莫尔圆应力分析

同學複習囉問題1一般常見應力狀態分成哪幾種？第一页，共28页。应力状态分析1.单轴应力状态：单轴压缩

单轴拉伸

2.双轴应力状态：双轴拉压

平面应力3.三轴应力状态：XY第二页，共28页。單軸應力狀態θθσθτθ垂直面受力(a)斜截面受力(b)PPPPPP(a)(b)第三页，共28页。單軸應力分析--垂直面物體垂直斷面承受一拉力第四页，共28页。單軸應力分析-斜截面P於斜截面上可分解為：正交力N=Pcosθ剪力V=Psinθσθ=N/A=Pcosθ/A=P/Acos2θτθ=V/A=Psinθ/A=P/2Asin2θ斜截面上承受一拉力第五页，共28页。單軸應力分析最大正交應力θ=0°σθ=P/A*cos0°=P/A=σ最小正交應力θ=90°σθ=P/A*cos90°=0最大剪應力θ=45°τθ=P/A*sin2x45°=1/2σ第六页，共28页。雙軸應力狀態第七页，共28页。正負符號判斷+-第八页，共28页。雙軸應力—垂直面最大正交應力σ1=σx

σ2=σy最大剪應力τ=1/2(σx-σy)第九页，共28页。雙軸應力分析破壞面上正交應力σθ=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)cos2θ破壞面上剪應力τθ=1/2(σx-σy)sin2θ第十页，共28页。雙軸應力---斜截面最大正交應力θ=0°σmax=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)cos0°=σxτ=0最小正交應力θ=90°σmin=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)cos90°=σyτ=0最大剪應力θ=45°τmax=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)sin90°=1/2(σx-σy)

第十一页，共28页。平面應力----純剪當σx=-σy則σθ=1/2(σx-σx)+1/2(σx+σx)cos90°

=0

τθ=1/2(σx-σx)+1/2(σx+σx)sin90°=1/2σx(0,τ)σy第十二页，共28页。應力分析第十三页，共28页。莫爾圓應力分析名詞解釋σθ:與垂直面夾θ之平面上之正向應力τθ:與垂直面夾θ之平面上之剪應力σ1:最大主應力σ2:最小主應力τmax:最大剪應力τσ(σy,τ)(σx,τ)σ1σ2(0,τmax)(σθ,τθ)2θxyθ第十四页，共28页。莫爾圓作圖程序1.作之直角座標軸2.X方位之及為A點

y方位之及為B點3.標示AB兩點於座標軸上4.通過AB兩點畫圓AB連線過水平軸點即為圓心(C,0)

即xyσX(C,0)第十五页，共28页。莫爾圓作圖步驟xyθ5.以A座標點旋轉2θ，

得E點，此極為θ平面上之正向應力與剪應力(σθ

,τθ)6.σ1=C+R

σ2=C-R2θσxσ2R第十六页，共28页。莫爾圓應力分析1.畫平面座標，以σ為X軸，τ為Y軸。

2.圓心為1/2(σx+σy)=(C,0)

3.半徑為1/2(σx-σy)=R

4.其與莫爾圓的交點座標即為（σθ，τθ）5.最大剪應力=莫爾圓半徑(R)6.最大剪應力面與主平面夾4507.最大正交應力θ=0°σmax=C+R8.最小正交應力θ=90°σmin=C-R9.最大剪應力θ=45°τmax=RRCRσ1σ2第十七页，共28页。莫尔圆应力分析优点1.应力分析视觉化。2.σ1,σ2可以简单之加减法求得。3.(σθ,τθ)可以三角函数求得。4.没有公式之背诵错误困扰。第十八页，共28页。同學練習囉問題2如下圖，利用模具，練習莫爾圓的作圖程序，求σ1、σ2及τmax。(A)(B)(A)(B)στ第十九页，共28页。單軸應力分析如圖所示，一矩形斷面兩端受1000kg之拉力，其斷面為4cmx5cm，

。試以1.公式解2.莫爾圓求：

(1)θ=450°時之σn，τ各為多少?

(2)最大剪應τmax為多少？(3)σ1，σ2各為多少？4501000kg1000kg第二十页，共28页。公式解4501000kg1000kg第二十一页，共28页。莫尔圆解(50,0)圆心坐标=1/2(50+0)=25(σ,τ)=(25,0)

(σθ,τθ)σ1=50r=252θ=900στ(25,0)半径r=1/2(50-0)=251.σθ=25(kg/cm2)τθ=25(kg/cm2)2.σ1=50(kg/cm2)

σ2=0(kg/cm2)

τmax=25(kg/cm2)σx=1000/(4x5)=50σxσxθ=450第二十二页，共28页。雙軸應力分析如圖所示σx=400kg/cm2，σy=200kg/cm2。試求：

(1)θ=30°時之σn，τ各為多少?

(2)最大剪應τmax為若干？

1.公式解2.莫爾圓θσx=400kg/cm2

σy=200kg/cm2第二十三页，共28页。平面應力公式解σθ=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)cos2θ=1/2(400+200)+1/2(400-200)cos(2x30°)=350(kg/cm2)τθ=1/2(σx-σy)sin2θ=1/2(400-200)sin(2x30°)=50√3(kg/cm2)θ=45°τmax=1/2(σx-σy)=1/2(400-200)=100(kg/cm2)θ=300200400σxσy第二十四页，共28页。莫爾圓解圓心座標=1/2(400+200)=300(σ,τ)=(300,0)2.最大剪應力

θ=45°τmax=r=100(kg/cm2)θ=300=400=200=3002θ=600(350,50√3)στ半徑r=1/2(400-200)=100

1.σn=300+100cos60°=350(kg/cm2)τ=100sin60°=50√3(kg/cm2)(300,0)200400第二十五页，共28页。平面應力分析例題10(kg/cm2)50(kg/cm2)10(kg/cm2)50(kg/cm2)40(kg/cm2)xy如下圖所示之平面應力元件σx=50kg/cm2，σy=10kg/cm2，τxy=40kg/cm2。試以1.公式解2.莫爾圓求：

(1)θ=30°時之σn，τ各為多少?

(2)最大剪應τmax為多少？(3)σ1，σ2各為多少？

第二十六页，共28页。公式解σn=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)cos2θ-τxysin2θ=1/2(50+(-10))+1/2(50-(-10))cos2x30°-40sin2x30°=0.359(kg/cm2)τ=1/2(σx-σy)sin2θ+τxysin2θ

=1/2(50-(-10))sin2x30°-40sin2x30°=45.981(kg/cm2)θ=45°τmax=(kg/cm2)θ=300401050第二十七页，共28页。莫爾圓解2.最大剪應力

θ=45°τmax=r=50(kg/cm2)σ1=20+50=70σ2=20-50=-30

θ=300=20(50,40)(10,40)σ2=30σ1=702θ=600α=53.130r=50