安徽省合肥市巢湖市汇文实验学校2023年高三最后一模数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,,则 B．若，,则C．若,,则 D．若,,则2．已知命题：任意，都有；命题：，则有．则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．3．我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（）A．400米 B．480米C．520米 D．600米4．已知整数满足，记点的坐标为，则点满足的概率为（）A． B． C． D．5．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（）A． B． C． D．6．如图，圆的半径为，，是圆上的定点，，是圆上的动点，点关于直线的对称点为，角的始边为射线，终边为射线，将表示为的函数，则在上的图像大致为（）A． B． C． D．7．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．8．已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（）A． B．C． D．9．“”是“函数的图象关于直线对称”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件可以是（）A． B． C．或 D．11．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．12．已知双曲线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．复数为虚数单位）的虚部为__________．14．已知，则_____。15．二项式的展开式中项的系数为_____．16．已知抛物线的对称轴与准线的交点为，直线与交于，两点，若，则实数__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数，．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）时，若，，求证：．18．（12分）已知函数.（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；（Ⅱ）求函数的定义域和值域.19．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．求C；若，求，的面积20．（12分）已知函数.（1）若函数，求的极值；（2）证明：.（参考数据：）21．（12分）设函数（）.（1）讨论函数的单调性；（2）若关于x的方程有唯一的实数解，求a的取值范围.22．（10分）已知不等式对于任意的恒成立.（1）求实数m的取值范围；（2）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足.求证.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或．【详解】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：在A中，若，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，则或，故B错误；在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，若，，则与平行或，故D错误．故选C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．2、B【解析】

先分别判断命题真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.【详解】为真命题；命题是假命题，比如当,或时，则不成立.则，，均为假.故选:B【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.3、B【解析】

根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度.【详解】设第一展望台到塔底的高度为米，塔的实际高度为米，几何关系如下图所示：由题意可得，解得；且满足，故解得塔高米，即塔高约为480米.故选：B【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.4、D【解析】

列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.【详解】因为是整数，所以所有满足条件的点是位于圆（含边界）内的整数点，满足条件的整数点有共37个，满足的整数点有7个，则所求概率为.故选：.【点睛】本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.5、C【解析】

由题意，可根据向量运算法则得到（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.【详解】由题意及图，，又，，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故选C．【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.6、B【解析】

根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.【详解】由题意，当时，P与A重合，则与B重合，所以,故排除C,D选项；当时，，由图象可知选B.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.7、B【解析】

直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标，利用求得参数m，再用计算即可.【详解】依题意，，而，即，解得，则.故选：B.【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.8、A【解析】

求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．【详解】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2，又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．9、A【解析】

先求解函数的图象关于直线对称的等价条件，得到，分析即得解.【详解】若函数的图象关于直线对称，则，解得，故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件．故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.10、D【解析】

先求函数在上不单调的充要条件，即在上有解，即可得出结论.【详解】，若在上不单调，令，则函数对称轴方程为在区间上有零点（可以用二分法求得）.当时，显然不成立；当时，只需或，解得或.故选:D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题.11、D【解析】

与中间值1比较，可用换底公式化为同底数对数，再比较大小．【详解】，，又，∴，即，∴．故选：D.【点睛】本题考查幂和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幂比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0，1等比较．12、C【解析】

先求得的渐近线方程，根据没有公共点，判断出渐近线斜率的取值范围，由此求得离心率的取值范围.【详解】双曲线的渐近线方程为，由于双曲线与双曲线没有公共点，所以双曲线的渐近线的斜率，所以双曲线的离心率.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】试题分析：，即虚部为1，故填：1.考点：复数的代数运算14、【解析】

由已知求，再利用和角正切公式，求得，【详解】因为所以cos因此.【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式与和角的正切公式。15、15【解析】

由题得，，令，解得，代入可得展开式中含x6项的系数.【详解】由题得，，令，解得，所以二项式的展开式中项的系数为.故答案为：15【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题.16、【解析】

由于直线过抛物线的焦点，因此过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义及平行线性质可得，从而再由抛物线定义可求得直线倾斜角的余弦，再求得正切即为直线斜率．注意对称性，问题应该有两解．【详解】直线过抛物线的焦点，，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义知，．因为，所以．因为，所以，从而．设直线的倾斜角为，不妨设，如图，则，，同理，则，解得，，由对称性还有满足题意．，综上，．【点睛】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的焦点弦问题，掌握抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离与它到距离联系起来是解题关键．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】

（1）首先对函数求导，再根据参数的取值，讨论的正负，即可求出关于的单调性即可；（2）首先通过构造新函数，讨论新函数的单调性，根据新函数的单调性证明.【详解】（1），令，则，令得，当时，则在单调递减，当时，则在单调递增，所以，当时，，即，则在上单调递增，当时，，易知当时，，当时，，由零点存在性定理知，，不妨设，使得，当时，，即，当时，，即，当时，，即，所以在和上单调递增，在单调递减；（2）证明：构造函数，，，，整理得，，（当时等号成立），所以在上单调递增，则，所以在上单调递增，，这里不妨设，欲证，即证由（1）知时，在上单调递增，则需证，由已知有，只需证，即证，由在上单调递增，且时，有，故成立，从而得证.【点睛】本题主要考查了导数含参分类讨论单调性，借助构造函数和单调性证明不等式，属于难题.18、（Ⅰ）（Ⅱ）函数的定义域为，值域为【解析】

（1）由为第二象限角及的值，利用同角三角函数间的基本关系求出及的值，再代入中即可得到结果.（2）函数解析式利用二倍角和辅助角公式将化为一个角的正弦函数，根据的范围，即可得到函数值域.【详解】解：（1）因为是第二象限角，且，所以.所以，所以.（2）函数的定义域为.化简，得，因为，且，，所以，所以.所以函数的值域为.（注：或许有人会认为“因为，所以”，其实不然，因为.）【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型.19、(1)．(2)．【解析】

由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求，结合范围，可求，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得，结合范围，可求A，根据三角形的内角和定理即可解得C的值．由及正弦定理可得b的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】由已知可得，又由正弦定理，可得，即，，，，即，又，，或舍去，可得，．，，，由正弦定理，可得，，．【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20、（1）见解析；（1）见证明【解析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（1）问题转化为证ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，根据xlnx≤x（x﹣1），问题转化为只需证明当x＞0时，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣1x1+x﹣1，（x≥0），根据函数的单调性证明即可．【详解】（1），，当，，当，，在上递增，在上递减，在取得极大值，极大值为，无极大值.（1）要证f（x）+1＜ex﹣x1．即证ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，先证明lnx≤x﹣1，取h（x）＝lnx﹣x+1，则h′（x）＝，易知h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时取“＝”，故xlnx≤x（x﹣1），ex﹣x1﹣xlnx≥ex﹣1x1+x﹣1，故只需证明当x＞0时，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣1x1+x﹣1，（x≥0），则k′（x）＝ex﹣4x+1，令F（x）＝k′（x），则F′（x）＝ex﹣4，令F′（x）＝0，解得：x＝1ln1，∵F′（x）递增，故x∈（0，1ln1]时，F′（x）≤0，F（x）递减，即k′（x）递减，x∈（1ln1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，即k′（x）递增，且k′（1ln1）＝5﹣8ln1＜0，k′（0）＝1＞0，k′（1）＝e1﹣8+1＞0，由零点存在定理，可知∃x1∈（0，1ln1），∃x1∈（1ln1，1），使得k′（x1）＝k′（x1）＝0，故0＜x＜x1或x＞x1时，k′（x）＞0，k（x）递增，当x1＜x＜x1时，k′（x）＜0，k（x）递减，故k（x）的最小值是k（0）＝0或k（x1），由k′（x1）＝0，得＝4x1﹣1，k（x1）＝﹣1+x1﹣1＝﹣（x1﹣1）（1x1﹣1），∵x1∈（1ln1，1），∴k（x1）＞0，故x＞0时，k（x）＞0，原不等式成立．【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于中档题．21、（1）当时，递增区间时，无递减区间，当时，递增区间时，递减区间时；（2）或.【