第6课 函数的单调性与导数(教师版)

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高中数学选修2-2教学案及同步训练：第6课函数的单调性与导数(教师版)

第1页第6课函数的单调性与导数

一、复习回想：1.基本初等函数的导数公式2.函数单调性的定义

二、复习引入:

1.单调函数的图象特征

2.函数单调性与导数的关系

三、函数单调性与导数：一般地,设函数()yfx=在某个区间(,)ab内有导数

假使在这个区间内()0fx，那么函数()yfx=在为这个区间内的函数;假使在这个区间内()0fx，那么函数()yfx=在为这个区间内的函数.假使在某个区间内恒有()0fx=,则()yfx=为函数.

四、应用讲练

1.判断函数的单调性

判断以下函数的单调性

（1）3()3fxxx(2)()sin,(0,)fxxxx

（1）由已知，得()fx的定义域为R，

3()3fxxx，32()()(3)330fxxxx

因此，3()

3fxxx在(,)上单调递增（2）

()sinfxxx，()(sin)cos1fxxxx当(0,)x时，1cos1x，cos10x，即()0f

x

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第2页因此，函数()sinfxxx在(0,)内单调递减

2.求函数的单调区间

求函数3223241yxxx的单调区间

由已知，得

()fx的定义域为R，3222()3()(24)1666(1)y

xxxxxxx由0y，得6(1)0xx，即0x或1x；由0y，得6(1)0xx，即10x.

因此，函数3223241y

xxx的单调递增区间为(

,1)和(0,)；单调递减区间为(1,0).判断函数223yxx的单调性，并求出单调区间

由已知，得()fx的定义域为R，

2()(4)3222(1)y

xxxx当0y

，即1x时，函数223yxx的单调递增；当0y，即1x时，函数223y

xx的单调递减；因此，函数223yxx的单调递增区间为(1,)；单调递减区间为(,1).

求函数21()ln2

fxxx=-的单调区间由已知，得()fx的定义域为(0,

)211(1)(1)()(ln)()2xxfxxxxxx

+-=-=-=-由0,0yx，得1x；由0,0yx，得01x.

因此，函数()fx的单调递增区间为(1,

)；单调递减区间为(0,1).3.由导数信息确定函数大致图象

已知导函数的以下信息当2

3x时，()0fx当3x或2x时，()0fx；当2x或3x时，()0fx试画出函数()fx图象的大致形状

设()fx是函数()fx的导函数，()fx的图象

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第3页如右图所示,则()fx的图象最有可能的是（）

已知函数()yfx=的图象如图2所示，则其导函数()yfx=的图象可能是（）

例4.如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积一致）注入下面四种底面积一致的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.

第6课函数的单调性与导数同步作业

一、单项选择题

1．函数y＝3x－x3的单调递增区间为（）．

A．(0，＋∞)

B．(－∞，－1)

C．(－1，1)

D．(1，＋∞)

C

由于33yxx=-，所以233yx=-，令0y，即2330x-解得11x-，即函数的单调递增区间为()1,1-

2．函数323()612

fxxxx=+--的单调递增区间为（）A．(2,1)-B．(,1)-∞-和(2,)+∞C．(,2)-∞-和(1,)+∞D．(1,2)-

C

f′(x)=3x2+3x?6=3(x+2)(x?1)，所以由3(x+2)(x?1)0可得函数f(x)的单调递增区间为(?∞,?2)和(1,+∞)．应选C．

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第4页3．函数22yxx=+的单调递增区间为（）A．(),1-∞B．(2,)+∞C．()1,+∞D．(),0-∞

C322

2222xyxxx-=-=，由0y得3220x-，即1x，所以函数22yxx

=+的单调递增区间为(1,)+∞.4．函数()lnfxxx=-的单调递减区间为（）

A．()0,1

B．(0,)+∞

C．(1,)+∞

D．(,1)-∞A

∵()()ln,0fxxxx=-，∴()111xfxxx

-=-=，令()0fx，解得01x，即函数()lnfxxx=-的单调递减区间为()0,1，

5．函数()12fxxx=

-的单调递增区间是（）A．()0,4

B．(),1-∞

C．()0,1

D．(),4-∞C

函数()fx的定义域为；[0,)+∞，()11()222fxxxfxx=-?=-，当1()022fxx=-时，函数单调递增，解得01x，所以函数()12

fxxx=-的单调递增区间是()0,1.

6．已知函数dcxbxxxf+++=23)(的图象如图，则函数)(xfy=的单调减区间为（）

A．)3,0[

B．]3,2[-

C．)2

1,(-∞D．)2,(--∞

C

由题意得，2()32fxxbxc=++，由图象可知()()230ff-==，

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即

1240

2760

bc

bc

-+=

?

?

++=

?

，解得

3

,

18

2

bc

=-=-，

所以222

()3233183(6)

fxxbxcxxxx

=++=--=--，则函数的开口向上，对称轴的方程为

1

2

x=，所以函数()

fx

的单调递减区间为)

2

1

,

(-∞，应选C.

7．设函数()

fx的图象如图右下所示，则导函数()

fx的图象可能为（）

C

∵()

fx在(,1)

-∞，(4,)

+∞上为减函数，在(1,4)上为增函数，

∴当1

x或4

x时，()0

fx

；当14

x

时，()0

fx

．

8．()

fx的导函数()

fx的图象如下图所示，则函数()

fx的图象最有可能是图中的

（）

A

由()

fx的图象可知：当(,2)(0,)

x∈-∞-?+∞时，()0

fx

，

当()

2,0

x∈-时，()0

fx

，所以()

fx在(,2)

-∞-和(0,)

+∞单调递减，在()

2,0

-单调递增，可排除B、C、D．

9．以下函数中，在()

0,∞

+内为增函数的是（）

A．sin

yx

=B．x

yex

=-C．3

yxx

=-D．ln

yxx

=-

第5页

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第6页B

选项A，sinyx=显然在()0,∞+内不是增函数，所以错误；选项B，,10,(0,)xxyexyex=-=-∈+∞恒成立，所以正确；

选项C

，32,313(yxxyxxx=-=-=

，当0xy∈，此时函数单调递减，所以错误；

选项D，11ln,1xyxxyxx-=-=

-=，当(1),0xy∈+∞，此时函数单调递减，所以错误.

10．函数()1sinfxxx=+-在区间(0,2)π上是（）

A．增函数

B．减函数

C．在(0,)π上增，在(,2)ππ上减

D．在(0,)π上减，在(,2)ππ上增A

()1cos0fxx=-，()fx∴在()0,2π上递增，应选：A.

11．函数()43lnfxxxx=+

+的单调递减区间是______．()0,1

()()()2+41431xxfxxxx

-=-+=，其中0x，令()0fx，则(0,1)x∈，故函数()43lnfxxxx

=++的单调减区间为(0,1)，故答案为：(0,1)．

12．判断以下函数的的单调性，并求函数的单调区间

（1）()1lnfxxxx=--（2）f(x)=，

（1）函数()1lnfxxxx

=--的定义域是()0,∞+.

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由于()22

222

13()1112410xxxfxxxxx-+

-+=+-==恒成立，所以函数()1

lnfxxxx

=--在定义域()0,∞+上是单调递增函数.

（2）()()

2

3

01fxx=-

+，对()1,x?∈-+∞恒成立.

∴函数()fx在()1,-+∞上为减函数13．求以下函数的单调区间：

（1）()lnxfxx

=（2）lnyxx=（3）()()3x

fxxe=-（1）函数()lnx

fxx

=,定义域为()0,∞+,则

()22

1

lnln1ln()xx

xxxfxxxx?--===,令()0fx,即21ln0xx-所以1ln0x-,解得xe,即函数()lnx

fxx

=的单调递减区间为(),e+∞

（2）函数lnyxx=求导得：ln1yx=+.当1

(0,)xe

∈时0y，函数单调递减；

当1

(,5)xe

∈时0y，函数单调递增.应选D.

（3）

()()3xfxxe=-，()()2xfxxe∴=-，解不等式()0fx，解得2x，

因此，函数()()3x

fxxe=-的单调递增区间是()2,+∞，应选B.

14．已知函数()lnfxxbxc=-+，()fx在点(1,(1))f处的切线方程为40xy++=．（Ⅰ）求()fx的解析式；（Ⅱ）求()fx的单调区间．

（Ⅰ）()32ln--=xxxf；（Ⅱ）单调增区间为?????

21,0，单调减区间为??

???∞+，

21.（Ⅰ）11

(),()|1xfxbfxbx

==

-∴=-又切线斜率为1-，故11b-=-，从而2b=将(1,(1))f