指数与指数函数-2020年高考数学（文）含解析

考点07指数与指数函数

。,考拥原文

（1）了解指数函数模型的实际背景.

（2）理解有理指数基的含义，了解实数指数幕的意义，掌握累的运算.

（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.

（4）知道指数函数是一类重要的函数模型.

上知识整合

一、指数与指数塞的运算

1.根式

（1）〃次方根的概念与性质

概念一般地，如果x"=a,那么x叫做〃的〃次方根，其中weN*.

①当〃是奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数.

这时，。的〃次方根用符号后表示.

n

次

方②当〃是偶数时，正数。的〃次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正

性质

根数。的正的几次方根用符号折表示，负的〃次方根用符号-标表示.正的〃

次方根与负的n次方根可以合并写成土标（a>0）.负数没有偶次方根.

③0的任何次方根都为0,记作啦=0.

（2）根式的概念与性质

概念式子板叫做根式，这里“叫做根指数，。叫做被开方数.

①(布)"且n6N*).

根

式②当〃为奇数时，后

性质=a.

③当〃为偶数时，^/7=h|=J6,,c,-°.

［一Q,Q<0

【注】速记口诀:

正数开方要分清,根指奇偶大不同

根指为奇根一个,根指为偶双胞生

负数只有奇次根,算术方根零或正

正数若求偶次根,符号相反值相同

负数开方要慎重,根指为奇才可行

根指为偶无意义,零取方根仍为零

2.实数指数幕

(1)分数指数累

①我们规定正数的正分数指数累的意义是和=叱(a>0,

于是，在条件a>O,〃?,〃eN*,且下，根式都可以写成分数指数幕的形式.

21

②正数的负分数指数幕的意义与负整数指数幕的意义相仿，我们规定。"==(4〉0,〃2,〃€>1*,且

a"

«>1).

③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.

(2)有理数指数累

规定了分数指数基的意义之后，指数的概念就从整数指数累推广到了有理数指数.整数指数基的运算性

质对于有理数指数基也同样适用，即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质：

①优"=屋+，(a>0,r,seQ)；

②3)'=ars(a>0,r,5GQ)；

③(ab)r-arbr(a>0,b>0,reQ).

(3)无理数指数累

对于无理数指数幕，我们可以从有理数指数幕来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无

理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数事是一个确定的实数.

一般地，无理数指数幕是无理数)是一个确定的实数.有理数指数塞的运算性质同样适用于

无理数指数暴.

二、指数函数的图象与性质

1.指数函数的概念

一般地，函数y="(a>0,且awl)叫做指数函数，其中％是自变量，函数的定义域是R.

【注】指数函数y=a\a>0,且a。1)的结构特征：

(1)底数：大于零且不等于1的常数；

(2)指数：仅有自变量x；

(3)系数：，的系数是1.

2.指数函数旷="(a>0,且awl)的图象与性质

0<a<la>\

,I

y\/

/r=ax

图象

•…意1tdz

二厂二

22r

O\x4*

定义域R

值域(。,+8)

奇偶性非奇非偶函数

对称性函数尸“r与尸"的图象关于y轴对称

过定点过定点(0,1),即x=0时，y=\

单调性在R上是减函数在R上是增函数

函数值的当x<0时，y>1；当x>0时，y>l；

变化情况

当x〉0时，0<y<1当x<0时，0<y<l

指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中

0<c<d<l<a<b.

①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；

②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.

底数对图

象的影响

~~*

即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.

【注】速记口诀:

指数增减要看清，抓住底数不放松;

反正底数大于0,不等于1已表明;

底数若是大于I,图象从下往上增;

底数0至IJ1之间，图象从上往下减;

无论函数增和减，图象都过(0,1)点

3.有关指数型函数的性质

(1)求复合函数的定义域与值域

形如y=aM的函数的定义域就是/(X)的定义域.

求形如y=〃/(，)的函数的值域，应先求出了(X)的值域，再由单调性求出y=a/(”的值域.若“的范

围不确定，则需对。进行讨论.

求形如y=/«')的函数的值域，要先求出〃=优的值域，再结合y=./'(“)的性质确定出y=/(优)

的值域.

(2)判断复合函数y=/(优)的单调性

令日⑶，阳，如果复合的两个函数y=a"与w=/(x)的单调性相同，那么复合后的函数

丁=。/(*)在［，九，川上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数y=a/⑶在阿，

网上是减函数.

(3)研究函数的奇偶性

一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子/(幻与式-x)的关系，最后确定函数的奇偶

性.

二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y轴对称，则函数具有

奇偶性.

点考向,

考向一指数与指数幕的运算

指数塞运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.

(2)先乘除后加减，负指数塞化成正指数哥的倒数.

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.

(4)若是根式，应化为分数指数累，尽可能用累的形式表示，运用指数基的运算性质来解答.

(5)有理数指数基的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算.

(6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示.如果有特殊要求，

要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

典例引领

典例1化简并求值:

(1)

yla3b2y/a^

/21V.11

a4b2a3田

【答案】（1）—!（2）—.

2h

29

2¥33

【解析】（1）22X53x5《=2-1x5°

772

i

[2、

/A?.京庐54

da3b2•荷加〃__ja

(2)7cr=ab=—

b

1a占

序团-a方ab-a加

【名师点睛】把根式化为分数指数辕，再按照幕的运算法则进行运算即可.

变式拓展

考向二与指数函数有关的图象问题

指数函数产/（4>0,且"1）的图象变换如下:

左移Rr>。）个单位

的图象

右移仁（9>0）个单位

的图象

上移r（p>0）个单位

¥=0"+*的图象

下移「（9>0）个单位

y=ax的图象丫=^一少的图象

关于x轴对称

y=-ax的图象

关于y轴对称

y=a-x的图象

关于原点对称

尸一尸的图象

【注】可概括为：函数y=/（x）沿x轴、y轴的变换为“上加下减，左加右减

典例引领

典例2函数y=a*—a（a>0,且。彳1）的图象可能是

【答案】C

【解析】当x=l时，y=a'一。=0,

所以产"一〃的图象必过定点（1,0）,

结合选项可知选C.

变式拓展

2.函数/（月=*”的图像是

A.B.

考向三指数函数单调性的应用

1.比较幕的大小的常用方法：

(1)对于底数相同，指数不同的两个累的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；

(2)对于底数不同，指数相同的两个幕的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；

(3)对于底数不同，且指数也不同的基的大小比较，可先化为同底的两个幕，或者通过中间值来比较.

2.解指数方程或不等式

简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数。的取

值范围，并在必要时进行分类讨论.

典例引领

232

典例3设。=则的大小关系是

A.a>c>hB.a>b>c

C.c>a>hD.b>c>a

【答案】A

【解析】对于函数y广，在其定义域上是减函数,

32

32(1/

<,即〃<c.

551

在同一平面直角坐标系中画出函数y=(-)x和函数y=(-)x的图象,

22

可知(I、5

>，即Q>C.

7IT

从而Z?<c<a.

故A正确.

【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分

。>1与0<。<1两种情况讨论.

变式拓展

—1

3.设。=人。，b=ln正,c=lg—(其中e=2.71828是自然对数的底数)，则

e

A.c>b>aB.a>b>c

C.a>c>bD.b>a>c

典例引领

(-)r-7,x<0

典例4设函数/(x)={2,若则实数。的取值范围是

2*T,%>0

A.(-oo,l)B.(-3,+oo)

C.(-3,1)D.(-(x),-3)(l,+8)

【答案】C

(解析】当。<0时，不等式f(a)<1可化为(g)"-7<1,

即(3)”<8,解得—3<。<0；

当时，不等式f(a)<l可化为2“T<1,所以04。<1.

故a的取值范围是(—3,1).

故选C.

【名师点睛】利用指数函数的单调性，分别讨论当a<0及时，a的取值范围，最后综合即可得出结

果.

变式拓展

4.若则

11

A.—>一B.log।w>logjn

mn22

C.In(m-n)>0D.Ttm-n>1

考向四指数型函数的性质及其应用

1.指数型函数中参数的取值或范围问题

应利用指数函数的单调性进行合理转化求解，同时要特别注意底数a的取值范围，并当底数不确定时进

行分类讨论.

2.指数函数的综合问题

要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定

时，对底数的分类讨论.

典例引领

典例5已知函数〃6=了匕-j则/(x)是

A.奇函数，且在R上是增函数B.偶函数，且在(0,+8)上是增函数

C.奇函数，且在R上是减函数D.偶函数，且在(0,+8)上是减函数

【答案】C

【解析】易知函数/(%)的定义域为R,关于原点对称,

1_1_eA1

且“一力

ex+l2-ev+l-2

则〃-x)+/(x)=0，

所以/(x)是奇函数，

显然函数/(x)=—右一』是减函数.

故选C.

变式拓展

5.若函数/)=3*+3-*与g(x)=3,—3一，的定义域均为R,则

A.八尤)与g(x)均为偶函数B.«x)为奇函数，g(x)为偶函数

C.八x)与g(x)均为奇函数D.4组为偶函数，g(x)为奇函数

典例引领

2gZr<2

典例6若函数/(x)={'"的最小值为/(2),则实数。的取值范围为

Iog2(x+4Z),X>2

A.a<0B.a>0

C.a<0D.n>0

【答案】D

【解析】当xW2时，/(x)=少7=22T,单调递减，

：.f(x)的最小值为12)=1；

当x>2时，f(x)=log2(x+a)单调递增，

若满足题意，只需log2(x+a)2l恒成立，

即x+a22恒成立，

。2(2-%)2，：.a>0.

故选D.

/1、/-2》

典例7函数y=KJ的值域为.

【答案】(0,2]

【解析】设f=V—2x=(x—Ip—12—1,又由指数函数y=(g)'为单调递减函数，即可求解.

由题意，设，=/-2x=(x—Ip—12—1,

又由指数函数y=(!)'为单调递减函数，

知当/2-1时，0<y42,

即函数y=”的值域为（0,2].

变式拓展

6.若关于x的不等式2、+|-2-、一。＞0的解集包含区间（0』），则。的取值范围为

A.B.

C.D.(—,1)

声点冲关充

1

1.计算：2冗3—Q+x%=

(2J

A.3B.2

C.2+xD.1+2犬

2.若函数f(x)=，则函数/(%)的值域是

A.(—8,2)B.[0,+8)

C.(-8,0)u(0,2)D.(-8,2]

3.设4=0.6。61=0.夕5,°=1.5°6,则。，瓦c的大小关系是

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.b<c<a

\X2-2X

4.函数/（%）=gZ1）的单调递减区间为

A.(0,4-oo)B.(l1+oo)

C.(-00,1)D.(-00,-1)

山（1+1）优

5.函数y=伍〉1）的图象的大致形状是

X

6.已知函数/(x)=2'(x<0),其值域为O,在区间(—1,2)上随机取一个数x,则xe。的概率是

7.已知实数满足'则下列关系式中恒成立的是

A.tanx>tanyB.In(x2+2)>ln(y2+1)

11

C.—>—D.x3>y3

xy

8.已知函数/(x)=-8£+36x—4O在口,2)上的值域为A,函数g(x)=2*+。在[1,2)上的值域为8.若

xeA是xe8的必要不充分条件，则。的取值范围是

A.[-4,+oo)B.(-14,-4]

C.[-14T]D.(-14,-HX>)

9.己知/(无)是定义域为R的偶函数，且x»0时，/(x)=(1)r,则不等式的解集为

C.(-2,2)D.(-1,1)

10.函数/(x)=log2x+1与g(x)=2-XT在同一平面直角坐标系下的图象大致是

11.设函数与g(X)=罐(a>1且aw2)在区间(o,+8)上具有不同的单调性，则M=(a-1产

(1V1

与N=上的大小关系是

\a)

A.M=NB.M<N

C.M<ND.M>N

12.定义新运算笆)：当mNn时，m®n=m；当m<n时，rn③n=n.设函数/(x)=[(2*笆)2)-

(10log2x)]-2\则f(x)在(0,2)上的值域为

A.(0,12)B.(0,12]

C.(1,12)D.(1,12]

|2r—i|x<2

13.设函数=F卜"，若互不相等的实数a,4c满足/(a)=/(8)=/(c),则2"+2"H2。的

—x+5,x>2

取值范围是

A.(16,32)B.(18,34)

C.(17,35)D.(6,7)

14.已知函数/(x)=a*-2+1(a>0且awl)的图象过定点P,则点尸的坐标为.

15.已知Q+QT=3,则。2+。5=.

16.已知函数y的定义域为R，则实数。的取值范围是.

17.已知函数，(x)='X—,若〃/(0)]=2,则实数a的值是_______.

loga(x-l),x>l

18.已知14"=7"=4'=2,则』—』+』=.

abc

19.若不等式-%2+2x+3S2"3a对任意实数X都成立，则实数a的最大值为.

20.已知函数/(x)=45inM反os,若/—=+，则函数y=3'"+行的图象恒过定点

21.已知函数/(力=优+力(a>0,a0l)的定义域和值域都是[―1,0],则/=.

22.(1)(0_1)。+保)？+(逝尸；

,og23

(2)log525+1g+InVe+2.

23.已知函数/(x)=9'—加台山一生

(1)若m=1,求方程/(x)=0的根；

⑵若对任意xe[—1,1],8恒成立，求机的取值范围.

0Z7,'_4a

24.已知函数(。>0且awl)是定义在R上的奇函数.

(1)求a的值；

(2)求函数/(x)的值域；

(3)当xe[l,2]时，2+“f(x)-2'20恒成立，求实数机的取值范围.

昌通高考沙

1.（2019年高考全国1卷文数）已知a=log2（）.2力=2°2,c=0.2°,3,则

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

2.（2019年高考天津文数）已知a=log27,Z?=log38,c=0.3°2,则a,h,c的大小关系为

A.c<b<aB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

3.（2019年高考浙江）在同一直角坐标系中，函数y=，，y=log”（x+g）（a>0,且"1）的图象可能是

4.（2019年高考全国III卷文数）设/（x）是定义域为R的偶函数，且在（0,”）单调递减，则

-

A.f(log3l)>f(2b>f(2方)

■4

1二N

B.f(log/)>f(23)>f(22)

4

3--1

23

C./(2)>/(2)>/(log3i)

4

-J-i

D.f(2)>/(2)>f(log3l)

4

7f1V1

5.(2018年高考天津卷文科)已知。=log3—/=—,c=logl-,则〃，反c的大小关系为

2Jj5

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>h>aD.c>a>b

2Tr<0

6.(2018年高考新课标I卷文科)设函数f(x)=]，则满足/(x+l)v〃2x)的犬的取值范围

是

A.(-oo,-1]B.(0,+8)

C.（—1,0）D.（—oo,0）

7.（2017年高考北京卷）己知函数/（幻=3'-（；『，则/（x）

A.是偶函数，且在R上是增函数B.是奇函数，且在R上是增函数

C.是偶函数，且在R上是减函数D.是奇函数，且在R上是减函数

421

8.（2016年同考新课标HI卷文科）已知〃=23,Z?=3',c=25’，则

A.h<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<h

9.(2016年高考天津卷文科)已知/(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-8,0)上单调递增，若实数。满

足2kT)>/(-扬,则。的取值范围是

13

A.(口，!)B.(-°o,—)U(—,4^)

2

C.(11)

D.(―5~KX>)

22

x+Lx<0,1

10.(2017年高考新课标in卷文科)设函数/(》)=2…则满足作)+/(')>1的x的取值范围

是.

变式拓展

1.【答案】-

2

【解析】由题意，根据实数指数事的运算性质，

2

可信(2乎-(-2)。-(1)\+1)

=吟)+-(-2)。-[(|)]+图”

3,441

=--1---P-=一,

2992

故答案为一.

2

2.【答案】A

【解析】由〃力=朋4,可得/(0)=1,排除选项C,D；

由指数函数图象的性质可得/(%)>0恒成立，排除选项B,

故选A.

【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

3.【答案】B

1

【解析】由题得。=e^>e°=l,

Z?=lnV2<lne=l,Hb>0,

c=lg—<lgl=O,

e

所以a>b>c.

故选B.

【名师点睛】由题意结合指数函数、对数函数的性质确定“也c,的范围，然后比较其大小即可.对于指数

事的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因箱的底数或指数不相同，不能

直接利用函数的单调性进行比较，这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数累的大小比较时，若底数不

同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指

数辕的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确.

4.【答案】D

【解析】因为所以由指数函数的单调性可得加>〃，

因为加，〃的符号不确定,所以加<0,〃<0时可排除选项A、B；

3

加=—,〃=1时，可排除选项C,

2

由指数函数的性质可判断>1正确.

故选D.

【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而作出

正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除

法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法既可以提高做题速度和效率，乂能提高

准确性.

5.【答案】D

【解析】因为_A—x)=3-*+3=/(x),g(—x)=3-*—3*=—g(x),

所以7(x)是偶函数，g(x)为奇函数.

故选D.

6.【答案】B

【解析】由题得二在(0,1)上恒成立，

2A

设2，=”€(1,2),所以re(l,2),

由于函数/(f)=2f—；,fe(l,2)是增函数，

所以aW/(l)=2xl—l=l.

故选B.

考点冲关

I.【答案】D

_!]1_11

【解析】原式=2/工一=1+2》.

2

故选D.

2.【答案】A

【解析】因为x<l时，2、<2；

X>1时，-log2%<0.

所以函数f(x)的值域是(—8,2).

故选A.

3.【答案】B

(解析]由y=0.6v的单调性可知：0.6$<O,60-6<0,6°=1.

又L5°6>1.5°=I，：.c>a>b.

故选B.

4.【答案】B

【解析】由函数f(x)=C).-2x,结合复合函数的单调性知识可知，它的减区间，即为y=/-2x的增

区间.

由二次函数的性质可得y=x2-2x的增区间为(1,+8).

故选B.

5.【答案】A

(x+l)aA/、/、

【解析】函数y=\-J(a>l)的定义域为(—0,0)(O,4w).

rl

当x<—1时，由题意可得y<0,故可排除B,D；

又当Xf48时，由于。>1,故y->+8,故排除C.

故选A.

【名师点睛】由函数的解析式判断函数图象的形状时，主要利用排除法进行.解题时要注意以下几点：

(1)先求出函数的定义域，根据定义域进行排除；

(2)利用函数的性质进行判断，即根据函数的单调性、奇偶性、对称性进行排除；

(3)根据函数图象上的特殊点的函数值进行判断或根据函数的变化趋势进行判断.

6.【答案】B

【解析】函数/(x)=2'(x<0)的值域为(0,1),即。=(0,1),

则在区间(—1,2)上随机取一个数x,XGD的概率P=2；0[)=；.

故选B.

7.【答案】D

【解析】由指数函数的性质得「〈上

3元3兀

对于A,当工==，y=----时，满足x>y,但tanx>tany不成立.

44

对于B,若1口(工2+2)>ln(y2+]),则等价为f>y2成立，当X=l,y=-1时・，满足X>y,但d>y2

不成立.

对于C,当％=3,y=2时，满足x>y,但不成立.

xy

对于D,当x>>时，X3>V恒成立.

故选D.

【名师点睛】利用指数函数即可得出了，y的大小关系，进而判断出结论.本题考查了函数的单调性，考

查了推理能力与计算能力，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键.属于基础题.

8.【答案】B

【解析】因为在[1,2)上单调递增,所以A=[—12,0),

又函数g(x)=2'+a在[1,2)上单调递增，于是B=[2+a,4+a).

因为xwA是xeB的必要不充分条件，所以8是A的真子集，

故有《(等号不同时成立)，得.

4+<7<0L」

故选B.

9.【答案】D

【解析】由题意得，当xNO时，/(jc)=(g)*,则不等式/(x)>g,即(；)》>：,解得OKx<l；

又因为函数/(x)是定义域为R的偶函数，当x<0时，/(x)=2*,则不等式/(x)>g,即2，>g,

解得—1<%<0,

所以不等式/(X)>；的解集为{xI-1<X<1}.

故选D.

10.【答案】D

【解析】g(x)=2-xT=(g),由指数函数的图象知，将函数y=G)x的图象向左平移一个单位，即

可得到g(x)的图象，从而排除选项A,C；

将函数y=10g2X的图象向上平移一个单位，即可得到/(X)=10g2X+l的图象，从而排除选项B.

故选D.

11.【答案】D

【解析】由题意，因为/(X)=X2F与g(x)="在区间(0,中a)上具有不同的单调性，

则。>2,

所以M=(a-1广>1,N=上<1，所以M>N.

故选D.

12.【答案】C

24A<V<1

{22x-2X,1<x<2

当xG(0,1)时,f(x)=2XE(1,2)；

当xe[1,2)时，/(x)=22X—2X,

令t=2*€[2,4),则2<t2-t<12,

故f(x)在(0,2)上的值域为(1,12).

故选C.

13.【答案】B

【解析】画出函数/(X)的大致图象如图所示.

不妨令a<b<c,则1—2"=2”—1,则2"+2〃=2.

结合图象可得4<c<5,故16<2’<32.

18<2"+2〃+2c<34.

故选B.

【名师点睛】解答本题时利用函数图象进行求解，使得解题过程变得直观形象.解题中有两个关键：

一是结合图象得到2〃+2〃=2；二是根据图象判断出c的取值范围，进而得到16<2'<32的结果，然

后根据不等式的性质可得所求的范围.

14.【答案】(2,2)

【解析】由题意，令x=2,可得/(x)=a2-2+i=2,

所以函数，(2)=a*-2+i(。>0且d)的图象过定点尸(2,2).

15.【答案】亚

/」Y(1」Y

【解析】由题意得a+a-i=a2+a^-2=3,a^+a^=5,

77

1

a2+a2>0,+a2=45.

16.【答案】a<0

【解析】函数y=,2*-a的定义域为R，

/.2V-a20恒成立，

即aV2,恒成立，

2'>0，

:.a<0,

故答案为〃wo.

17.【答案】V2

【解析】••"(0)=2°+2=3,

••4"(0)]=〃3)=log.2,

V/[/(0)]=2,

；.log"2=2,

又a>0,

则a=72.

故答案为收.

18.【答案】3

111_[\_

【解析】由题设可得2〃=14,2〃=7,2,=4，则2"飞=14+7=2，

1_111]j

即2；%=2n2"-/之=4x2=2"即—-+-=3.

abc

故答案为3.

19.【答案】

【解析】设=-x2+2%+3,不等式―产+2%+3<2-3a对任意实数》都成立，只需满足

f(X)maxW2.3a即可，

/(X)=-X2+2X+3=-(x_1)2+4=/(X)max=4，

所以4<2r-3anaW-$

因此实数a的最大值为V

20.【答案】(1,3)

【解析】=/：+x...函数/(X)图象的对称轴为》=弓,

•••〃0)=/目即-』，

。+/?=0.

在y=3，g&+i中，令龙=1,则y=3"+Hi=3.

函数y=的图象恒过定点(1,3).

故答案为(1,3).

21.【答案】4

【解析】当a>l时，函数/(x)单调递增，所以函数/(%)的图象过点(T,T)和点(0,0),所以

a~l+b=-l

该方程组无解;

a°+b=Q

a-'+b^0

当0<a<1时，函数/(x)单调递减，所以函数〃x)的图象过点(T,0)和点(0,T),所以，

aa+h=-l'

1

CL——

解得《2.

b=-2

所以d=4.

7

22.【答案】(1)2；(2)-

2

【解析】(1)由题意，根据实数指数幕的运算性质，可得(&_i)°+[3]2+(&)T=I+3+J_=2.

I9J44

(2)根据对数的运算性质，可得logs25+lg++lnG+2咋”=2-2+；+3=(.

4

23.【答案】⑴x=log34；(2)(-00,-].

【解析】(1)朋=1时，/(%)=9'-3r+l-4=(3')2-3-3,-4=0.

可得(3、-4)(3*+1)=0,

3*>0,

.•.3*=4，解得x=log34.

(2)令3"=I，xe[—1,1jZG[-,3].

41

由/(x)N—8,可得产-3/加—42—8，3加4/+：对恒成立,

4/-44

，+—224=4,当且仅当，=一，即/=2时，，+一取得最小值为4,

ttt

4

3/71<4,故mW一,

3

4

二加的取值范围为

24.【答案】⑴。=2；⑵(-1,1)；(3)y,+oo^].

【解析】(1)•••/(X)是R上的奇函数，

2优—4+。

2ax+a

整理可得。=2.

(注：本题也可由/(0)=0解得。=2,但要进行验证)

2-2r-2_2X-I=1」

(2)由(1)可得/(x)

2-2x+2~2A+l2V+1

二函数/(x)在R上单调递增,

又2*+1>1,

>2<一右

<0,

—1<1------<1.

2A+1

二函数f(x)的值域为(—1,1).

⑶当xe[l,2]时，/(%)=^->0,

2X_i

由题意得mf{x}=N2'_2在xe[1,2]时恒成立，

V

（2,+1）（2-2）r

二m>—一在xG[1,2]时恒成立.

令（=2'-l