初中数学 教案：23.3.3 相似三角形的性质

相似三角形的性质（1）教学内容本节的主要内容是相似三角形的性质，也是本单元的主要内容之一，本节完成对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究．教学过程1．知识与技能．理解相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比的这个性质，并会应用这些性质解决问题．2．过程与方法．经历探索相似三角形的有关性质的过程，掌握相似三角形性质的应用方法．3．情感、态度与价值观．以探究的思想，培养学生积极进取的学习态度，发展学生的认知，使学生体会数学知识的应用价值．重难点、关键1．重点：理解三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比．2．难点：对三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比性质的实际应用．3．关键：应用类比的方法由全等三角形的一些类似的性质引出，在迁移中自然形成相似三角形有关性质．教学准备1．教师准备：收集与本节有关的资料、制成投影仪所需的幻灯生．2．学生准备：复习相似三角形判定以及前面学过的比例的性质，预习本节课内容．教学过程一、回顾交流，导入新知1．复习交流．（1）问题牵引1．（投影显示）①全等三角形具有哪些性质？②全等三角形对应边上的高、中线、角平分线相等吗？请你用口述的方法说明．教师活动：操作投影仪，引导学生思考上述两个问题．学生活动：先分四人小组讨论上述两个问题，在复习过程中感受到全等三角形对应边、对应角相等；全等三角形对应边上的高、中线、角平分线相等，然后由小组代表在全班口述、论证．教师板书如图所示的图案．（也可以用投影仪显示）（2）问题牵引2．（投影显示）①相似三角形有哪些判定方法？②什么叫做相似比？③全等三角形与相似三角形的关系？教师活动：操作投影仪，引导学生进行知识迁移．学生活动：思考后踊跃发表自己的看法．评析：在两个问题牵引中，让学生逐渐地、自然地进入本节课所要学习的内容中去．从全等三角形是相似三角形，以及对应边、高、中线、角平分线相似比值为1，这一问题提出相似三角形对应高、中线、角平分线的比值问题，导入新课．2．导入新知．教师讲述：从上面的复习中，我们可以探究出相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，下面老师来证明：相似三角形对应高的比等于相似比．投影显示：如图，△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比是k，AD、A′D′是对应高，求证：=k．思路点拨：讲解相似三角形对应高的比等于它们的相似比时，可按以下步骤进行分析：（1）要证==k，首先要找到与这四条线段有关的两个三角形△ADB和△A′D′B′．（2）通过已知条件△ABC∽△A′B′C′，可以推得∠B=∠B′，再根据AD、A′D′是对应高，可得∠ADB=∠A′D′B′=90°，从而推出△ABD∽△A′B′D′，这样就可以推出==k．教师活动：分析上面的问题，提出解决问题的办法，引导学生进行探究，然后提出下面的问题由学生自己探讨．问题牵引3．请同学们证明“相似三角形对应中线和对应角平分线的比等于相似比”．学生活动：在理解了证明相似三角形的对应高的比等于相似比的基础上，分四人小组，共同探讨“问题牵引3”．思路点拨：（1）在证明相似三角形对应中线的比等于相似比时，可按下列几步进行思考：①要证==k，根据图形:（如图）能找到这四条线段所在的两个三角形△ADB和△A′D′B′；②由已知条件△ABC∽△A′B′C′，可得=，∠B=∠B′，再根据中线定义，可以推出=．这样就可以证出△ABD∽△A′B′D′．从而推得==k．（2）要证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比时，可按以下步骤进行分析：①要证==k，根据图形:（如图）能找到这四条线段所在的两个三角形△ABC与△A′B′C′；②由已知条件△ABC∽△A′B′C′可得∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′，由角平分线AE、AE′可得∠BAE=∠B′A′E′，于是可得△ABE∽△A′B′E′，从而推出==k．媒体使用：投影仪辅助教学．教师活动：在学生充分讨论的基础上，请部分学生来分析问题，可采用板书或投影的形式，最后再归纳相似三角形性质定理：性质定理：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．二、范例学习，应用所学例：如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？思路分析：假设PQMN为加工成的正方形零件，那么AE⊥PN．ED=PN，这样△APN的高可写成AD-ED=AD-PN．再由△APN∽△ABC，即可找到PN与已知条件的关系．教师板书：解：设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在BC上，顶点P、N分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边PN相交于点E．设正方形的边长为x毫米．∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴，解之：x=48mm，答：（略）．学生活动：参与教师的分析，应用相似三角形性质．寻求不同于教师分析的解法．参考思路：此题也可以如下解法，∵PN∥BC，∴PN：BC=AN：AC=AE：AD．设PN=x，得x：BC=（AD-x）：AD．三、随堂练习，巩固深化思考题：请同学们把本节课的例题中的三角形余料，加工成矩形，且PN=2PQ时，PN是多少？思路点拨：设PQ=x，则PN=2x，则PN：BC=AE：AD可得，2x：120=（80-x）：80，求出答案PN=mm．四、课堂总结，提高认识这节课讲的例子，是先证明有关三角形相似，然后应用相似三角形的性质列方程，解方程求得结果．这是一个应用，可先熟悉图形，再由观察得到：根据题设，图形