电动力学预备知识

电动力学预备知识第1页，共34页，2023年，2月20日，星期一引言

Introduction

电动力学的研究对象是电磁场的基本性质、运动规律以及它和带电物质之间的相互作用。电动力学的研究内容是阐述宏观电磁场理论，主要从实验定律中总结电磁场的普遍规律，建立Maxwell’sequations。讨论稳恒电磁场、电磁波传播、电磁波辐射及电动力学的参考系问题。第2页，共34页，2023年，2月20日，星期一学习电动力学课程的主要目标：

1）掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概念的理解；

2）获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力，为以后解决实际问题打下基础；

3）通过电磁场运动规律和狭义相对论的学习，更深刻领会电磁场的物质性。第3页，共34页，2023年，2月20日，星期一以电动力学为基础的应用领域：

在生产实践和科学技术领域内，存在着大量和电磁场有关的问题。

例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器等，都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下，电磁场以电磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、X射线和γ射线等都是在不同波长范围内的电磁波，它们都有共同的规律。因此，掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实验都有重大的意义。第4页，共34页，2023年，2月20日，星期一学习参考书：

1、电动力学郭硕鸿编著

2、电动力学汪德新编著科学出版社

3、电动力学吴寿煌丁士章编西安交通大学出版社

4、经典电动力学蔡圣善朱耘编著复旦大学出版社第5页，共34页，2023年，2月20日，星期一预备知识

Preliminarynowledge主要内容：一、矢量代数二、矢量分析基础（梯度、散度、旋度）三、几个重要定理及公式第6页，共34页，2023年，2月20日，星期一一、矢量代数1.矢量的加、减:矢量的加、减，满足平行四边形法则。以两矢量为邻边作平行四边形，则平行四边形的对角线就是这两个矢量的和或差。如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的和(差)的分量等于这两个矢量对应分量的和(差)。设，，则本书中直角坐标的三个单位矢量分别用êx

,êy

,êz

表示，通用方法是ê再加上表示坐标轴名称的角标。第7页，共34页，2023年，2月20日，星期一2.矢量的乘法:（1）两个矢量的点乘两个矢量的点乘，乘积是一个标量，称为标积或内积。设，，则如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的标积等于这两个矢量对应分量的乘积之和。一、矢量代数第8页，共34页，2023年，2月20日，星期一（2）两个矢量的叉乘两个矢量的叉乘，乘积是一个矢量，称为矢积或外积。其大小等于以两矢量为邻边所作平行四边形的面积，方向满足右手螺旋法则。aba×b一、矢量代数第9页，共34页，2023年，2月20日，星期一则设，，由以上计算公式可以得到：一、矢量代数第10页，共34页，2023年，2月20日，星期一3.三个矢量的乘积:（1）三个矢量的混合积三个矢量的混合积是一个标量，其绝对值等于以这三个矢量为棱的平行六面体的体积。，则三矢量的混合积一定是先叉乘，后点乘。否则无意义。注意:设，，一、矢量代数第11页，共34页，2023年，2月20日，星期一利用行列式的性质，可以证明以下结论：（混合积）（2）三个矢量的叉乘，必定处于a和垂直于矢量b所决定的平面内，可以用a和b的线性组合来表示。acba×b一、矢量代数第12页，共34页，2023年，2月20日，星期一一、矢量代数计算公式为：（三个矢量的叉乘）注意：即：三个矢量的叉乘，可以表示为括号内两矢量的线性组合，括号外的矢量与括号内距离较远的矢量点乘作为系数的一项为正，与较近的矢量点乘作为系数的一项为负。“远交近攻”形象地记做：第13页，共34页，2023年，2月20日，星期一在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在任何时刻，该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区域上定义了一个场。如电荷在其周围空间激发的电场，电流在周围空间激发的磁场等。二、矢量分析基础场的概念：（梯度、散度和旋度的概念）撇开物理含义，若一个量是空间坐标和时间的函数，则这个量叫做场。

第14页，共34页，2023年，2月20日，星期一如果某个物理量是标量，空间每一点都对应着该物理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。如果某物理量是矢量，空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。若场中各点处的物理量与时间无关，就称为恒定场。若物理量与坐标无关，就称为均匀场。

二、矢量分析基础第15页，共34页，2023年，2月20日，星期一（1）方向导数方向导数是标量函数变化率，它的数值与所取在一点处沿某方向的方向有关。在不同的方向上的值是不同的。1.标量场的梯度:(GradientofScalarField)的空间由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场在一点处的（2）梯度方向导数有无穷多个。二、矢量分析基础第16页，共34页，2023年，2月20日，星期一设等势面的法线方向为，由几何关系可知，电势沿等势面的法线方向的方向导数最大，等于。由此引入梯度的概念。记作：注意：梯度是一个矢量，其大小为最大的空间变化率，方向指向标量增pp1p2等值面等值面θ加最快的方向。所以说，标量场的梯度是一个矢量场。二、矢量分析基础第17页，共34页，2023年，2月20日，星期一增加的方向。它指向（3）任意方向的方向导数与梯度的关系：是等值面上p点法线方向单位矢量。表示过p2点的任一方向。显见，当时，所以pp1p2等值面等值面θ二、矢量分析基础第18页，共34页，2023年，2月20日，星期一该式表明：由此不难得到：——这是标量场微分的计算公式。即：方向上的方向导数等于梯度在该方向上的投影。（4）在直角坐标系中梯度的计算公式：二、矢量分析基础第19页，共34页，2023年，2月20日，星期一2.矢量场的散度:（DivergenceofVectorField）设闭合面S所包围的体积为表示平均单位体积内所发出的场线的条数。只包围一点时，上式的极限称为矢量场f

在该点的散度。，则而可见，散度就是空间某点处单位体积所发出的场线的条数。（1）概念：当二、矢量分析基础第20页，共34页，2023年，2月20日，星期一（2）在直角坐标系中散度的计算公式：（3）积分变换式——高斯定理（Gauss’sTheorem）它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。二、矢量分析基础第21页，共34页，2023年，2月20日，星期一3.矢量场的旋度:设闭合曲线L所围面积为，则矢量场f沿有向闭合曲线（1）概念：（RotationofVectorField）L的环流为，设想将闭合曲线缩小到空间某一点附近，那么以闭合曲线L为界的面积逐渐缩小，也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作二、矢量分析基础第22页，共34页，2023年，2月20日，星期一即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向，为矢量场f

的旋度。且规定矢量场的旋度是矢量，其方向与dl的环绕方向构成右手螺旋关系。的方向与dl的环绕方向构成右手螺旋关系。为此定义所以：二、矢量分析基础第23页，共34页，2023年，2月20日，星期一（2）在直角坐标系中旋度的计算公式：（3）积分变换式—斯托克斯定理（Stoke’sTheorem）它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。二、矢量分析基础第24页，共34页，2023年，2月20日，星期一4.▽算符:在直角坐标系中，▽算符是一个矢性微分算符，在不同坐标系中形式不同。所以，有同样，二、矢量分析基础第25页，共34页，2023年，2月20日，星期一1.定理:三、定理及公式（1）标量场的梯度必为无旋场（2）矢量场的旋度必为无散场（梯度的旋度恒等于0）（旋度的散度恒等于0）第26页，共34页，2023年，2月20日，星期一，则必存在一个矢量场A，（4）无散场可由一个矢量场的旋度来表示。即：成立。（3）无旋场可由一个标量场的梯度来表示。即：，则必存在一个标量场使成立。如果如果使三、定理及公式第27页，共34页，2023年，2月20日，星期一2.公式:（附录P.343）（1）先根据▽算符的微分特性，依次将它作用到每一个场量上，并标上角标。即：将表达式写成几项微分之和。……三、定理及公式第28页，共34页，2023年，2月20日，星期一（2）将各项中的▽算符作用到所选定的场量上，将其余场量移到▽算符的作用范围之外，同时根据▽算符的矢量特性，检查每一项的矢量性。（3）将▽算符的角标去掉。三、定理及公式第29页，共34页，2023年，2月20日，星期一再如：三、定理及公式第30页，共34页，2023年，2月20日，星期一三、定理及公式第31页，共34页，2023年，2月20日，星期一注意：结果应是矢量，且每一项的方向均与f和g有关。若简单地将▽算符作用于f或g上，得到的表达式只与f或