《概率统计教学资料》第4-6节随机事件及概率

内容回顾1.概率论中的基本概念：样本点，样本空间，随机事件2.随机事件的四种关系和三种运算以及运算定律3.事件的统计性规律4.概率的公理化定义：非负性，规范性，可加性5.概率的四条性质2023/4/131第四节古典概型2023/4/132预备知识：1.加法原理：完成1件事，有n类办法.在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法，……在第n类中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有2.乘法原理：完成1件事，需要分成n个步骤.做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有2023/4/1333.排列：从n个不同元素中（按不放回方式）取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为4.组合：从n个不同元素中（按不放回方式）取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记为2023/4/134每个盒子至多装一只球，则第一只球共有N种装法，第二只球有N-1种装法，……，第n只球有N-n+1种，故N(A)=N(N-1)…(N-n+1),于是解：设A为每个盒子至多装一只球，将n只球随机地装入N个盒子中去，问每个盒子至多装一只球的概率（设盒子容量不限,n≤N）.例1.n只球随机地装入N个盒子共有2023/4/135事件A的取法共有种，于是所求概率为不放回地抽取15件样品共有种取法，设事件A表示“取出的15件样品中恰有2件次品”,解：例2.设一批产品共100件,其中共有95件正品和5件次品,从中任取15件，求其中恰有2件次品的概率。2023/4/136例3.袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球，(1)作放回抽样；(2)作不放回抽样求第i(i=1,2,…,)人取到白球(记为事件B)的概率（设k≤a+b）.2023/4/137第五节条件概率条件概率是概率论中的一个重要概念，什么是条件概率？同时，我们将发现它也是用来计算复杂模型中概率的重要工具。2023/4/1382023/4/1310例掷一骰子一次，设事件A为得到奇数点，事件B为点数小于等于3。若已知点数小于等于3，求其为奇数点的概率。事件B事件A解设A={得到奇数点}，B={点数小于等于3}样本空间缩减为B2.条件概率的定义为事件B已发生的条件下事件A发生的条件概率.设A与B是E的随机事件,若P(B)>0,则称2023/4/1312Samplespace

ReducedsamplespacegiveneventB条件概率

P(A|B)的样本空间2023/4/1313条件概率也是概率,故具有概率的性质：

非负性

归一性

可加性

监狱看守通知三个囚犯,在他们中要随机地选出一个处决,而把另外两个释放.囚犯甲请求看守秘密地告诉他,另外两个囚犯中谁将获得自由.因为我已经知道他们两人中至少有一人要获得自由，所以你泄露这点消息是无妨的.甲如果你知道了你的同伙中谁将获释，那么，你自己被处决的概率就由1/3增加到1/2,因为你就成了剩下的两个囚犯中的一个了.乙丙NO！二、概率乘法公式概率的乘法定理：对事件A和B，若P(B)>0,则或若P(A)>0

,则

乘法公式还可推广到三个事件的情形：

P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).

一般地，有下列公式：

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).

2023/4/1317(2)求这件次品在第3次检验时得到的概率。1件次品与4件正品混在了一起，需要逐个进行检验将次品找出来。（1）求至少需要检验3次才能找出这件次品的概率；例.解：设A表示至少需要检验3次才能找出这件次品Bi表示“第i次检验时得到正品”,2023/4/1318A三、全概率公式与贝叶斯公式B1B2B3…Bi…Bn2023/4/1319如图AB1B2B3…Bi…Bn化整为零各个击破2023/4/13202023/4/1321以上这类问题在医药领域相当重要，显然，甲的可能性要大得多，因为甲产量多，次品率也高。

实际上因为人们常常需要从诊断的结果来寻找真正的原因。2023/4/1322贝叶斯公式(或逆概率公式)AB1B2B3…Bi…Bn2023/4/1323例:GRS是家高科技公司,有十名行政主管人员。其中一人正在向GRS的竞争对手泄漏信息。你作为（公司）保安部门的首脑，随机选择一名行政主管并要求他接受彻底的调查。

根据过往的经验估计,在说谎的人中有5%通过检查,在诚实的人中有1%未通过检查.

假如被选中的主管通过了检查，这名主管就是泄密者的概率是多少？令 A--

被选中的主管是泄密者;

B--

被选中的主管通过了检查.解已知由全概率公式由Bayes公式先验概率 P(A)=0.1后验概率

P(A|B)=0.0056注意行刺美国总统里根案

1981年3月30日，美国总统里根在华盛顿希尔顿饭店召开一次劳工集会上发表演讲后遭到枪击胸部受伤，同行的白宫新闻秘书詹姆斯.布雷迪、一名华盛顿当地警察及一名联邦特工也在枪击中受伤。行刺的枪手是25岁的科罗拉多州失业青年Hinckley。1982年审判他时，Hinckley以精神病为理由作为其无罪的辩护。在18个医师中作证的医师Danial，他告诉法院当给被诊断为精神分裂症的人以CAT扫描时，扫描显示30%的案例为脑萎缩，而给正常人以CAT扫描时，只有2%的扫描显示脑萎缩。Hinckley的辩护律师试图拿他的扫描结果为依据，争辩说因Hinckley的扫描展示了脑萎缩，他极有可能患有精神病，从而免于收到法院的起诉。2023/4/1326行刺美国总统里根案案例分析：令A=｛该人是精神病患者},B=｛该人CAT扫描为脑萎缩｝，根据医学资料知一个国家所以人群中，得精神病的比例比较低因Hinckley已扫描为脑萎缩，要判断他是精神病人的概率多大，即计算P（A|B）根据贝叶斯公式2023/4/1327肝癌普查问题甲胎蛋白免疫检测法(简称AFP法)被普遍应用于肝癌的普查和诊断。设A={肝癌患者},B={AFP检验反应为阳性};由过去的资料已知：假阳性率又已知在人群中肝癌的发病率为今有一人AFP检测为阳性,现问该人患肝癌的可能性有多大？真阳性率解：由全概率公式知2023/4/13282023/4/1329第六节随机事件的独立性一、事件相互独立1.问题的引入设A，B是试验E的两事件，现比较P(A|B)与P(A).一般地,P(A|B)

≠P(A).只有B的发生对A发生的概率无影响，才会有P(A|B)

=P(A),若P(B)>0，可定义这时有2023/4/13292023/4/1330对任意两个随机事件A与B,则称事件A与事件B相互独立

(简称为独立).若2.两事件的独立定义.容易证明，若P(A)>0,P(B)>0,则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立的.注：

独立与互不相容的关系2023/4/13302023/4/1331定理1

若事件A与B相互独立，且P(B)>0,则定理2若事件A与B相互独立，也相互独立.则下列各对事件P(A|B)

=P(A).反之亦然.推论：若这四对事件中,只要有一对独立，则其余三对也独立.证明2023/4/13312023/4/1332只证事件从而由此得因为证明:AB2023/4/13322023/4/1333

例2:一个均匀的正四面体,其第一面染成红色，第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以A,B,C分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问A，B，C是否两两独立?并验证P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立？解:由于在四面体中红、白、黑分别出现两面,

因此又由题意知伯恩斯坦反例2023/4/13332023/4/1334故有则三事件A,B,C两两独立.且2023/4/13342023/4/13353.多个事件的独立性定义2.设三个事件A、B、C，如果满足下述等式P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A、B、C相互独立.注：3个事件相互独立3个事件两两独立（两两独立）2023/4/13352023/4/1336n个事件的独立性设有n个事件若其中任意k个事件有则称这n个事件相互独立.n个事件相互独立需要证多少个等式？注：n个事件相互独立n个事件两两独立定义2.2023/4/13362023/4/1337则其中任意性质：相互独立，1.设n个事件2.若n个事件A1,A2,…,An(n≥2)相互独立，则将A1,A2,…,An中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立.个事件也是相互独立.2023/4/13372023/4/1338甲获胜至少需比赛3局，且最后一局是甲胜，而前面甲需胜二局。由独立性得甲获胜的概率为例.甲乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为p，p≥1/2.问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利.设各局胜负相互独立.解:采用三局二胜制，甲获胜的情况：甲甲，乙甲甲，甲乙甲（互不相容）由独立性得甲获胜的概率为采用五局三胜制，2023/4/13382023/4/1339例.某一治疗方法对一个患者有效的概率为0.9.今对3个患者进行了治疗，求对3个患者的治疗中，至少有一人是有效的概率.设对各个患者的治疗效果是相互独立的。解:设A表示对3个患者的治疗中，至少有一人是有效的Ai表示对第i个患者的治疗是有效的，故所求概率2023/4/1339条件概率、概率乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式的关系：条件概率乘法公式全概率公式

贝叶斯公式2023/4/1340内容小结1.会计算古典概型的概率;2.理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式，并能应用这些公式进行概率计算.3.掌握事件的独立性，并能应用它计算概率.2023/4/1341作业习题一（P23）：8、9、12、13、15、182023/4/1342备用题1.

鞋子配对问题取走两只,求下列事件的概率.(1)每人取走的鞋恰为一双的概率;(2)每人取走的鞋不成一双的概率.解

设第一个人从2n只中取任取2只,第2个人从2n-2只中任取2只,…,第n个人取走最后2只.有n双不同的鞋混放在一起,有n个人每人随机2023/4/1343(1)每个取走一双鞋的事件数为于是依乘法原理,基本事件的总数为2023/4/1344因为第一个人可以从n只右脚鞋中取一只,又可以从n只左脚中取一只(只要2只鞋不成双),其余类推.于是(2)每个人取走的2只鞋都不成双的事件数为(n!)2.2023/4/13452.生日问题全班共有学生30人，求下列事件的概率：(1)某指定30天，每位学生生日各占一天；(2)全班学生生日各不相同；(3)全年某天恰有二人在这一天同生日；(4)至少有两人的生日在10月1日.解日房，N=365(天),2023/4/1346(1)A=“某指定30天，每位学生生日各占一天”,(2)设B=“全班学生生日各不相同”,(3)设C=“全年某天恰有二人在这一天同生日”,2023/4/1347(4