初中数学 教学设计3：成比例线段

成比例线段一、学习类型学习结果1．比例中项的定义、黄金分割的概念是数学概念．2．会求黄金比、会作线段的黄金分割点是数学技能与数学方法．3．会求已知线段的比例中项、会利用黄金分割进行简单的计算和作图是数学问题的解决．（二）学习形式由于本节课建立在学生已经掌握比例的基本性质，了解比例线段的概念的基础上的下位观念，所以本节课的学习形式是下位学习．二、学习任务分析比例中项的概念会求比例中项比例中项的概念会求比例中项黄金分割的概念、及黄金比利用黄金分割进行作图简单应用 三、学生的起点能力理解比例的基本性质，并能根据比例的基本性质求比值．能根据条件写出比例式或进行比例式简单的变形．了解两条线段的比和比例线段的概念．能根据条件写出比例线段，会运用比例线段解决简单的实际问题．四、教学目标知识目标：了解比例中项的概念，会求已知线段的比例中项，通过实例了解黄金分割，利用黄金分割进行简单的计算和作图．能力目标：通过实例了解黄金分割的探索过程，培养学生的观察能力，探索能力，及转化思想，并且进一步体会解决问题的策略，积累学习的经验．情感目标：通过优美的图形培养学生的审美情趣，激发学生学习数学的兴趣，密切学科之间的联系，发展学生应用数学的意识．通过合作学习，培养学生之间的合作精神，并能与他人交流思维的能力．五、教学重点和难点教学重点：黄金分割的概念及其简单应用．教学难点：例5的作图牵涉到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点．六、教学过程教学步骤教师活动学生活动教学媒体（一）创设情景，引入新课1．感受匀称、协调之美如：蒙娜丽莎像、芭蕾舞演员的演姿、上海东方明珠塔、五角星、维纳斯女神等，感受黄金分割图像之美．2．观看中国、新西兰、朝鲜、新加坡等国旗，让学生找找有共同图案吗？然后给出一个正方形、三个长方行（一个宽和长之比为0、618的图形，两个宽与长之比不是0．618的图形），让学生说说哪个比较匀称美观？操作多媒体，让学生了解和感受数学的美，以及数学与生活实际的联系．提出问题，让学生说说．学生欣赏图片看图，发现，比较并回答多媒体（二）合作学习，探索新知1．线段的比例中项取一张长与宽之比为EQ\R(,2)∶1的长方形纸．将它对折.请判断图4－4中的两张长方形纸的长与宽这4条线段是否成比例.如果成比例，请写出比例式.这个比例式有什么特别之处吗？（与同伴交流）EQ\F(a,b)＝EQ\F(EQ\R(,2),1)，EQ\F(b,c)＝EQ\F(b,EQ\F(EQ\R(,2),2)b)＝EQ\F(EQ\R(,2),1)∴EQ\F(a,b)＝EQ\F(b,c)，这个比例式的内项相同.2．给出比例中项的概念．定义：一般地，如果三个数a、b、c满足比例式EQ\F(a,b)＝EQ\F(b,c)（或a:b＝b:c），则b叫做a，c的比例中项.EQ\F(a,b)＝EQ\F(b,c)<=>b2＝ac．启发学生对折之后，线段c和a之间的关系，让学生发现比例式．解说比例中项的概念合作交流，给出比例式理解概念多媒体（三）运用新知，体验成功．做一做：P1011．（1）1是不是1EQ\F(1,2)和EQ\F(2,3)的比例中项；（2）1EQ\F(1,2)和EQ\F(2,3)的比例中项是什么？P1012．求线段a、b的比例中项.（1）a＝3，b＝27；（2）a＝EQ\R(,3)，b＝3EQ\R(,3)；（3）a＝EQ\F(EQ\R(,5)－1,2)，b＝EQ\F(EQ\R(,5)＋1,2)指导学生求两个数a，b的比例中项，可以转化为求a，b之积的平方根．当a，b表示线段时，平方根中的那个负的值显然没意义，所以只取正的那个值．独立完成，在对比学习中提高．展示学生的解题过程（四）发现黄金比，学习黄金分割．1．早在古希腊，数学家、天文学家欧多克索斯（Eudoxus，约前400——前347）曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题.2．而发现黄金分割的是古希腊哲学家毕达哥拉斯．一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密．他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系．回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段．怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定：1的比例截断最优美．后来，意大利著名科学家、艺术家达·芬奇给这个比例冠以“黄金”二字的美名．3．给出黄金分割的概念及黄金比．（1）如果点C把线段AB分成两条线段AC和BC,使EQ\F(BC,AC)＝EQ\F(AC,AB)，那么称线段AB被点C黄金分割(goldensection),点C叫做线段AB的黄金分割点,线段AC与AB的比叫做黄金比.（2）求出黄金比的数值，如图4－1－4设EQ\F(AP,AB)＝x，则PB＝AB－AP＝AB－AB•x.由EQ\F(PB,AP)＝EQ\F(AP,AB)，得EQ\F(AB－AB•x,AB•x)＝EQ\F(AB•x,AB)，即EQ\F(1－x,x)＝EQ\F(x,1)化简，得x2＋x－1＝0.解得x1＝EQ\F(－1＋EQ\R(,5),2)，x2＝EQ\F(－1－EQ\R(,5),2)（不合题意，舍去）所以EQ\F(AP,AB)＝EQ\F(EQ\R(,5)－1,2)≈（提问一条线段有几个黄金分割点？）（3）牛刀小试，让学生巩固一下所学知识．（4）黄金分割的深远意义历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽与长之比也设计成，在自然界中也有很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为.许多美丽的形状都与这个比值有关．（5）尺规做线段的黄金分割点例5，已知线段AB＝a，用直尺和圆规作出它的黄金分割点．分析：线段a的黄金分割所得的较长线段长应是EQ\F(EQ\R(,5)－1,2)a＝EQ\F(EQ\R(,5),2)a－EQ\F(1,2)a，由于EQ\F(EQ\R(,5),2)a是以a和EQ\F(1,2)a为直角边的直角三角形的斜边长，因此本题转化为作两条线段之差.作法：1.经过点B作BD⊥AB,使BD＝EQ\F(1,2)AB2.连接AD,在AD上截取DE=DB.3.在AB上截取AC=AE.如图，点C就是线段a的黄金分割点思考：1．如果设AB=1,那么BD,AD,AC,BC分别等于多少?2．计算EQ\F(AC,AB)与EQ\F(BC,AC)3．点C是线段AB的黄金分割点吗?拓展延伸1）补充一个黄金三角形的小知识．2）学以至用，让学生课后画一幅黄金分割图，并以美丽的名字命名或去发现生活中的黄金分割美，与大家分享自己的发现，体会发现的快乐．操作媒体，让学生欣赏古今中外的图片，感受美，感受生活离不开数学，同时也体现学好数学的价值．讲授概念引导学生用一元二次方程的知识，可以求出黄金比的数值．展示媒体，让学生独立完成展示媒体，旁白（艺术家们常把他们想重点表现的人物或景物放在图画的黄金位置，这种艺术的表现手法叫做运用动态匀称原理．）启发学生用转化的思想，利用直角三角形的边将本题转化为作两线段之差．鼓励学生想出不同的作图方式，可留到课外去完成．教师在黑板上作图，师生共同完成．让学生课后带着问题去思考、去发现、去创作．留下美丽的一片天空观看图片，听数学史上的故事．理解概念独立思考，探究黄金比独立思考欣赏图片，说说自己的看法、见解动手作图．带着问题待课后研究多媒体展示美丽的黄金分割图，如蒙娜丽莎像、芭蕾舞演员的演姿、上海东方明珠塔、五角星、维纳斯女神等．教师展示媒体的同时并板书解题过程展示建筑和雕刻中的美丽图画及大自然中的黄金分割美．展示学生作品（五）清点收获1.比例中项的概念，2.线段的比例中项与数的比例中项的区别；3.黄金分割，黄金分割点，黄金比的概念.4．利用黄金分割进行简单的计算和作图．让学生自己去小结，教师适时补充、强调一下学生讨论师生共同小结多媒体（六）作业：课后作业题、作业本．留给学生的拓展延伸题（此题可留给学生一段时间后，大家交流）．后记：本节课通过一些优美的黄金分割图，让学生了解和感受数学的美，以及数学与生活实际的联系，激发学生学习数学的兴趣，密切比例线段与