初中数学 13.4最短路径问题 学案

课题学习最短路径问题【学习目标】能利用轴对称解决简单的最短路径问题.体会图形的变化在解决最值问题中的作用.【重点难点】重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题【学习过程】自主学习：如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？二、合作探究：eq\a\vs4\al(探究点一)探索最短路径问题活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？问题2：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？追问3：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？你能用所学的知识证明你的作法正确吗？eq\a\vs4\al(探究点二)选址造桥问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．)尝试应用如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是米.4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。四、补偿提高如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．【学后反思】参考答案：探究一、追问1、答：将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．追问2答：(1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地，再回到B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图)．追问3作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l交于点C.则点C即为所求．证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC＝B′C，BC′＝B′C′.∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴AC＋BC＜AC′＋BC′.即AC＋BC最短.探究二、分析：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．解：在直线a上取任意一点M′，作M′N′⊥b于点N′，平移AM，使点M′移动到点N′的位置，点A移动到点A′的位置，连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥a于点M，则路径AMNB最短．理由如下：如图，点M′为直线a上任意一点(不与点M重合)，∵线段A′N′是线段AM平移得到的∴AA′＝MN′，A′N′＝AM∴AM′＋MN′＋BN′＝A′N′＋AA′＋BN′∵MN平行AA′且MN＝AA′∴MN可以看作是AA′经过平移得到的∴A′N＝AM∴AM＋NB＝A′N＋NB∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB＝A′B<A′N′＋BN′∴AM＋NB＝A′N＋NB∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB＝A′B<A′N′＋BN′∴AM＋NB<AM′＋BN′∵MN＝MN′∴AM＋MN＋NB<AM′＋M′N′＋N′B，即路径AMNB最短．尝试应用：1、D；2、1000；A答案如图所示：P点就是所求做的