中考初中数学必考重难点：规律探究问题-专练详解

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中考初中数学必考重难点：规律探究问题■■专练详解

一、选择题

1.下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90。得到，第2019个图案中箭头的指向

是（）

OGOGOO••…

A.上方B.右方C.下方D.左方

【答案】C

【解析】如图所示：每旋转4次一周，2019+4=504...3,

则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方.

故选：C.

2.对于题目：“如图1,平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转

（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数机"甲'乙、丙作了自认为

边长最小的正方形，先求出该边长K再取最小整数

甲：如图2,思路是当d矩形对角线长时就可移转过去；结果取〃=13.

乙：如图3,思路是当协矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取"=14.

丙：如图4,思路是当小矩形的长与宽之和的三机倍时就可移转过去；结果取13.

下列正确的是（）

口X百X巨X

图16

图2图3图4

A.甲的思路错，他的“直对

B.乙的思路和他的〃直都对

C.甲和丙的内直都对

D.甲、乙的思路都错，而丙的思路对

【答案】B

【解析】甲的思路正确,长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为〃=14:

乙的思路与计算都正确；

乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；

故选：B.

3.如图，在平面直角坐标系中，点4、4、4...4^x轴上，氏、咳、％…%在直线¥=喙*上，若4（L

0）,且△48/2、…△AAAHI都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记

为、、则与可表示为（）

SXSi...Sn.

A.2^3B.2^173C.2asD.22c.M

【答案】D

【解析】

,••△484、…△45房田都是等边三角形，

4,BJ/A^//A^//...//Arfin.B、AH除川BMI…H△48滴2、△4刍4…储田都

是等边三角形，

•.•直线y=返*与H由的成角48QA=30°,4。43=120°,

3

..•KOBA：30°,

••OAy—AyB\,

,:4(1,0),

-1,

同理乙。的4:30。，…，Z.OSzr4n=30°,

n

.4*B2A2-OA2~2,834:4,...,B^n-2\

易得Z.08d2=90。，…，Z.O874H=90。，

••^1^2=V3.B2B2=2y/3,»BrPm、=2N^,

.-.S.rl.x1x73=2/35i=1x2x273=2V3，…，5=工'2"-仪2/=22n

22224VJ

故选：D.

4.如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为12伊的AB多次复制并首尾

连接而成.现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒2"米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点

3

P的纵坐标为（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】点运动一个AB用时为它镰2+：；:=2秒.

如图，作CD±阳于D.与AB交于点E.

在RtAACD中，•「_ADC=90°.-ACD=-_ACB=6（y.

2

._GAD=30\

CD=-AC=-x2=1,

22

DE=CE-CD=2-1=1,

.・第1秒时点P运动到点E,纵坐标为1；

第2秒时点P运动到点8,纵坐标为0;

第3秒时点P运动到点F,纵坐标为-1;

第4秒时点P运动到点G,纵坐标为0；

第5秒时点P运动到点H,纵坐标为1;

.•点P的纵坐标以1,0,-1.0四个数为一个周期依次循环.

,20194-4=504.3.

.第2019秒时点P的纵坐标为是-1.

故选：B.

5.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形048c绕点。顺时针旋转45。后得到正方形O48G,依

此方式，绕点。连续旋转2019次得到正方形O4oi9%19Goi9,那么点4。19的坐标是（）

【答案】A

【解析】••四边形048谓正方形,且02:1,5

•♦/（0.1）,

.•将正方形88c绕点。逆时针旋转45。后得到正方形O48G,

（冬乎）,4（1,0）,4（享-争一…

发现是8次一循环，所以2019+8=252…余3.

1•点々2019的坐标为

故选：A.

6.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上一向右，向下，向右”的方

向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点41,第二次移动到点4

2……第Z7次移动到点2o,则点4o19的坐标是（）

4144。494。

1-------------------------------*1-----------------------------

0AyA4A7AtA12x

A.(1010,0)B.(1010,1)C.(1009,0)D.(1009,1)

【答案】C

【解析】4(0,1),A2(1,1),4(1,0),AA(2,0),As(2,1),A6(3.1)，…,

2019+4=504…3,

所以4oi9的坐标为（504x2+1,0）,

则人刈9的坐标是（1009,0）.

故选：C.

7.按一定规律排列的单项式：*3,一2，*7,一*，刈，....第狂单项式是（）

A.(-1)〃a”1B.(-1)耍1

C.(-1)“一叱1D.(-1)"必mi

【答案】A

【解析】：X3=(-1)131”,

-*=(-1)2*2*2+1,

87=(-1)3

*=(-1)…

X11=(.1)51Z2«5*1

由上可知，第〃个单项式是：（-1）〃Bel,

故选：A.

8.如图，过点4）（0,1）作必由的垂线交直线/:"=零”于点4,过点4作直线处）垂线，交库于点41,过点

4作其由的垂线交直线/于点43,…，这样依次下去，得到△444,△444,△工4446，…，其面积分别

记为5,£,则So。为（）

100

100B.(3V3)C.3心率99

2

【答案】D

【解析】•.,点儿的坐标是(0.1),

.•点4在直线y=

OAy-2,AQA\-V3»

OA2-4.

••。工3—8,

•e•OA^=16,

得出。4户2%

..•4AHI=2〃5,

.,.04)98=2198,4984199M2"•炎,

■■-51=1(4-1)V3=-|-V3,

・44〃^200^199»

△>4Q>4]^2W'△H19/l994200,

.,.S=2»6-岑^=3^X2395

故选：D.

9.如图，在△<?力冲，顶点0(0,0),4(-3,4),6(3,4),将△043与正方形A8C0组成的图形绕点。

顺时针旋转，每次旋转90。，则第70次旋转结束时，点。的坐标为()

A.(10,3)B.(-3,10)C.(10,-3)D.(3,-10)

【答案】D

【解析1(-3,4),8(3,4),

,.AB-3+3=6,

.・四边形45曲正方形，

..4D=4S=6,

.♦・。(-3,10),

-,-70=4x17+2.

•.每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△048与正方形工8sg成的图形绕点。顺时针旋转2次,

每次旋转90。，

..点。的坐标为(3.-10).

故选：D.

10.如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：

①将正方形纸片四角向内折总，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉;

②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）

【答案】C

【解析】正方形纸片四角向内折通，使四个顶点重合.展开后沿折痕剪开,

第一次：余下面积

第二次：余下面积％.，

第三次：余下面积

JQ□

当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为2201g二糖了,

故选：C.

二、填空题

11.在平面直角坐标系中，直线/:与必由交于点4,如图所示，依次作正方形O48G,正方形G4&

G,正方形G4383Q,正方形Q/d&O,.......，点4,4，4，4,在直线/上，点G,Gz,G，C

在X轴正半轴上，则前"个正方形对角线长的和是.

【答案】加(2〃-1)

【解析】由题意可得，

点4的坐标为(0,1),点人的坐标为(1.2)，点4巡)坐标为(3,4),点4的坐标为(7.8)..........

OAy-1,G4=2,G4:4,-8,,

前归正方形对角线长的和是：V2(O4+GA2+G4+34+…+GMJ=V2(1+2+4+8+...+2”F,

设S=1+2+4+8+...+2〃I则25=2+4+8+...+2"

则2S-S=2^-1,

••・5=2〃-1,

•F+2+4+8+...+2”i=2〃-1,

.•前个正方形对角线长的和是：V2x(2〃-1),

故答案为：血

12.如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O,它们的半径分别为1,2,3,

按照“加1”依次递增；一组平行线，4),/],k4…都与必由垂直，相邻两直线的间距为/,其中4)与N轴重合若

半径为2的圆与《在第一象限内交于点半径为3的圆与&在第一象限内交于点巳，…，半径为小的圆与。

在第一象限内交于点2,则点B的坐标为.(〃为正整数)

i0/,%%%

/

【答案】（n.v2i7TT）

【解析】连接。月1,OP2,OP3,/1.4.4与X轴分别交于4、41、A3,如图所示：

在RtzXOAPi中，04=1,0^=2,

'''"产JOPJ-OAJ=y]22-12=炳'

同理:AFi-yj32-22=V5.A2P3-yj42-32=V7.....

的坐标为（1,5）,8的坐标为（2,遥），93的坐标为（3,V7）.....

…按照此规律可得点礴坐标是（“，也"1）2_.）.即（〃，—r）

故答案为：（〃，国K）.

13.如图.由两个长为2,宽为1的长方形组成“7"字图形。

（1）将一个"7"字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF,其中顶点A位于x轴上，

顶点B,D位于y轴上，。为坐标原点，则二的值为_____.

OA

（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个"7"字图形得顶点曰，摆放第三个“7”字图形得顶点Fz，依此类

推，…，摆放第3个“7”字图形得顶点F〉】，…，则顶点FZOK的坐标为.

【答案1(1)；(2)(史簪,405石)

【解析】⑴依题意可得，CD=1,CB=2

VZBDC+Z.DBC=9O°.Z,OBA+Z.DBC=90°

.•.Z-BDC=Z.OBA

XZDCB=Z.BOA=90°

•••△DCB-△BOA

DC

ACB

根据题意标好字母，如图所示

依题意可得CD=1,CB=2,BAf.BD八二

DC口_

由(1)知而,/.OB=~,OA=265

易得AOAB-△GFA-△HCB

..BH;।,CH=2府,AG-、砧,FG一15

g

rr

二.OH：+5=V»tOG=3g5+2v^»=＞有

AC（2而,、行）.F（rM,6-5）

:由点C到点F横坐标熠加了E，纵坐标增加了»

__/

A,Fn（%n6—5+5n）

•下2019（展+3廊X2019,6、下5+5X2019）

即F2019（而西布，405时）

14.如图，在矩形ABCD中，AB=8t8c=4,一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子

第一次与矩形的边碰捅，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入

射角都等于45。，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后，则它与AB边的碰撞次数是一.

［答案］672

【解析】如图,

根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点(6.0),且每次循环

它与AB边的碰撞有2次，

,2019-6=3363,

当点P第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P的坐标为(6.4)

它与AB边的碰撞次数是=336・2=672次.故答案为672

15.正方形,ABzGA，AB'GA，按如图所示的方式放置,点A，A，A，和点B,,司，

4,…分别在直线y=kx+b(k>0)和X轴上.已知点A(Q1)，点B,。，。)，则G的坐标是—.

【答案)(47,16)

【解析】由题意可知A纵坐标为1.A的纵坐标为2,A的纵坐标为4,A的纵坐标为8——

:4和0,A和Cz，A和G，A和Q的纵坐标相同.

q.C2,C3.C4,G的纵坐标分别为1,2.4,8,16,…

根据图象得出c(21).C2(5.2),C,O1.4).

/.直线GG的解析式为y=；x+；.

A的纵坐标为16,

.G的纵坐标为16,

把y=16代入y=；x+；,解得x=47.

的坐标是(47.16),

故答案为(47,16).

三、解答题

16.

(1)阅读理解

如图，点Z,8在反比例函数y二1的图象上，连接28取线段公8的中点C.分别过点C,8作x轴的垂线,

x

垂足为E,F,G,CF交反比例函数y=上的图象于点。.点E,F,G的横坐标分别为”-1,n,m1

X

小红通过观察反比例函数y=工的图象，并运用几何知识得出结论：

X

AE+BG=2CF,CF>DF

由此得出一个关于2,之间数期关系的命题：

n-1n+1n

若则.

(2)证明命题小东认为：可以通过“若a-b>0,则a2//的思路证明上述命题.

小晴认为：可以通过“若8>0,b>0,且则aM6”的思路证明上述命题.

请你选择一种方法证明(1)中的命题.

｛解析】(1),,•4E+8G=2CF,CF>DF,4£=_!_,BG=-^~,DF=1,

n-1n+1n

.1,1,2

n-1n+1n

故答案为：」_+」—>2.

n-1n+1n

oo2

方法一

(2),-,­1u.1_2-n+n+n-n-2n+2=2

n-1n+1nn(n-l)(n+1)n(n-l)(n+1)

vn>1,

An(n-1)(^-1)>0,

•1-12>c

n-1n+1n

.—1、2

n-1n+1n

4-U-2

方法二：,•,n-1n+1—>1,

一n-1

n

.1q1>2

n-1n+1n

17.

(1)方法选择

如图①，四边形ABCD是。。的内接四边形，连接AC,BD,AB=BC=AC.求

证:BD=AD+CD.

小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM=AD,连接AM...

小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN=AD...

请你选择一种方法证明.

(2)类比探究

探究1

如图②，四边形ABCD是。。的内接四边形，连接AC,BD,BC是。。的直径,

AB=AC.试用等式表示线段AD,BD,CD之间的数量关系，井证明你的结论.

探究2

如图③，四边形ABCD是。。的内接四边形，连接AC,BD.若BC是。。的

直径，NABC=30°,则线段AD,BD,CD之间的等量关系式是________.

(3)拓展猜想

如图④，四边形ABCD是。。的内接四边形，连接AC,BD.若BC是。。的

直径,BCAC:AB=a:b:c,则线段AD,BD,CD之间的等量关系式是

【解析】(1)方法选择：'.AB=BC=AC,「.NACB=zABC=60°,

如图①，在BD上截取DEMAD,连接AM,-.zADB=zACB=60°,

等边三角形，

：.AM-AD,

t：LABM-L.ACD、

,工AMB=LADC=120。，

：.LABM^/\ACD(AA^,

：BM-CD,

•.BD-BM+DM：CD^AD\

(2)类比探究：如图②，

「80。的直径，

.'.^BAC=9Q0,

,：AB-AC,

.\LABC=Z-ACB=45°t

过4作AD^BDfM,

：JADB二乙4c8=45°,

•••△4。苗是等腰直角三角形,

：.AM=AD,LAMDS、

：.DM-42AD,

LADC-y35°,

♦；LABM:乙ACD、

：,^ABM^^ACD(AAS],

：.BM-CD,

・•,BD=BM+DM=Cg®AD;

探究2如图③，..若8谓沁*直径，448