电磁场导论准静态电磁场

电磁场导论准静态电磁场第1页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1316-1电准静态场

6-1-1

电准静态场（EQS）

时变电场：有源、无旋（同静电场）边值问题：标量电位：

基本方程：当感应电场远远小于库仑电场时，B/t忽略不计，称为电准静态场

因此，电准静态场与静电场的计算方法相同。此时，E和D与场源(t)之间具有瞬时对应关系。

第2页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/132电力系统和电气装置中由时变磁场产生的感应电场，相对于高电压产生的库仑电场很小，可忽略不计，属于电准静态场问题。低频电工电子设备中的感应电场相对于库仑电场可能不小，但其旋度Ei很小时，E=(Ec+Ei）Ec=0成立，也可按电准静态场考虑。例6-1

平板电容器极板为半径10cm的圆金属片，极间距离为1cm，理想介质的介电常数为20，外接缓变电压u(t)=220sin314t求:1)介质中的时变电场强度E(t)2)介质中的时变磁场强度H(t)图6-1+

u(t)

R第3页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/133解：电压u(t)随时间变化缓慢,近似为电准静态场，1）仿照静电场求得介质中的电场强度2）介质中无传导电流，仅有位移电流密度磁场强度由M1方程得第4页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1346-1-2电荷在导体中的弛豫过程

对全电流定律两边取散度

由矢量恒等式，得可见，导体中自由电荷密度按指数规律衰减，称为电荷的弛豫。

其中，=/称为弛豫时间由于E=/，得一阶微分方程的解第5页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/135非理想介质的电导率很小，弛豫时间较长；良导体电导率很大，弛豫时间=/远远小于1。聚苯乙烯=2.550F/m，=10-16S/m，弛豫时间=2.25103秒；

铜=0=8.851012F/m，=5.80107S/m，弛豫时间=1.5210-19秒

因此，一般认为良导体内部没有体电荷，

=0弛豫时间

两层非理想介质的平板电容器，与直流电压源U接通的过渡过程中，其分界面上将逐渐积累自由电荷第6页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/136在电准静态场EQS近似下E0可定义电位函数E=导电媒质中的电位分布也按指数规律衰减，其衰减快慢同样决定于弛豫时间。第7页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1376-2磁准静态场6-2-1磁准静态场（MQS）

基本方程：时变磁场：有旋、无散。（同恒定磁场）边值问题：矢量磁位：

当位移电流远远小于传导电流时，D/t可以忽略不计，则称为磁准静态场。磁准静态场与恒定磁场的计算方法相同。此时B和H仍是时间的函数，但与场源J(t)之间具有瞬时对应关系。

第8页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/138若导体满足条件（/）<<1，意味着导体中的位移电流远远小于传导电流，则可看为良导体，位移电流可以忽略不计，属于磁准静态场问题。若理想介质中的场点到源点的距离r远远小于波长，则处于时变电磁场的近区范围（似稳场），推迟作用可以忽略不计，也属于磁准静态场问题。电力传输线的长度和电工设备中线圈的尺寸远远小于工频波长6000km，都可作为磁准静态场问题处理。

第9页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/139例6-2

细长空心螺线管半径为a，单位长度N匝，媒质参数分别为0、0、

=0。设线圈中电流为求螺线管内媒质中的：1）磁场强度H(t)；2）电场强度E(t)；3）坡印亭矢量S。解：1)

线圈电流变化缓慢,可近似为磁准静态场，仿照恒定磁场求H细长螺线管：管外磁场为零，管内磁场均匀第10页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/13102）在螺旋管内取同心圆l2

坡印亭矢量

可见，电磁功率由螺线管线圈内部沿半径向外传输。第11页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/13116-2-2电磁场的扩散方程

HJ

两边取旋度,并由矢量恒等式，得

由于导体中

=0，同理由于H=0，J=

E，因而将E=H/t代入，得第12页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1312相应的复数形式：上式两边同乘，则得到

以上三式就是在MQS近似下，导体中任一点的E、H和J所满足的微分方程，称为电磁场的扩散方程。

电磁场扩散方程是研究准静态情况下集肤效应、邻近效应和涡流问题的基础。

第13页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1313作业6-2无限大均匀导电媒质中有一个初始值为q0的点电荷，试问点电荷的电量q(t)如何随时间变化？求媒质中任一点的：1）电场强度和位移电流密度；2）传导电流密度和磁场强度。

6-5半径为a的长直圆柱型导线为理想导体（1=）。设导线中通有缓变电流i(t)=Imsintez

求：导线外的磁场强度H(t)和感应电场E(t)。

6-5题图H(t)E(t)i(t)l2l1第14页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/13146-3集肤效应与邻近效应

6-3-1集肤效应

假设x0的半无限大空间导体，通有y方向的正弦电流i(t)，通解电流扩散方程简化为其中积分常数由边界条件确定X方向，C2=0设表面J0，C1=J0第15页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1315J、E和H的振幅都沿导体的纵深x按指数规律ex衰减，而且相位x也随之改变。

由得频率很高时，电流密度几乎只在导体表面附近一薄层中。场量主要集中在导体表面附近的这种现象，称为集肤效应。第16页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1316定义：透入深度d为场量振幅衰减到其表面值的1/e时所经过的距离。

工程上常用透入深度d表示场量的集肤程度

可见，频率越高，导电性能越好的导体，透入深度越小，集肤效应越显著。

例如，铜在f=50Hz时，透入深度d=9.4mm；当频率f=51010Hz时，透入深度d=0.66m。

应当注意，在大于d的区域内，场量并非为零，而是继续衰减。经过13.8d距离场强衰减到只有表面值的109。

第17页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/13176-3-2邻近效应

邻近效应：通电导体处于其它导体电流产生的电磁场中时，其电流分布受到邻近导体的影响。

假设一对汇流排a<<b<<l，电导率和磁导率分别为

和

0

。磁场扩散方程简化为通解内侧外侧根据边界条件

xadab0II⊙y第18页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1318磁场强度用双曲函数表示为利用，可得

由曲线图可见，靠近两块汇流排相对的内侧面附近电流密度最大，呈现较强的邻近效应。原因在于导体内部的电流密度与空间电磁波分布密切相关，两线相对的内侧电磁能量密度大，传入导线的功率大，故电流密度也较大。0Jzxd/2d/2+a第19页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1319电气工程中的发电机、变压器的铁心和端盖都是由大块铁心构成的。在变化的磁场中，这些导体内部都会因电磁感应产生自行闭合、呈旋涡状流动的电流，因此称之为涡旋电流，简称涡流。

6-4涡流损耗与电磁屏蔽

6-4-1涡流及其损耗

以变压器铁心为例，在磁准静态MQS近似下，分析钢片中的电磁场分布

lzhayxB第20页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1320设硅钢片外磁场B沿z向，宽度h≫厚度a，可忽略边缘效应，认为E和J仅有y分量Ey和Jy。

xyEJEJh≫aa一片薄板的横截面由于磁路长度l和宽度h远远大于其厚度a，可近似认为E和H与y和z无关，仅是x的函数

磁场扩散方程简化为

通解由于磁场沿x方向的分布对称故积分常数C1=C2=C/2，因此第21页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1321电场和磁场分布不均匀，表面大、内部越小，涡流有去磁效应。

设钢片中心x=0处，，则。因此，

利用，可得

B0JxB

a0第22页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1322涡流在导体内流动时，会产生损耗引起导体发热，因此它具有热效应。涡流电流在钢片中消耗的平均功率为

涡流损耗

当频率较低时，即钢片厚度与透入深度之比a/d较小时，涡流损耗近似为

对于电工硅钢片来说，一般

10000，=107S/m，厚度a=0.5mm。当工作频率为f=50Hz时，透入深度d=0.715103m，a/d=0.7，集肤效应不明显可以认为B在横截面还是均匀分布的。

但当工作频率为f=2000Hz时，a/d=4.4，集肤效应十分明显，因此不再采用厚度为0.5mm的钢片，而要用更薄的钢片。如果工作频率更高，则要使用粉末磁性材料压制的磁芯才能达到减少涡流损耗的要求。

第23页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/13236-4-2电磁屏蔽

用于减弱某一无源区域内电磁场影响的结构。

静电场或电准静态场：金属壳或金属网，并可靠接地，消除电容耦合。

静磁场或磁准静态场：铁磁材料，并有一定厚度，或多层铁磁材料，利用磁力线趋向于磁阻较小的路径。

高频电磁场：铜、铝、钢等良导体材料，且有一定厚度，利用集肤效应，厚度应为透入深度的3—6倍。

屏蔽体的屏蔽效能：第24页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1324作业6-7已知在13.56MHz电磁波照射下，脂肪的介电常数=200，电导率=2.9010-2S/m。求其透入深度d

第25页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/13256-5电路定律和交流阻抗

电路问题是电磁场问题的特殊情况，电路理论中的基尔霍夫电流定律、电压定律和电路参数都可由电磁场理论推导出来。

6-5-1基尔霍夫电流定律

由麦克斯韦第一方程两边取散度，得

体积分，并应用高斯散度定理可得

第26页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1326围绕电路中任一节点作一闭合面S

Si1s1i2s2i3s3因此得即当MQS近似时，位移电流忽略不计相当于滞留电路中电容开路，则仅有电阻和电感支路i1+i2=0。

其中S1为电阻支路导线截面积S2为电感支路导线截面积S3为电容器介质的截面积

电路理论中的基尔霍夫电流定律，表明电路中任意节点流出的总电流等于零

第27页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1327如果系统各个方向的尺寸都比相应波长小得多，则该系统满足似稳条件，可以不计及各点的推迟作用。此时，导线上各处的电流都有相同的相位，它们的瞬时值也都是相同的。6-4-2基尔霍夫电压定律

EeRLCRel电源中

JC=(E+Ee)

则场强用动态位表示沿闭合回路线积分，则第28页，共33页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1328电源电动势电阻压降电容电压电感电压即电路理论中的基尔霍夫电压定律

第29页，共33页，2023年，2月