初中数学 【教案】一元一次方程

一元一次方程内容介绍：

方程是初中代数的重要内容，许多实际问题都可以通过列方程、解方程来解决。因此我们要认认真真地学好方程的有关知识。

本章先介绍等式的概念和等式的两条性质，复习方程的解，解方程等概念；然后学习运用等式的性质和移项法则解一元一次方程，归纳出解一元一次方程的一般步骤；最后是列方程解应用题。一元一次方程是学习其他方程和方程组的基础。

一、等式和方程

本部分知识的重点是等式的性质和运用这两性质对等式进行变形；方程的有关概念及会检验一个数是不是方程的解。

（一）知识要点：

1．等式：用等号来表示相等关系的式子叫等式。如：+=，x+y=y+x,V=a3，3x+5=9都叫等式。而象

a+b,m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。

2．等式的性质：

等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式。

等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）所得的结果仍是等式。

如：x-5=4，两边都加5得x-5+5=4+5，即x=9仍是等式；在这个等式两边都乘以得，××x=9×，即x=，也仍是等式，这样我们就利用了等式的两个性质解方程。

3．方程的有关概念：

（1）方程：含有未知数的等式叫做方程。如5x-4=8，其中x是未知数；又如3x-2y=5其中x,y是未知数。

（2）未知数：在研究方程之前未知的数叫未知数。如5x-4=8中，x是未知数，而5，-4，8是已知数。

（3）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解，也叫做根。例如方程2x+5=7，当x=1时，方程左边=2×1+5=7=右边，所以x=1是方程2x+5=7的解，或说x=1是方程的根。

（4）解方程：求得方程的解的过程。

4．会检验一个数是不是一个方程的解：将这个数分别代入方程的左边和右边，看是否使左边等于右边。

如，检验x=5和x=4是不是方程6x-5=2x+11的解。

当x=5时，左边=6×5-5=30-5=25，右边=2×5+11=10+11=21，∴左边≠右边，∴x=5不是原方程的解；

当x=4时，左边=4×6-5=24-5=19，右边=2×4+11=8+11=19，∴左边=右边，∴x=4是原方程的解。

5．会根据已知条件列出方程。

如：根据下列条件列出方程

（1）某数比它的4倍小8。

（2）代数式与x+1互为相反数。

解：（1）设某数为x，则所求方程为x=4x-8，或x+8=4x或4x-x=8。

（2）+x+1=0或=-x-1。

6．同解方程：

（1）同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。如，2x+3=5的解是x=1，

3x+15=x+17的解也是x=1，所以这两个方程是同解方程。

（2）方程同解原理

同解原理1：方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程。

同解原理2：方程两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，所得的方程与原方程是同解方程。

我们解方程的过程是同解过程，教材上所说的运用等式性质解方程，实质上是依据方程的同解原理解方程。

（二）例题：

例1．判断下列各式是不是方程，并说明理由：

(1)3+5=4+4(2)2a+3b(3)x+2y=5

(4)3+(-2)=8-|7|(5)x+6=3x-5

答：（1）不是方程。因为它是不含未知数的等式；

（2）不是方程。因为它不是等式，它是一个代数式；

（3）x+2y=5是方程，它是含有未知数x,y的等式。

（4）不是方程。因为它是不含未知数的等式。

（5）x+6=3x-5是方程，它是含有未知数x的等式。

注意：方程的概念有两点①是等式，②含有未知数，二者缺一不可。

例2．检验x=是不是下列方程的解：

（1）5x+2=2(2)3x+5=6(3)6x+=4

解：（1）当x=时，左边=5×+2=+2=5≠右边，

∴x=不是原方程的解。

（2）当x=时，左边=3×+5=2+5=7≠右边，

∴x=不是原方程的解。

（3）当x=时，左边=6×+=4+=4=右边，

∴x=是原方程的解。

检验某数是否是方程的解可以用来验证我们解方程的过程是否正确。

例3．根据下列条件列出方程

（1）某数的8倍减去5等于它的4倍加上3；

（2）某数比它的大7；

（3）某数与3的和的平方比它的平方大4；

（4）某数与5的差的3倍等于33；

（5）某数与-7的和的与某数加上的和互为相反数；

（6）某数的平方比它自身的2倍多8。

解：设某数为x，则根据条件列出方程为：

(1)8x-5=4x+3(2)x-x=7或x=x+7

(3)(x+3)2-x2=4(4)3(x-5)=33

(5)(x-7)+(x+)=0(6)x2=2x+8

例4．说出下列变形的依据：

(1)2x-5=3，2x=8

(2)3x=27，x=9

(3)-3x=，x=-

(4)-x=4，x=-12

(5)=2，x+3=10

(6)=x+6，x-2=3x+18

解：（1）根据等式的基本性质1，2x-5+5=3+5，得2x=8

（2）根据等式的基本性质2，3x×=27×，得x=9

（3）根据等式的基本性质2，-3x×(-)=×(-)，得x=-

（4）根据等式的基本性质2，-x×(-3)=4×(-3)，得x=-12

（5）根据等式的基本性质2，5×()=2×5，得x+3=10

（6）根据等式的基本性质2，3×()=3×(x+6)，得x-2=3x+18

注意：①使用方程同解原理时注意方程两边同时进行相同的变化，不要只顾一边，忘记另一边。②当方程某一边是多项式时，要注意使用分配律，避免出现这样的错误：如(6)小题=x+6两边同时乘以3得x-2=3x+6。

例5．已知x=-4是方程2x+3|a|=x-1的解，求a的值。

分析：已知x=-4是方程的解，所以把x=-4代入方程，左右两边相等，于是有2×(-4)+3|a|=-4-1，这是一个关于|a|的方程，可以把|a|求出来，再进一步确定a的值。

解：∵x=-4是方程2x+3|a|=x-1的解，

∴2×(-4)+3|a|=-4-1，

∴-8+3|a|=-5，

由等式的基本性质1得：-8+8+3|a|=-5+8，

即3|a|=3，

由等式的基本性质2得：|a|=1，

∴a=±1。在线测试选择题

1．已知(x+y)∶(x-y)=3∶1，则x∶y=（）。

A、3∶1B、2∶1C、1∶1D、1∶22．方程-2x+m=-3的解是3，则m的值为（）。

A、6B、-6C、D、-183．在方程6x+1=1，2x=，7x-1=x-1，5x=2-x中解为的方程个数是（）。

A、1个B、2个C、3个D、4个4．根据“a的3倍与-4绝对值的差等于9”的数量关系可得方程（）。

A、|3a-(-4)|=9B、|3a-4|=9

C、3|a|-|-4|=9D、3a-|-4|=95．若关于x的方程=4(x-1)的解为x=3，则a的值为（）。

A、2B、22C、10D、-2

北京四中

等式和它的性质考点扫描：了解等式的概念，掌握等式的基本性质。名师精讲：

1．等式：用等号“=”将两个代数式连接起来，表示相等关系的式子叫做等式。在我们所遇到的等式中，有两种类型：

（1）恒等式：等式中的字母不论取任何数值（在它的取值范围内）代入计算，等式的两边的值都相等，这样的等式叫做恒等式。比如我们用字母表示的加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法分配律等。等式两边都是数字，不含字母的等式，如8+3=4+7，也是恒等式。

（2）条件等式：等式中的字母，在它的取值范围内取某些数值，代入计算，等式的两边的值相等，而取另外一些数值代入计算时，等式的两边的值却不相等，这样的等式叫做条件等式。如x＋2=5，只有当x=3时，等式才成立。

要注意等式和代数式的区别：等式含有等号，而代数式不含有等号。等式可以用来表示两个代数式的相等关系。但等式不是代数式，等式的左，右两边是代数式。

2．等式的性质：

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式。

说明：本节是解方程的基础知识和基本概念，在解方程时才能用到，所以在中考中不单独命题。方程和它的解考点扫描：了解方程的有关概念，会检验一个数是不是某个一元方程的解。名师精讲：

1．方程的有关概念：

（1）方程：含有未知数的等式叫做方程。方程是等式，但等式不一定是方程，在方程中，有已知数和未知数。

（2）方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。方程中的未知数可以不止一个，只含有一个未知数的方程的解