中考数学复习专题讲座2：新概念型问题(含答案)

2013年中考数学专题讲座二：新概念型问题

一'中考专题诠释

所谓新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运

算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移

的一种题型.新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点•在复习中应重视

学生应用新的知识解决问题的能力

二'解题策略和解法精讲

新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；

二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移.

三、中考典例剖析

考点一：规律题型中的新概念

例1（2012?永州）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，女口1.3:9,19,33.…

就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，

那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差.女口2,4,6,8,10就

是一个等差数列，它的公差为2.如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是

等差数列，则称这个数列为二阶等差数列.例如数列1,3,9,19,33,-＞它的后一个数

与前一个数的差组成的新数列是2,6,10,14,…，这是一个公差为4的等差数列，所以，

数列1,3,9,19,33.…是一个二阶等差数列.那么，请问二阶等差数列1.3.乙13.…

的第五个数应是

思路分析：由于3-1=2,7-3=4,13-7=6,-＞由此得出相邻两数之差依次大2,故13的后

一个数比13大&

解答：解：由数字规律可知，第四个数13,设第五个数为x,

则x-13=8-解得x=21，即第五个数为21,

故答案为：21.

点评：本题考查了数字变化规律类问题.关键是确定二阶等差数列的公差为2.

对应训练

1

1.（2012?自贡）若x是不等于1的实数，我们把一一称为x的差倒数，如2的差倒数是

1X

1111

=-1,-1的差倒数为=，现已知Xlh,X2是X1的差倒数，X3是X2的差

121（1）23

倒数,乂4是X3的差倒数....依次类推，则X2012=

考点二：运算题型中的新概念

例2（2012?荷泽）将4个数a,b,C,d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成

八bX11X

概念上述记号就叫做阶行列式.若

=ad-bc,2=8,贝yx=

d1XX1

思路分析：根据题中的新概念将所求的方程化为普通方程,整理后即可求出方程的解，即为

X的值.

x11X

(X+1)2-(1-X)2=8,

解：根据题意化简=8,得:

1XX1

1

整理得：x2+2x+1-(1-2x+x2)-8=0，即4x=8,

解得：x=2.

故答案为：2

点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合

并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键.

对应训练

2.(2012?株洲)若(X1,yi)?(X2,y2)=xix2+yiy2,则(4,5)?(6.8)=.

考点三：探索题型中的新概念

例3(2012?南京)如图，A、B是。。上的两个定点，P是。。上的动点(P不与A、B

重合)、我们称/APB是。O上关于点A、B的滑动角.

(1)已知/APB是0。上关于点A、B的滑动角，

①若AB是0。的直径，则/APB=

②若0。的半径是1,AB=「，求/APB的度数；

(2)已知02是。01外一点，以02为圆心作一个圆与。01相交于A、B两点，/APB是001

上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交002于M、N(点M与点A、点N与点B均不重

合)，连接AN＞试探索/APB与/MAN、/ANB之间的数量关系.

思路分析：(1)①根据直径所对的圆周角等于90。即可求解；

②根据勾股定理的逆定理可得/A0B=90。再分点P在优弧4■上;点P在劣弧「，上两种情况讨论

求解；

(2)根据点P在。01上的位置分为四种情况得到/APB与/MAN、/ANB之间的数量关系.

解：(1)①若AB是00的直径，则/APB=90.

②如图，连接AB、0A、0B.

在ZAA0B中，

•/0A=0B=1,AB=一】，

222

•••0A+0B=AB.

•••/AOB=90“

-■1

当点P在优弧"上时，/APIB=-；/AOB=45

—■1

当点p在劣弧「I上时，/AP2B=：(360°-/AOB)=1356-分

2

(2)根据点P在。。上的位置分为以下四种情况.

第一种情况：点P在。02夕卜，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①

•IIMAN=/APB+/ANB,

2

•••/APB=/MAN-/ANB:

第二种情况：点P在。02外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图

②.

•//MAN=/APB+/ANP=/APB+(180<■-/ANB),

•/APB=/MAN+/ANB-180

第三种情况：点p在。02夕卜，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图

③•

•••/APB+/ANB+/MAN=180°

•/APB=180-/MAN-/ANB.

第四种情况：点P在。02内，如图④，

/APB=/MAN+/ANB.

点评：综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，注意分

类思想的运用.

对应训练

3.(2012?陕西)如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a工0与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点

和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的抛物线三角形”.

(1)抛物线三角形”-三角形；

(2)若抛物线y=-x2+bx(b>0)的抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；

(3)如图，△0AB是抛物线y=-x2+b，(b>0)的抛物线三角形”，是否存在以原点0为对称中心

的矩形ABCD?若存在，求出过0、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说

明理由.

3

考点四：开放题型中的新概念

例4(2012?北京)在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点R(Xi,y。与P2(X2,y2)

的非常距离”，给出如下概念：

若凶必|>1灯2],则点R与点P2的非常距离"为|X『X2|；

若M-X21VWy2|,则点P与点P2的非常距离"为|yi-y2|.

例如：点P(l,2),点P2(3,5),因为『3|v|2-5],所以点PI与点P2的非常距离”为|2-5|=3,也就是图

I中线段PiQ与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线PiQ与垂直于X轴的直线P2Q交

点).

1

(1)已知点A(^—,0),B为y轴上的一个动点，

2

①若点A与点B的非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标；

②直接写出点A与点B的非常距离”的最小值；

3

(2)已知C是直线y=-x+3上的一个动点,

4

①如图2，点D的坐标是(0,I),求点C与点D的非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；

②如图3,E是以原点。为圆心，I为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的非常距离”

的最小值及相应的点E与点C的坐标.

思路分析：。)①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为(0.y).由非常距离”的概念可以确定

|0-y|=2,据此可以求得y的值；

一iI

②设点B的坐标为(0,y).因为卜一-0|》韧，所以点A与点B的非常距离”最小值为卜一-0|=

4

22

1

2

3

(2)①设点C的坐标为(xo,_xo+3),根据材料^Xi-X2|>iyy2|，则点Pi与点P2的非常

4

3

距离”为凶必|知，C、D两点的非常距离”的最小值为-x°=-Xo+2，据此可以求得点C的

4

坐标；

3

②当点E在过原点且与直线y=-x+3垂直的直线上时，点C与点E的非常距离”最小，即

4

34

E(-,-).解答思路同上.

55

解：(1〔①：B为y轴上的一个动点，•••设点B的坐标为(0,y).

,11

•••|-------_0|=_工2

22

,|o-y|=2,

解得，y=2或y=-2；

•••点B的坐标是(0,2)或(0,-2)；

1

②点A与点B的非常距离”的最小值为一；

2

3

(2)©…C是直线y=x+3上的一个动点,

4

3

•设点C的坐标为(X。，—Xo+3),

4

3°

••--Xo=-Xo+2,

4

8

此时,Xo=-,

7

•••点C与点D的非常距离”的最小值为：8,

7

815

此时C(—;

5

77

②E(-3,-).

45

334

------Xo=-Xo+3-

545

6

解得,Xo=-,

5

9

则点C的坐标为

55

最小值为1.

点评：本题考查了一次函数综合题.对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件•本

题中的非常距离”的概念是正确解题的关键.

对应训练

4.(2012?台州)请你规定一种适合任意非零实数a.b的新运算''ab”，使得下列算式成立：

1®2=2®1=3,(-3)®(-4)(-4)1"-3)=-：、(-3)©5=5®(.3)=_£

15

你规定的新运算a®b=(用a.b的一个代数式表示)

考点五：阅读材料题型中的新概念

例5(2012?常州)平面上有两条直线AB、CD相交于点O,且/BOD=150(如图)，现按如下要

求规定此平面上点的距离坐标”：

(1)点。的距离坐标"为(0,0)；

(2)在直线CD上，且到直线AB的距离为p(p>0)的点的距离坐标”为(p,0);在直线

AB±.且到直线CD的距离为q(q>0)的点的距离坐标”为(0,q);

(3)到直线AB、CD的距离分别为p,q(p>0,q>0)的点的距离坐标"为(p,q).

设M为此平面上的点，其距离坐标”为(m,n),根据上述对点的距离坐标”的规定，解决下列问

题：

(1)画出图形(保留画图痕迹)：

①满足m=1，且n=0的点M的集合；

②满足m=n的点M的集合；

(2)若点M在过点O且与直线CD垂直的直线I上，求m与n所满足的关系式.(说明：图中OI

思路分析：(1)①以O为圆心，以2为半径作圆，交CD于两点，则此两点为所求：②分别作/

BOC和/BOD的角平分线并且反向延长，即可求出答案；

(2)过M作MN1.AB于N，根据已知得出OM=n,MN=m>求出/NOM=6，根据锐角

MNm

三角函数得出sin60°……-=>求出即可.

OMn

7

・/M的距离坐标”为(m,n),

•••OM=n,MN=m.

•••/BOD=150>直线l±CD,

•••/MON=150-9060

在RtAMON中，sin60MN=m,

OMn

即m与n所满足的关系式是：m=——n.

2

点评：本题考查了锐角三角函数值，角平分线性质，含30度角的直角三角形的应用，主要

考查学生的动手操作能力和计算能力，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.

对应训练

5.(2012?钦州)在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点(x,y),若规定以下两种变换：

①f(X,y)=(y,X).如f(2,3)=(3,2);

②g(X,y)=(-x,-y),如g(2,3)=(-2.-3).

按照以上变换有：f(g(2,3))=f(-2,-3)=(-3,-2),那么g(f(-6,7))等于()

A.(乙6)B,(7,-6)C.(-7,6)D.(-7,-6)

四、中考真题演练

、选择题

8

1.(2012?六盘水)概念：f(a,b)=(b.a),g(m,n)=f-m,-n).例如f(2,3)=(3,

2),g(-1,-4)=(1,4).则g［f(-5,6)］等于()

A.(-6,5)B.(-5,-6)C.(6,-5)D.(-5,6)

2.(2012?湘潭)文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出

的数比输入的数的平方小1-若输入J7，则输出的结果为()

A.5B.6C.7D.8

点评：本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键.

3.(2012?丽水)小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围城三角形，其棵数

3,6,9,12,…称为三角形数.类似地，图2中的4,8.12,16,…称为正方形数.下列数中既是三

角形数又是正方形数的是()

D.2016

二、填空题

高(如2?常规定用符号示加］表个实数m的整数部分，例如：2

巳=0,[3.14]=3.按

此规定〔一.门〕的值为

5.(2012?随州)概念：平面内的直线h与12相交于点0,对于该平面内任意一点M，点M

到直线h、J的距离分别为a-b"则称有序非实数对(a，b)是点M的距离坐标”，根据上述概

念，距离坐标为(2.3)的点的个数是()

A.2B,1C,4D,3

6.(2012?荆门)新概念：［a,b］为一次函数y=ax+b(aXOa,b为实数)的关联数”.若

笑

11

联数”［1m-2］的一次函数是正比例函数，贝U关于x的方程一一+=1的解为.

x1m

7.(2012?自贡)如图，△ABC是正三角

形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧

CD,弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C,如果AB=1,那么曲线CDEF的长是

&(2012?泉州)在乙、ABC中，P是AB上的动点(P异于A、B)，过点P的直线截£、ABC,

使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的么ABC的相似线，简记为

P(lx)(x为自然数).

(1)如图①，/A=90°,/B=/C,当BP=2PA时，P(h)、P(b)都是过点P的A

9

ABC的相似线（其中1i_LBC,匕〃AC），此外，还有条；

10

BP

(2)如图②，ZC=90,/B=30。，当时-P(lx)截得的三角形面积

BA

三、解答题

9.(2012?铜仁地区)如图，概念：在直角三角形ABC中，锐角a的邻边与对边的比叫做角

角的邻边AC、、

a的余切，记作ctana即ctana二一"f=一…--，根据上述角的余切概念，解下列问

角的对边BC

题：

(1)ctan30=；

3

(2)如图，已知tanA=—>其中/A为锐角，试求ctanA的值.

4

10.(2012?无锡)对于平面直角坐标系中的任意两

点P(x>,yo,P2(X2,y2)，我们把|xi-X2|+|yi-y2|

叫做Pl'P2两点间的直角距离，记作d(P1,P2).

(1)已知。为坐标原点，动点P(X,y)满足d(O,P)=1，请写出X与y之间满足的关

系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；

(2)设P0(XO,y。)是一定点，Q(x,y)是直线y=ax+b上的动点•我们把d(Po,Q)的最小值叫做

P。到直线y=ax+b的直角距离.试求点M(2,1)到直线y=x+2的直角距离.

11.(2012?厦门)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)、B(6,3),连接AB.如果点P

在直线y=x-1上，且点P到直线AB的距离小于1，那么称点P是线段AB的临近点”

11

75

(1)判断点C(75)是否是线段AB的临近点”，并说明理由；

2,2

12

(2)若点Q(m,n)是线段AB的临近点”，求m的取值范闱.

k

12.(2012隹州)如图,概念:若双曲线y=-(k>0)与它的其中一条对称轴y=x相交于

X

k

A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y=-(k>0)的对径.

X

1

(1)求双曲线y=L的对径.

x

(2)若双曲线y=-(k>0)的对径是1072,求k的值.

X

k

(3)仿照上述概念，概念双曲线y=-(k<0)的对径.

x

13.(2012?绍兴)联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.概念：至三角形的两个顶点距离

相等的点，叫做此三角形的准外心.举例：如图1，若PA=PB，则点PABC的准外心.

1

应用：如图2,CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求/APB

2

的度数.

探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5,AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长.

13

14.(2012?嘉兴)将ZAABC绕点A按逆时针方向旋转B度，并使各边长变为原来的n倍,

得Z、ABC；即如图①，我们将这种变换记为［Qn］.

(1)如图①，对

△ABC作变换［60'丁3］得么ABC,贝USAABC：SAABC=;直线BC

与直线W(所夹的锐角为度；

(2)如图②，△ABC中，/BAC=30，/ACB=90，对△ABC作变换［,门］得AABC,使点

B、C、C'在同一直线上，且四边形ABBC为矩形，求Q和n的值；

(3)如图③，△ABC中-AB=AC，/BAC=36,BC=I，对^ABC作变换［Q门］得么ABC；

使点B、C、B，在同一直线上，且四边形ABBC，为平行四边形，求Q和n的值.

15.(2012?台州)概念：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线

段a与线段b的距离.

已知。(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐标系中四点.

(1)根据上述概念，当m=2,n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是

当m=5,n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段AB长)为

(2)如图3,若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d,求d关于

m的函数解析式.

(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M.

①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；

②点D的坐标为(0,2),m>0,n>0作MN_Lx轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、

M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

14

专题讲座二：新概念型问题参考答案

三、中考典例剖析

对应训练

3

1.-

4

1

解：Y

.・・义二--，

3

…X2=131

1(3)41(4)

•••差倒数为3个循环的数，

•/2012=670X3+2，

•••X2012=X2=一,

4

3

故答案为：±.

2.644

解：T(Xi,yi)?(X2,y2)=xiX2+yiy2,

•(4,5)?(6,8)=4X5+5

X=64,

敢解案声拗图；

根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在0、B的垂直平分线上•所以OA=AB即：抛

物线三角形”必为等腰三角形.

故填：等腰.

hh2hb2

•,•该抛物线的顶点(一,—)满足--(b〉0)

2424

b=2.

15

yi\

OE飞x

=<3,

（3）存在.

如图，作△OCD与4OAB关于原点0中心对称，则四边形ABCD为平行四边形.当OA=OB时，

平行四边形ABCD是矩形，

又•一AO=AB,

-△OAB为等边三角形.

作AELOB，垂足为E,

•AE=,30E.

•—?b（b>0）.

42

•b'=2.3.

•A（惠3）,B（2品0）.

•crZT,-3）,D（-2胤0）.

设过点。、c、D的抛物线为y=mx2+nx，则

12m2•,3n0

3m3n3

n2-3

故所求抛物线的表达式为y=x2+A3X.

4•解：根据题意可得：

22

1©2=2®1=3=,

12

72

(-3)®(-4)=(-4)®(-3)=-=—,

53

422

(-3)®5=5®(-3)=-----=

1535

16

则a®b=222a2b

abab

故答案2a2b

为：

ab

5.c

解:Jf(-6,7)=(7,-6),g(f(-6,7))=g

(7,-6)=(-7,6).

故选C.

四、中考真题演练

一、选择题

1.A

2.B.

3.D

解：J3,6.9,12,…称为三角形数，

•三角数都是3的倍数，

J4,8,12,16,…称为正方形数，

•正方形数都是4的倍数，

•既是三角形数又是正方形数的是12的倍数,

J2010-12=167...6,

2012-12=167...8

2014-12=167-10

2016匀2=168,

・2016既是三角形数又是正方形数.

故选D.

二、填空题

4.4

解：J3VIIK4,

•3+1V.「1+1V4+1,

•4V.'+1V5,

•水药+1]=4,

故答案为：4.

5.C

解：如图所示，所求的点有4个,

17

6.x=3

解：根据题意可得：y=x+m-2,

--•关联数”[1m-2]的一次函数是正比例函数,

/•m-2=0,

解得:m=2,

11变为।+1=1,

则关于x的方程''=1x12

x1m

解得:x=3,

检验：把x=3代入最简公分母2(X-1)=410,

故x=3是原分式方程的解，

故答案为：x=3.

7.4n

1201

解：弧CD的长是120——'=—,

1803

12024

弧DE的长是：=,

1803

1203

弧EF的长是：侬3=2n,

180

24

贝U曲线CDEF的长是：++2n=4.n

33

故答案是：4n

&6)1；(2)-或3或盗

244

解：(1)存在另外1条相似线.

如图1所示,过点P作13//BC交AC于0,则以APQABC；故答案为：1;

设P(lx)截得的三角形面积为S,S=

4

如图2所示，共有4条相似线:

18

闺②

BP1

①第1条h,此时P为斜边AB中点，11//AC

BA2

BP1

②第2条此时P为斜边AB中点，I?//AC---7

12,BA2

BP

BPo3

③第3条此时BP与BC为对应边，且BP1.------cos30=j

13,BC2BABC4

□AP1APAPo1

④第4条14,此时AP与AC为对应边，日Qi一9

AC2ABAC4

BP3

BA=4

故答案为：।或3或

244

三、解答题

9.解：(1)VRtAABC中，a=30；

1

-BC=—AB,

2

••­AC=,AB2BC2=.AB2>AB2r3AB.

N42

•ctan30°AC=x/3

BC

故答案为：，3;

3

(2)vtanA=—z

4

・・・设BC=3,AC=4，贝UAB=5,

10.解：（1）由题意，得冈+|y|=i,所有符合条件的点

P组成的图形如图所示。

19

又•••x可取一切实数，|x-2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和-1所对应的点的距

离之和，其最小值为3.

•••点M（2,1）到直线y=x+2的直角距离为3。

65

11•解：。）点C（_L二）是线段AB的临近点”理由是：

22

•••点P到直线AB的距离小于1,A-B的纵坐标都是3,

•AB〃x轴，3-1=2,3+1=4,

75

•••当纵坐标y在2Vyv4范围内时，点是线段AB的临近点”点C的坐标是（一,-）,

22

5

•y=—>2,且小于4,

2

75

TC（,）在直线y=x-1上，

22

75

•••点C（一,一）是线段AB的临近点”

22

6-

5

4_

3-•-------------------*

1-

2345

（2）由（1）知：线段AB的临近点”的纵坐标的范围是2Vyv4,把

y=2代入y=x-1得：x=3,把y=4代入y=x-1得：x=5.

•3vxv5,

•••点Q（m,n）是线段AB的临近点”

,m的取值范围是3vmv5.

12.解：过A点作AC_Lx轴于C,如图，

20

X

(1)解方程组X，得2

丫2

A点坐标为1,1),B点坐标为(-1,-1),

•♦•0C=AC=1,

•0A=,20C=.2,

•AB=2OA=22,

•双曲线丫=的对径是2迈;

X

(2)­••双曲线的对径为102>BPAB=10•.2,0A=52,

-0A=-20c=.2AC>

0C=AC=5,

••点A坐标为(5,5),

k

把A(5,5)代入双曲线y=(k>0)得k=5X5=25,

X

即k的值为25；

若双曲线丫=(kv0)与它的其中一条对称轴y=・X相交于

k则线段AB的长称为双曲线y=(kv0)的对

X

13•解：①若PB=PC，连接PB，则/PCB=/PBC,

•CD为等边三角形的高，

•AD=BD，/PCB=30,

•/PBD=/PBC=30,

•PD=-----DB=AB

36

21

1

与已知PD=2AB矛盾」也MPC

②若PA=PC，连接PA,同理可得PAAPC,

1

③若PA=PB，由PD=AB,得PD=BD,

2

…/APD=45,故/APB=90；

探究：解：•…BC=5,AB=3,

•AC=.BC2AB2=,'5232=4,

①若PB=PC,设PA=x-贝Ux2+32=(4-x)2,

.x=7,即PA=7,

78

②若PA=PC>则PA=2,

③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能.

故PA=2或7.

8

14.W：(1)根据题意得：△ABCAB,c；

2A

•SAABC：SAABC=(AB)=(3)2=3,ZB=/B',

AB

•••/ANB=/B'NM

•/BMB=ZBAB'=60；

故答案为:3,60;

置①

(2)­••四边形ABBC'是矩

形，

•0=ZCAC=ZBAC-ZBAC=90-30°=60°.