正方形的性质与判定（知识解读）

专题1.3正方形的性质与判定（知识解读）

【直击考点】

【学刃目标】

1.理解正方形的概念；

2.探索并证明正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；

3.通过经历正方形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经

验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；

4.通过正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养

和发展学生的演绎推理能力.

【知佣支梳理】

考点1正方形的概念与性质：

正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，

有两条对称轴）

考点3正方形的判定：

※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；

邻边相等的矩形是正方形；

对角线相等的菱形是正方形；

对角线互相垂直的矩形是正方形.

注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系（如图3所示）:

图3

K鹿翎争漏】

【考点1正方形的性质】

【典例1】（2022春•淑浦县期中）一个正方形的面积为8加，则它的对角线长为（）

A.1cmB.2y［2cmC.4cmD.3cm

【变式1-1］（2021秋•简阳市期中）正方形ABC。的一条对角线长为2,则正方形ABC。

的周长为（）

A.4B.8C.2&D.472

【变式1-2］（2020秋•武功县期末）如图，在正方形4BCD中，AB=2,P是A。边上的动

【变式1-3］（2022•榆林模拟）如图，正方形ABCC中，对角线AC,B。相交于点O,H

为C。边中点，正方形ABCZ）的周长为8,则OH的长为（）

A.4B.3C.2D.1

【典例2】（2020秋•莲湖区期中）如图，正方形ABC。中，在8A延长线上取一点，使BE

=BD,连接QE,则NED4的度数为（）

C.30°D.22.5°

【变式2-1]（2010秋•金口河区期末）如图，在正方形A8C。中，E是。C上一点，F为

BC延长线上一点，NBEC=70°,且△BCE丝△OCF.连接E凡则的度数是（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

【变式2-2]（2021春•永嘉县校级期末）如图，正方形48co中，点E是对角线AC上的

一点，且AE=AB,连接BE,DE,则NCDE的度数为（）

A.20°B.22.5°C.25°D.30°

【变式2-3]（2021秋•文山市期末）如图，正方形ABC。外侧作等边三角形AOE,则/AE8

的度数为（）

A.30°B.20°C.15°D.10°

【变式2-4]（2022•兴宁区校级模拟）如图，A（0,2）,D（1,0）,以为边作正方

形ABCQ,则点C的坐标为（）

A.（3,1）B.（3,2）C.（2,1）D.（1,3）

【典例3］（2020秋•杏花岭区校级月考）如图，将正方形。放在平面直角坐标系中,

。为原点，点A的坐标为（2,遥），则点C的坐标为（）

A.（-^5,2）B.（-Vs,1）C.（-2,遥）D.（-2,-遥）

【变式3・1】（2021春•泗水县期末）如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（-3,1）,

(2,3)C.(3,2)D.(3,1)

【变式3-2］（2019•海口二模）如图，将边长为2cm的正方形048c放在平面直角坐标系

中，。是原点，点4的横坐标为1,则点C的坐标为（)

C.(1,-V3)D.(-1,V3)

【典例4】（2020秋•城关区校级期中）如图，在正方形ABC。中,点E、F分别在BC,CD

上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G,下列结论：①BE=DF；②ND4F=

15°；③4c垂直平分EF-.@BE+DF=EF；⑤&XCEF=2SAABE.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式4-1］（2020秋•台州期中）如图，在正方形A8CQ中，边长为2的等边三角形AEF

的顶点E、F分别在3c和CZ）上，下列结论：①CE=CF；②/AEB=75°；③BE+DF

=EF；④正方形对角线AC=1+J§,其中正确的序号是（)

C.②③④D.①③④

【变式4-2］（2020春•老城区校级月考）如图，点P是正方形A8CQ的对角线3。上一点,

PELBC于点、E,PF_LC£＞于点F,连接EF给出下列四个结论：®AP=EF；®APA.EF；

③△AP。一定是等腰三角形；④NPFE=NBAP.其中正确结论个数是（）

D

C.3D.4

【变式4-3］（2019秋•巴州区校级期中）如图，点P是正方形ABC。的对角线上一点,

PEJ_BC于E,PF，C£＞于F,连接EF,给出下列四个结论，其中正确结论的序号是（）

@AP=EF

②NPFE=NBAP

③△APO一定是等腰三角形

④PD=6EC

A.①②④B.②④C.①②③D.①③④

【考点2正方形的判定】

【典例5】（2021秋•南海区月考）如图，点B在上，过AB的中点。作MN的平行线,

分别交的平分线和NABN的平分线于点C、D.

（1）试判断四边形AC8O的形状，并证明你的结论.

(2)当△CB。满足什么条件时，四边形ACB。是正方形？并给出证明.

【变式5-1](2021春•昆明期末)如图，在△ABC中，/4CB=90°,NB>NA,点、D为

边AB的中点，DE〃BC交AC于点、E,C尸〃AB交。E的延长线于点尸.

(1)求证：DE=EF；

(2)当RtZVlBC满足什么条件时，四边形AZ5CF是正方形？请证明你的结论.

【变式5-2](2021•平凉模拟)如图，在矩形A8CZ)中，M、N分别是边A。、BC的中点,

E、尸分别是线段8M、CM的中点.

(1)求证：BM=CM.

(2)当AB：AQ的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由.

【考点3正方形的性质与判定】

【典例6】(2022春•覃塘区期中)如图，已知点E,F,G,，分别在正方形488的四条

边上，S.AE=BF=CG=DH,连接EF,FG,GH,HE.

(1)求证：四边形EFGH是正方形；

(2)若A8=7,AE=3,求四边形EFGH的周长.

【变式6-1](2022•龙岗区模拟)如图，在△ABC中，NBAC=90°,/84C的平分线交

BC于点、D,DE//AB,DF//AC.

(1)求证：四边形AFDE为正方形；

(2)若49=2后，求四边形AFQE的面积.

A

【变式6-2](2022•惠城区一模)如图，正方形4BC。中，AB=6,点E是对角线AC上的

一点，连接OE.过点E作EF_LED交BC于点尸，以。E、E尸为邻边作矩形连

接CM.

(1)求证：矩形OEFM是正方形；

(2)求CE+CM的值.

专题1.3正方形的性质与判定(知识解读)

【直击考X]

【老司目标】

1.理解正方形的概念；

2.探索并证明正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；

3.通过经历正方形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经

验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；

4.通过正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养

和发展学生的演绎推理能力.

【笈钠直梳理】

考点1正方形的概念与性质：

正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，

有两条对称轴）

考点3正方形的判定：

※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；

邻边相等的矩形是正方形；

对角线相等的菱形是正方形；

对角线互相垂直的矩形是正方形。

注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系（如图3所示）:

图3

K鹿翎争漏】

【考点1正方形的性质】

【典例1】（2022春•淑浦县期中）一个正方形的面积为8加，则它的对角线长为（）

A.1cmB.2y［2cmC.4cmD.3cm

【答案】C

【解答】解：•••正方形的面积为8cm2,

.,.正方形的边长为«=2&（cm）,

,正方形的对角线长为2&Xa=4（cm）,

故选：C.

【变式1-1］（2021秋•简阳市期中）正方形ABCQ的一条对角线长为2,则正方形ABCQ

的周长为（）

A.4B.8C.2&D.4A/2

【答案】D

【解答】解：因为正方形A8CO的一条对角线长为2,

设正方形的边长为“，

根据勾股定理，得/+“2=22,

解得〃=&，

所以正方形的边长为北,

则正方形ABCD的周长为4&.

故选：D.

【变式1-2］（2020秋•武功县期末）如图，在正方形ABCD中，AB=2,P是AO边上的动

点，PELAC于点E,PFLBD于点F,则PE+PF的值为（）

A,PD

二

A.4B.2V2C.V2D.2

【答案】C

【解答】解：在正方形ABC。中，OA1OB,/。4。=45°,

'JPELAC,PFLBD,

二四边形0E尸尸为矩形，△AEP是等腰直角三角形，

：.PF=OE,PE=AE,

：.PE+PF=AE+OE=OA,

正方形ABCD的边长为2,

故选：C.

【变式1-3］（2022•榆林模拟）如图，正方形A8CQ中，对角线AC,8。相交于点。，H

为CQ边中点，正方形4BCD的周长为8,则OH的长为（）

【答案】D

【解答】解：•；正方形ABC。的周长为8,

：.BC=2,

又是正方形对角线的交点，

...0是BD的中点，

•.•，是8边的中点，

是△OBC的中位线,

OH=LBC=I.

2

故选：D.

【典例2】（2020秋•莲湖区期中）如图，正方形ABCQ中，在84延长线上取一点，使BE

=BD,连接QE,则/ED4的度数为（）

E

A.10°B.15°C.30°D.22.5°

【答案】D

【解答】解：：四边形A8C。是正方形，

:.NABD=45°-ZADB,

'：BE=BD,

:.NBDE=675°,

：.ZEDA=ZBDE-ZADB=22.5°,

故选：D.

【变式2-1]（2010秋•金口河区期末）如图，在正方形ABC。中，E是DC上一点,F为

8c延长线上一点，NBEC=70°,且连接E凡则NEFO的度数是（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

【答案】D

【解答】解：...四边形A8CO是正方形，

.".ZBCE=ZDCF=90o；

由旋转的性质知：CE=CF,NBEC=NDFC=10°；

则aECF是等腰直角三角形，得NEFC=45°,

：.ZEFD=ZDFC-ZEFC=25°.

故选：D.

【变式2-2]（2021春•永嘉县校级期末）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的

一点,且AE=AB,连接BE,DE,则/CDE的度数为（）

口

RC

A.20°B.22.5°C.25°D.30°

【答案】B

【解答】解：•••四边形A8CO是正方形，

：.AB=AD,ZADC=90°,/D4c=45°,

'：AE^=AB,

：.AD=AE,

：.ZADE=ZAED=61.5°,

；.NCDE=90°-67.5°=22.5°,

故选：B.

【变式2-3]（2021秋•文山市期末）如图，正方形ABC。外侧作等边三角形ADE,贝IJN4EB

的度数为（）

【答案】C

【解答】解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB=AD=4E,ZBAD=90°,ZDAE

=60。，

，N8AE=90°+60°=150°,

:.NAEB=(180°-150°)4-2=15°.

故选：C.

【变式2-4](2022•兴宁区校级模拟)如图，A(0,2),D(1,0),以为边作正方

形ABCQ,则点C的坐标为()

A.(3,1)B.(3,2)C.(2,1)D.(1,3)

【答案】A

【解答】解：过点C作轴于点”，如图所示：

.•.NOAC+NAOO=90°,

在正方形A8CO中，AD^CD,/A»C=90°,

...NAOO+NCO，=9(T,

：.ZDAO=ZCDH,

：.NyAD迫XHDC(AAS),

：.CH=OD,DH=AO,

,：A(0,2),D(1,0),

：.OA=2,OD=\,

:.DH=2,CH=1,

：.C(3,1),

故选：A.

【典例3](2020秋•杏花岭区校级月考)如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中,

O为原点，点4的坐标为（2,辰）,则点C的坐标为（）

A.（-V5,2）B.（-V5,1）C.（-2,赤）D.（-2,-遥）

【答案】A

【解答】解：如图所示，作AD_Lx轴于。，CE_Lx轴于E,则/OEC=/A/）O=90°,

的坐标为（2,遥），

：.AD=yJs>0D=2,

•.•四边形04BC是正方形，

：.OA=OC,ZAOC=90°,

AZAOD+ZCOE=90Q,

ZAOD^ZECO,

在△OCE和△AO。中，

"Z0EC=ZAD0

<ZEC0=ZD0A-

0C=0A

：.^OCE^/\AOD（A4S）,

：.OE=AD=y[^,CE=0D=2,

C（-遥，2）.

故选：A.

【变式3-1］（2021春•泗水县期末）如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（-3,1）,

则C点的坐标是（）

D.(3,1)

【答案】A

【解答】解：如图所示：作COLx轴于Q,作AELx轴于E,

：.ZOAE+ZAOE=W°,

,••四边形OABC是正方形，

：.OA^CO=BA,ZAOC=90°,

：.ZAOE+ZCOD=90°,

：.ZOAE=ZCOD,

在aAOE和△OCD中，

，ZAE0=Z0DC

<Z0AE=ZC0D>

OA=CO

：./\AOE^AOCD(AAS),

：.AE^OD,OE=CD,

1,点A的坐标是(-3,1),

：.OE=3,AE=\,

：.OD=\,CD=3,

：.C(1,3),

故选：A.

【变式3-2］（2019•海口二模）如图，将边长为2c/n的正方形043C放在平面直角坐标系

中，。是原点，点A的横坐标为1,则点C的坐标为（）

A.（通，-1）B.（2,-1）C.（1,-V3）D.（-1,V3）

【答案】A

【解答】解：作ADLy轴于。，作CE_Ly轴于E,如图所示：

则NAQO=NOEC=90°,

.,.Zl+Z2=90°,

•.•点A的坐标为（1,遥），

：.AD=\,0D=M，

•..四边形0ABe是正方形，

.../AOC=90°,OC=AO,

二/1+/3=90°,

/.Z3=Z2,

在△OCE和△AOQ中，

fZOEC=ZADO

-Z3=Z2>

OC=AO

：./^OCE^/\AOD（AAS）,

：.OE=AD=\,CE=OD=M，

.,.点C的坐标为（窝，-1）.

故选：A.

【典例4】（2020秋•城关区校级期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC,CD

上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G,下列结论：①BE=Z）F；②ND4F=

15°；③4c垂直平分EF；@BE+DF=EFx⑤S&CEF=2S&ABE.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解答】解：•••四边形ABCD是正方形，

：.AB-BC^CD^AD,NB=NBCD=ND=NBAD=90°.

「△AEF等边三角形，

：.AE^EF^AF,NE4/=60°.

.\ZBAE+ZDAF^30°.

在RtAABE和RtAADF中，

[AE=AF,

lAB=AD，

Rt/\ABE^Rt^ADF（HL）,

：.BE=DF（故①正确）.

ZBAE^ZDAF,

：.ZDAF+ZDAF=30°,

即ND4/=15°（故②正确），

,:BC=CD,

：.BC-BE=CD-DF,即CE=CF,

'：AE=AF,

垂直平分（故③正确）.

设EC=x,由勾股定理，得

EF=y[2x，CG=Jix,

2

.,.AG=AEsin60°=EFsin60°=2XCGsin60°=XA.V,

_2

."C=^Er+返r,

22

：.AB=^f^+x；

2_

...8E=愿x+x-=Ex-x

22

:.BE+DF=yf^c-x手心,（故④错误），

2

":S&CEF=^—,

2

2

工又愿x-x.V3x+x=x

SMBE=

2224

2

：.2S&ABE=^—=SnCKF,（故⑤正确）.

2

综上所述，正确的有4个,

故选：D.

【变式4-1]（2020秋•台州期中）如图，在正方形4BC。中，边长为2的等边三角形AEF

的顶点E、尸分别在BC和C。上，下列结论：①CE=CF；②乙4E8=75°；@BE+DF

=EF；④正方形对角线AC=1+J§,其中正确的序号是（）

C.②③④D.①③④

【答案】A

【解答】解：：四边形A2CD是正方形,

：.AB=AD,

•••△AEF是等边三角形，

：.AE=AF,

在Rt/XABE和RtAADF中，

[AB=AD

lAE=AF，

/.RtA/lBE^RtAADF（HL）,

：.BE=DF,

,:BC=DC,

:.BC-BE=CD-DF,

：.CE=CF,故①正确；

'：CE=CF,

是等腰直角三角形，

.•.NCEF=45°,

尸=60°,

：.ZAEB=750,故②正确；

如图，连接AC,交EF于G点，

J.ACLEF,且AC平分EF,

,/尸WADAF,

J.DF^FG,

:.BE+DFWEF,故③错误：

「△AEF是边长为2的等边三角形，ZACD,

：.ACLEF,EG=FG,

."G=4E・sin60°=2X返=«,CG=^EF=1,

22

.•.4C=AG+CG=J^+1；故④正确.

所以其中正确的序号是：①②④.

故选：A.

【变式4-2］（2020春•老城区校级月考）如图，点P是正方形ABC。的对角线BO上一点,

PELBC于点E,P/UCO于点凡连接所给出下列四个结论：®AP=EF；②AP_LEF；

③△APQ一定是等腰三角形；④NPFE=NBAP.其中正确结论个数是（）

D

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解答】解：如图，连接PC,延长AP交EF于H,延长尸产交AB于G,

在正方形A8C。中，NABP=NCBP=45°,AB=CB,

•.•在△A8P和△C8P中，

'AB=CB

<ZABP=ZCBP-

BP=BP

：./\ABP0〉CBP(SAS),

：.AP=PC,NBAP=NBCP,

XVP£±BC,PFVCD,

四边形PECF是矩形，

：.PC=EF,NBCP=NPFE,

：.AP=EF,NPFE=NBAP,故①④正确；

只有点P为8。的中点或尸。=A。时，△?!?£>是等腰三角形，故③错误;

PF//BC,

.♦./AG尸=N48C=90”,

,/ZBAP=NPFE,NAPG=NFPH,

：.ZAGP=ZAHF=90°,

：.APLEF,故②正确，

故选：c.

【变式4-3］（2019秋吧州区校级期中）如图，点。是正方形A8C。的对角线上一点,

PE，BC于E,PF_L8于凡连接EF,给出下列四个结论，其中正确结论的序号是（）

①AP=EF

®ZPFE=ZBAP

③△APO一定是等腰三角形

®PD=yp2EC

A.①②④B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【解答】解：连接PC,如图所示：

在正方形ABC。中，/ABP=NCBP=45°,AB=CB,

'AB=CB

•.•在△ABP和△C8P中，,ZABP=ZCBP-

BP=BP

:.AABP冬/\CBP（SAS）,

；.AP=PC,NBAP=NBCP,

VPEIBC,PFA.CD,

四边形PECF是矩形，

：.PC=EF,ZBCP=ZPFE,

：.AP=EF,NPFE=/BAP,故①②正确；

'：PFLCD,ZBDC=45°,

，/\PDF是等腰直角三角形，

:.PD=4QPF,

•.,矩形的对边PF=EC,

:.PD=MEC,故④正确；

只有点P为8。的中点或尸O=A力时，△AP。是等腰三角形，故③错误；

综上所述，正确的结论有①②④，

故选：A.

【考点2正方形的判定】

【典例5】(2021秋•南海区月考)如图，点B在MN上，过的中点。作MN的平行线,

分别交NABM的平分线和乙4BN的平分线于点C、D.

(1)试判断四边形AC8。的形状，并证明你的结论.

(2)当△CBO满足什么条件时，四边形ACB。是正方形？并给出证明.

【答案】(1)四边形ACB。是矩形

(2)△C8D满足C8=8D时，四边形ACBD是正方形

【解答】解：(1)四边形4CBD是矩形，

证明：平行

:.NOCB=NCBM,

平分/ASM,

：.ZOBC=ZCBM,

：.20CB=N0BC,

：.OC=OB,

同理可证：OB=OD,

.*.OA=OB=OC=OC,

"：CD=OC+OD,

AB=OA+OB,

：.AB=CD,

四边形ACBO是矩形：

(2)△CBC满足C8=BO时，四边形AC8D是正方形,

证明：由(1)得四边形4CBO是矩形，

,:CB=BD,

二四边形ACBO是正方形.

D

MBN

【变式5-1］（2021春•昆明期末）如图，在aABC中，/ACB=90°,ZB>NA,点D为

边AB的中点，OE〃8C交AC于点E,CF〃AB交。E的延长线于点F.

（1）求证：DE=EF；

（2）当RtZ\ABC满足什么条件时，四边形AOCF是正方形？请证明你的结论.

【答案】（1）略（2）

【解答】证明：（1）\'DE//BC,CF//AB,

四边形OBCF为平行四边形，

：.DF=BC,

为边A8的中点，DE//BC,

：.DE=^BC,

2

:.EF=DF-DE=BC-XcB=^CB,

22

：.DE=EF；

（2）解：当△ABC满足N8AC=45°,四边形AOCF是正方形,

证明：•：四边形DBCF为平行四边形，

：.BD=CF,

；NACB=90°,。为边A8的中点，

：.AD=BD=CD,

：.AD=CF,

'：AD//CF,

，四边形ADCF是平行四边形，

；N8AC=45°,

.•.NBAC=NOC4=45°,

：.ZADC=90°,

，四边形AOCF是正方形.

【变式5-2](2021•平凉模拟)如图，在矩形48CD中，M、N分别是边40、BC的中点,

E、尸分别是线段8例、CM的中点.

(1)求证：BM=CM.

(2)当AB：AO的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由.

,A/n

EM

BNC

【答案】(1)略(2)当A8：AD=\：2时，四边形MENF是正方形

【解答】(1)证明：•••四边形A8CO是矩形，

：.AB=DC,/A=/O=90°,

♦M为中点,

：.AM=DM,

在△A8M和△OCM中，

'AI=DM

(ZA=ZD>

AB=DC

(SAS),

(2)解：当AB：AD=\：2时，四边形MENF是正方形，理由如下：

,:N、E、尸分别是8C、BM、CM的中点，

：.NE//CM,NE=LCM,

2

"：MF=^CM,

2

：.NE=FM,

'：NE//FM,

四边形MENF是平行四边形，

由（1）知△ABM丝△QCM,

,:E、/分别是BM、CM的中点，

：.ME=MF,

平行四边形MENF是菱形；

♦M为4。中点,

：.AD^=2AM,

'：AB：40=1：2,

：.AD=2AB,

：.AM=AB,

；乙4=90°,

：.ZABM=ZAMB=45°,

同理/OMC=45°,

/.Z£MF=180°-45°-45°=90°,

・••四边形例ENF是菱形，

，菱形MEN尸是正方形.

【考点3正方形的性质与判定】

【典例6】（2022春•覃塘区期中）如图，已知点E,F,G,H分别在正方形ABC。的四条

边上，S.AE^BF^CG=DH,连接EF,FG,GH,HE.

（1）求证：四边形EFG”是正方形；

（2）若A8=7,AE=3,求四边形EFG”的周长.

【解答】