电磁波的辐射

电磁波的辐射1第1页，共32页，2023年，2月20日，星期一二、规范变换和规范不变性

求解电磁场问题，转化为求解势函数的问题。但实际上，势函数与场量并不是一一对应的，如果作变换讨论：

与对应相同的。由于y的任意性，有多组对应同一组，每组称为一种规范。2第2页，共32页，2023年，2月20日，星期一规范变换：

不同规范对应相同的观测量，即当势作规范变换时，所有物理量和物理规律保持不变——规范不变性。量子论中，不能描述电磁场的全部物理属性。如：在A－B效应中，在非单连通区域绕闭合回路一周的电子波函数的相位差由回路积分描述，这个积分是有实际意义的物理量。对矢势作规范变换

即便是在量子力学中，可观测物理量仍保持不变性。

注意：3第3页，共32页，2023年，2月20日，星期一关于规范不变性：

在经典电动力学，是为了描述和求解电磁场的方便而引入的辅助量，规范不变性是用描述时具有的数学特征；在量子论中，具有独立的物理意义，规范不变性成为量子论重要的物理原理。近代物理中，规范不变性是决定相互作用形式的一条重要规律，这不仅反映在电磁相互作用中，而且反映在强相互作用和弱相互作用中，传递这些相互作用的场也称为规范场，电磁场就是一种规范场。三、两种常用规范

只限制了矢量场的旋度，要确定矢量场，还必须规定矢量场的散度。

矢量场的散度选取具有任意性，对于每个选取的矢量场的散度，就可确定一组，也就是对应势函数的一种规范。4第4页，共32页，2023年，2月20日，星期一1.库仑规范

选择矢势散度

这称为库仑规范条件此时矢势是横场。注意是纵场，对于电场电场可分解为纵场和横场，在库仑规范下，横场部分由矢势描述，纵场由标势描述。即：对应库仑场（电荷激发的电场），对应感应电场（变化的磁场激发的电场）。

2.洛伦兹规范

选择矢势散度

这称为洛伦兹规范条件在这种规范下，关于势的方程简化为很简单的对称的形式。5第5页，共32页，2023年，2月20日，星期一四、达朗贝尔方程

真空中又，且对于标势6第6页，共32页，2023年，2月20日，星期一由于势函数的运动方程对于库仑规范

特点：标势满足的方程与静电场相同，其解是库仑势。

对洛伦兹规范

称为达朗贝尔方程。

7第7页，共32页，2023年，2月20日，星期一

离开电荷和电流区域后，变为波动方程，说明矢势和标势以波动形式在空间中传播。（这是非物理波，因为选择其他规范，矢势和标势就可能没有波动特征）8第8页，共32页，2023年，2月20日，星期一§2推迟势

考察对象：位于原点的点电荷，其电量记为

Q(t)。在t时刻，该点电荷的电荷密度

考察标势的达朗贝尔方程一、达朗贝尔方程的解

1.点电荷位于原点情形在r0处：点电荷激发的场应是球对称的。在球坐标下，标势具有球对称性，与q和f无关。由于令

9第9页，共32页，2023年，2月20日，星期一通解为f和g是两个任意函数。故，在处的势函数解具有如下形式：

讨论：上述两项有不同的物理意义。第一项：等相面由决定。对一定相位值等相面移动速度（相速），等相面沿r正方向移动。第二项：相速为，等相面沿r正方向移动。第一项是向外发散的球面波；第二项是向内汇聚的球面波。对于电磁波辐射应考虑第一项，对于电磁波吸收应考虑第二项。静电场情形，点电荷激发电场的电势为，这一形式适用于r=0及其邻域。10第10页，共32页，2023年，2月20日，星期一注意到此时电量随时间变化，对于辐射问题，物理上t时刻电场由(t-r/c)时刻电量决定。由此猜测，势函数为当时，它满足达朗贝尔方程。现证明：在r＝0点及其邻域，上式仍满足达朗贝尔方程考虑球心在原点，半径为h（很小）的球体积，考察积分当时时，，所以11第11页，共32页，2023年，2月20日，星期一作用下有三种项：（Ⅰ）对Q两次微商项；（Ⅱ）对Q一次微商和对（1/r）一次微商的乘积项；（Ⅲ）对（1/r）两次微商项。第（Ⅰ）类项；第（Ⅱ）类项；只有第（Ⅲ）类项可能不为零。对于达朗贝尔方程右端故，在r=0及其邻域，有12第12页，共32页，2023年，2月20日，星期一即，是达朗贝尔方程的解。2.其它情形点电荷在x’处作坐标平移变换，可证上式满足达朗贝尔方程。电荷连续分布的带电体

对于矢势二、关于洛伦兹规范条件

达朗贝尔方程是在洛伦兹规范条件下导出的势函数满足的方程，所以物理上还要求上面的势函数满足洛伦兹规范条件。13第13页，共32页，2023年，2月20日，星期一设，注意，所以。又，对而言，原来的

不对作用，换成后对中有作用，要扣除这个作用。所以积分空间应包含所有电流分布，由Gauss定理，第一项积分为零，所以

又14第14页，共32页，2023年，2月20日，星期一由电荷守恒定律

上述势函数的解满足洛伦兹规范条件。

讨论：

辐射场某点的势决定于较早时刻的电荷电流分布，称为推迟势。一个电荷电流系统t

时刻，在空间x点的势（电磁场）不是决定与某个时刻的电荷分布。电磁作用传播速度为c，其他一切相互作用都是以有限速度传播的，不存在瞬时超距作用。15第15页，共32页，2023年，2月20日，星期一§3电偶极辐射宏观情形：变化的电流系统（交变电流）向外辐射电磁波；微观情形：变速运动（加速度不为零）的带电粒子辐射电磁波。本节考察对象：线度远小于辐射电磁波波长的宏观电流系统的辐射场。一、计算辐射场的一般公式

设电流密度随时间作简谐变化，作变换，并注意表示相位滞后。令

16第16页，共32页，2023年，2月20日，星期一其他物理量（对单一频率电流分布）

电荷密度

令有17第17页，共32页，2023年，2月20日，星期一辐射场标势

令或18第18页，共32页，2023年，2月20日，星期一辐射场的磁感应强度

由其中辐射场的电场强度

利用

在电流分布以外的区域其中或利用了19第19页，共32页，2023年，2月20日，星期一二、矢势的展开电荷电流系统辐射问题有3个特征长度：电荷电流分布区域线度l，辐射电磁波波长l，场点到电荷（电流）的距离r。小区域电荷电流系统在物理上要求：

且辐射场可分为三个区：近区；远区（辐射区）；感应区。

小区域电荷电流系统辐射场近区满足：

小区域电荷电流系统辐射场远区满足：辐射场物理特征辐射场近区

20第20页，共32页，2023年，2月20日，星期一与静电场和静磁场结果类似。表明在近区可忽略电磁作用传递的推迟效应，近似认为场与电荷（电流）同步变化。在近区的电场具有纵向特征。（注意：，且）后面的研究将表明：由于推迟效应，远区辐射场具有横场特征。

感应区是一个过渡区。

以下研究远区辐射场

其中n为场点矢径的方向矢。

21第21页，共32页，2023年，2月20日，星期一采用球坐标，n记为，其中

又，注意是小量，讨论：对于远场中的点，略去分母中项；对于分子中的指数因子，不能略去。22第22页，共32页，2023年，2月20日，星期一说明：相因子为,令，m为整数。实际上相因子为，D与是可以比拟的,与相比，所以不能略去相因子中项。＃小区域满足l>>l，三、偶极辐射

考虑上述展开式中第一项

23第23页，共32页，2023年，2月20日，星期一考虑到时间部分

电流可视为多种运动的带电粒子，设第i种粒子每个带电量为ei。单位体积含有ni个第i种粒子（粒子数密度）则

上式中求和是对所有带电粒子求和。又

其中，p是系统的偶极矩。

所以注意到在前面计算中只保留到（1/R）的一次方项，上式中无需考虑

对（1/R）的作用。

24第24页，共32页，2023年，2月20日，星期一其中是R的方向矢量。远区辐射场的磁感应强度由，可知所以

远区辐射场的电场强度对单一频率电磁场25第25页，共32页，2023年，2月20日，星期一运算时保留到（1/R）的一次方项，有

如图，若选择系统偶极矩方向为极轴，则

上式表明：磁场沿纬线振荡，电场沿经线振荡。

26第26页，共32页，2023年，2月20日，星期一讨论：辐射场远区的电场和磁场如果电场在空间是严格横场，则E始终沿经线，这会导致有问题的结果：考虑一个经面（如图），在极点处，电场线相交，电场不在极点处违反单值性原则。会聚于极点的电场线应表示在极点有源，这与事实（极点处满足）不符。以上矛盾是由于在推导中忽略了（1/R）高阶项而导致。事实上，考虑高阶项后，电场线还在同一经面上，但在极点附近将偏离横场（P.198图5-4，电场线形成闭合曲线）。考虑高阶项后磁感应线仍是纬线，磁场是严格横场。辐射场是TM波。27第27页，共32页，2023年，2月20日，星期一四、辐射能流角分布辐射功率

可以通过Poynting矢量计算辐射功率。对于偶极辐射场,注意到，有

总辐射功率（单位时间内穿过某一球面的能量）

注意到球坐标下，

28第28页，共32页，2023年，2月20日，星期一讨论：由可知沿极轴方向（q=0，p）无辐射能流（S=0）；在q=p/2）平面，辐射最强。，频率变高时，辐射功率迅速增加。

29第29页，共32页，2023年，2月20日，星期一总辐射功率P与R无关,保证电磁能量可以传播到无穷远。

辐射场近区所以表明势函数与源近似作同步变化，即可忽略推迟效应。辐射电场主要是纵向场。（）

在辐射场远区，电场主要是横场。感应区应是一过渡区。30第30页，共32页，2023年，2月20日，星期一例：短天线的辐射辐射电阻振荡器供给直导线电流，直导线总长度为l。设导线上电流为

电流在中心点最大，在两端点最小（为零）。

当l>>l时，可看成小区域电流系统，讨论该系统的电偶极辐射。其电偶极