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。

1

2enetn—normalt—tangential第29页，共90页，2023年，2月20日，星期一E2E1

1

2et①电场强度的切向分量在两介质的边界面两侧的电场强度切向分量相等。hS

1

2enD2D1②

电通密度的法向分量两种介质边界上电通量密度的法向分量不相等。

1324lh第30页，共90页，2023年，2月20日，星期一介质E,D导体en3.介质与导体的衔接条件

导体中的电场强度为零，导体表面的外侧不可能存在电场强度的切向分量。换言之，电场强度必须垂直于导体的表面，即第31页，共90页，2023年，2月20日，星期一1.电位微分方程利用电位与电场强度E的关系

对于线性各向同性的均匀介质，电位满足的微分方程式为

泊松方程

拉普拉斯方程对于无源区，，上式变为

分布在V

中的电荷在无限大的自由空间产生的电位为第32页，共90页，2023年，2月20日，星期一

第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为诺依曼问题。

第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。

第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄里赫利问题。2.边界条件第33页，共90页，2023年，2月20日，星期一3.解的存在、稳定及惟一性问题

惟一性：在给定的定解条件下所求得的解是否是惟一的。

稳定性：

当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否有很大的变化。存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。

若静电场边界为导体，给定导体上的电位就是第一类边界。若在此基础上再给定了导体表面上的电荷量就是第二类边界。当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。第34页，共90页，2023年，2月20日，星期一

静电场的边值问题——

根据给定的边界条件求解静电场的电位分布。

对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满足泊松方程方程在无源区，电位满足拉普拉斯方程利用格林函数，可以求解泊松方程。利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。第35页，共90页，2023年，2月20日，星期一1.镜像法

实质:以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。

这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此称为镜像电荷，这种方法称为镜像法。第36页，共90页，2023年，2月20日，星期一（1）点电荷与无限大的导体平面

介质

导体

qrP

介质q

rP

hh

介质

以一个镜像点电荷q'代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为的空间，则空间任一点P的电位由q

及q'

共同产生，即

无限大导体平面的电位为零第37页，共90页，2023年，2月20日，星期一

依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原来的边界条件。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。

局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电荷分布才有可能确定其镜像电荷。

第38页，共90页，2023年，2月20日，星期一（2）点电荷与接地导体球

令镜像点电荷q

位于球心与点电荷q的连线，则球面上任一点电位：

镜像电荷电量必须选择为：qfOPadrqr为使镜像电荷具有确定值，必须要求比值对于球面上任一点均具同一数值。若△OPq~△OqP

，则镜像电荷镜像电荷离球心距离第39页，共90页，2023年，2月20日，星期一l（3）线电荷与带电的导体圆柱

在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d处，平行放置一根镜像线电荷

。因此，离线电荷r

处，以为参考点的电位为

Pafdr–lO已知无限长线电荷产生的电场强度为，第40页，共90页，2023年，2月20日，星期一

若令镜像线电荷产生的电位也取相同的作为参考点，则及在圆柱面上P点共同产生的电位为已知导体圆柱是一个等位体，必须要求比值与前同理，可令第41页，共90页，2023年，2月20日，星期一

（4）点电荷与无限大的介质平面

E

1

1qr0E'EtEnq'

2

2q"E"

1

2qeten=+

对于上半空间，可用镜像电荷q'

等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为1的均匀空间。

对于下半空间，可用位于原点电荷处的q"

等效原来的点电荷q与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为2

的均匀空间。

第42页，共90页，2023年，2月20日，星期一

必须使所求得的场符合边界条件，即电场切向分量和电通密度的法向分量应该保持连续，即

已知各个点电荷产生的电场强度分别为代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：第43页，共90页，2023年，2月20日，星期一

例已知同轴线的内导体半径为a，电压为U，外导体接地，其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。

解对于该边值问题，镜像法不适用，只好求解电位方程。求得UbaO

选用圆柱坐标系。由于场量仅与坐标r

有关，因此，电位所满足的拉普拉斯方程变为第44页，共90页，2023年，2月20日，星期一利用边界条件：最后求得求得第45页，共90页，2023年，2月20日，星期一

为了利用给定的边界条件，选择适当的坐标系是非常重要的。对于上述一维微分方程，可以采用直接积分方法。

分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程，从而简化求解过程。

为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是分离变量法。分离变量法对于3种坐标系都是行之有效的。第46页，共90页，2023年，2月20日，星期一3.直角坐标系中的分离变量法

在直角坐标系中，拉普拉斯方程展开式为

令式中的左边各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量x

求导，第二项及第三项均为零，求得第一项对x

的导数为零，说明了第一项等于常数。代入上式，两边再除以，得

第47页，共90页，2023年，2月20日，星期一

同理，再分别对变量y

及z

求导，得知第二项及第三项也分别等于常数。令各项的常数分别为，求得式中，kx，ky，kz

称为分离常数，它们可以是实数或虚数。三个分离常数不是独立的，必须满足下列方程第48页，共90页，2023年，2月20日，星期一由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简化为三个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且三个常微分方程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。或者式中，A,B,C,D为待定常数。例如，含变量x

的常微分方程的通解为第49页，共90页，2023年，2月20日，星期一当kx为虚数时，令，则上述通解变为或者含变量x

或y

的常微分方程的解完全相同。解中待定常数也取决于给定的边界条件。解的形式的选择决取于给定的边界条件。

这些解的线性组合仍然是方程的解。通常为了满足给定的边界条件，必须取其线性组合作为方程的解。第50页，共90页，2023年，2月20日，星期一㊀㊀㊀⊕⊕⊕⊕静电屏蔽E=0E0⊕⊕⊕㊀㊀㊀⊕⊕⊕E0㊀㊀㊀⊕⊕⊕㊀㊀㊀⊕⊕⊕E=0⊕⊕⊕⊕第51页，共90页，2023年，2月20日，星期一

例已知半径为r1

的导体球携带的正电荷量为q，该导体球被内半径为r2

的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为1

，球壳的外半径为r3

，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径为r4

，介电常数为2

，外部区域为真空，如左下图所示。试求：①各区域中的电场强度；

②各个表面上的自由电 荷和束缚电荷。r1r2r3r4

0

2

1可以应用高斯定律求解吗?第52页，共90页，2023年，2月20日，星期一解在r<r1及r2<r<r3

区域中

E=0

在r1<r<r2

区域中同理，在r3<r<r4

区域中，求得在r>r4

区域中，求得？注意，各区域中的介电常数不同！r1r2r3r4

0

2

1第53页，共90页，2023年，2月20日，星期一根据及，分别求得r=r1:r=r4:r=r2:r=r3:r1r2r3r4

0

2

1第54页，共90页，2023年，2月20日，星期一1.电容的概念由物理学得知，平板电容器的电容为

电容的单位F（法拉）。C地球

F

实际中，使用F（微法）及

pF（皮法）作为电容单位。第55页，共90页，2023年，2月20日，星期一

多导体系统中,每个导体的电位与导体本身电荷及其他导体上的电荷均有关。

各个导体上的电荷与导体间电位差的关系为其中Cii

称为固有部分电容；Cij

称为互有部分电容。q1q3qnq2||||||||||||2.电容系数和部分电容第56页，共90页，2023年，2月20日，星期一

例已知同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，内、外导体之间填充介质的介电常数为

。试求单位长度内、外导体之间的电容。

解设内导体单位长度内的电荷量为q，围绕内导体作一个单位长度圆柱面作为高斯面S，则ab内、外导体间电位差U为

单位长度内电容为

第57页，共90页，2023年，2月20日，星期一9.电场能量

电场力作功，需要消耗自身的能量，可见静电场是具有能量的。

外力反抗电场力作功，此功将转变为静电场的能量储藏在静电场中。

根据电场力作功或外力作功与静电场能量之间的转换关系，可以计算静电场能量。㊉EF㊉㊉Ev㊉第58页，共90页，2023年，2月20日，星期一

首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算电荷量为Q的孤立带电体的能量。

设带电体的电荷量Q

是从零开始逐渐由无限远处移入的。由于开始时并无电场，移入第一个微量

dq

时外力无需作功。当第二个dq移入时，外力必须克服电场力作功。

若获得的电位为

，则外力必须作的功为

dq

，因此，电场能量的增量为

dq

。第59页，共90页，2023年，2月20日，星期一

已知孤立导体的电位等于携带的电量Q

与电容C的之比，即求得电量为Q

的孤立带电体具有的能量为

或者为

已知带电体的电位随着电荷荷的逐渐增加而不断升高，可见电位是电量q的函数。那么当电荷量增至最终值

Q

时，外力作的总功为第60页，共90页，2023年，2月20日，星期一

对于n

个带电体，设每个带电体的电荷量均从零开始，且以同样的比例增长。若周围介质是线性的，则当各个带电体的电荷量增加一倍时，各个带电体的电位也升高一倍。

设第i

个带电体的电位最终值为i，电荷量最终值为Qi，若某一时刻第i

个带电体的电荷量为qi=Qi(<1)，则电位为第61页，共90页，2023年，2月20日，星期一

当各个带电体的电量同时分别增至最终值时，该系统的总电场能为

求得

那么当各个带电体的电荷量均以同一比例

增长，外力必须作的功为第62页，共90页，2023年，2月20日，星期一

当带电体的电荷为连续的体分布、面分布或线分布电荷时，由，求得总能量为

式中，

(r)

为体元dV、面元dS、或线元

dl

所在处的电位；积分区域为电荷分布的整个空间。

从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占据的整个空间，应该计算静电场的能量分布密度。静电场的能量密度以小写英文字母we表示。第63页，共90页，2023年，2月20日，星期一

设两个导体携带的电荷量为Q1和Q2，其表面积分别为S1和S2，如下所示。

S2Q2Q1S1Venen

已知电荷分布在导体的表面上，因此，该系统的总能量为

又知，求得第64页，共90页，2023年，2月20日，星期一S

若在无限远处再作一个无限大的球面S，由于电荷分布在有限区域，无限远处的电位及场强均趋于零。因此，积分

S2Q2Q1S1Venen那么，上面的储能公式可写为

式中。第65页，共90页，2023年，2月20日，星期一考虑到区域V

中没有自由电荷，所以。又，代入上式，求得由此求得静电场的能量密度

利用散度定理，上式可写第66页，共90页，2023年，2月20日，星期一已知各向同性的线性介质，，代入后得

此式表明，静电场能量与电场强度平方成正比。因此，能量不符合叠加原理，多带电体的总能量并不等于各个带电体单独存在时具有的各个能量之和。

因为第2个带电体引入系统时，外力必须反抗第1个带电体对第2个带电体产生的电场力而作功，此功转变为电场能量，这份能量称为互有能，而带电体单独存在时具有的能量称为固有能。第67页，共90页，2023年，2月20日，星期一能量计算第68页，共90页，2023年，2月20日，星期一

例计算半径为a，电荷量为Q的导体球具有的能量。导体周围介质的介电常数为

。

解①通过电位。aQ可以通过三种途径求解。已知半径为a，电荷量为Q

的导体球的电位为第69页，共90页，2023年，2月20日，星期一②通过表面电荷。③通过能量密度。求得已知导体表面是一个等位面，那么积分求得

已知电荷量为Q

的导体球外的电场强度为第70页，共90页，2023年，2月20日，星期一10.电场力

某点电场强度在数值上等于单位正电荷在该点受到的电场力。因此，点电荷受到的电场力为

若上式中

E

为点电荷q产生的电场强度，则

式中，

为该点电荷周围介质的介电常数。第71页，共90页，2023年，2月20日，星期一那么，点电荷q对于点电荷的作用力为

式中er

为由q

指向的单位矢量。库仑定律qq'F第72页，共90页，2023年，2月20日，星期一

根据库仑定律可以计算电场力。但是，对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力是非常困难的。为了计算电场力，通常采用虚位移法。

这种方法是假定带电体在电场作用下发生一定的位移，根据位移过程中电场能量的变化与外力及电场力所作的功之间的关系计算电场力。第73页，共90页，2023年，2月20日，星期一

以平板电容器为例，设两极板上的电荷量分别为+q

及–q

，板间距离为l

。dll–

q+q

两极板间的相互作用力实际上导致板间距离减小。因此，在上述假定下，求出的作用力应为负值。

假定在电场力作用下，极板之间的距离增量为dl。第74页，共90页，2023年，2月20日，星期一

已假定作用力F

导致位移增加，因此，作用力F的方向为位移的增加方向。这样，为了产生dl

位移增量，电场力作的功应为式中，下标“q=常数”

说明发生位移时，极板上的电荷量没有变化，这样的带电系统称为常电荷系统。

根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即第75页，共90页，2023年，2月20日，星期一已知平板电容器的电容及能量分别为式中，负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。代入前式求得平板电容器两极板之间的作用力为第76页，共90页，2023年，2月20日，星期一

如果假定发生位移时，电容器始终与电源相连，这样，在虚位移过程中，两极板的电位保持不变，这种系统称为常电位系统。

根据这种常电位的假定，也可以计算平板电容器两极板之间的作用力，所得结果应该与上完全相同。第77页，共90页，2023年，2月20日，星期一

由于位移增加，电容减小，为了保持电位不变，极板电荷一定增加。式中为两极板之间的电压。

常电位系统

设正极板的电荷增量为dq，负极板为–dq

，对应的电位分别为

1

及

2

，则电场能量的增量为dll–2

+1

U+–第78页，共90页，2023年，2月20日，星期一

为了将dq电荷移至电位为1的正极板，将电荷–dq

移至电位为2

的负极板，外源必须作的功为

根据能量守恒定律，外源作功的一部分供给电场力作功，另一部分转变为电场能的增量，因此第79页，共90页，2023年，2月20日，星期一已知平板电容器的电容及能量分别为求得同样结果如果利用库仑定律，如何计算？那么能量为第80页，共90页，2023年，2月20日，星期一

例利用虚位移法计算平板电容器极