离子晶体的长波

离子晶体的长波第1页，共32页，2023年，2月20日，星期一一、离子晶体简述

（introductionofioniccrystal）

定义:离子间通过离子键结合而成的晶体；（1）结构微粒：阴、阳离子；（2）相互作用：离子键;由正、负离子或正、负离子集团按一定比例组成的晶体称作离子晶体。离子晶体中正、负离子或离子集团在空间排列上具有交替相间的结构特征，离子间的相互作用以库仑静电作用为主导。第2页，共32页，2023年，2月20日，星期一

由正、负离子或正、负离子集团按一定比例组成的晶体称作离子晶体。离子晶体中正、负离子或离子集团在空间排列上具有交替相间的结构特征，离子间的相互作用以库仑静电作用为主导。离子晶体整体上的电中性，决定了晶体中各类正离子带电量总和与负离子带电量总和的绝对值相当，并导致晶体中正、负离子的组成比和电价比等结构因素间有重要的制约关系。离子晶体有二元离子晶体、多元离子晶体与有机离子晶体等类别。几乎所有的盐类和很多金属氧化物晶体都属离子晶体，例如食盐、氟化钙、二氧化钡等。性质:第3页，共32页，2023年，2月20日，星期一离子晶体在做长光学波振动时，由于原胞内正负离子作相对运动，因而产生宏观极化（出现宏观电偶极矩），从而可以和电磁波发生强烈相互作用。所以长光学波与离子晶体的电学、光学性质密切相关。

对于长声学波：可以看作连续介质弹性波，它满足在弹性理论基础上建立的宏观运动方程，因此由宏观弹性介质理论即可得到长声学格波解。对于长光学波：也可以在宏观理论的基础上进行近似处理，这就是我国著名的物理学家黄昆于1951年提出的方法。本节的基本思路是：先建立长光学波的宏观运动方程，确定其系数；给出长光学波的纵波频率和横波频率之间的关系；最后介绍离子晶体的光学性质以及极化激元的概念。第4页，共32页，2023年，2月20日，星期一离子晶体的光学波描述原胞中正负离子的相对运动。在波长较长时，半个波长的范围内包含很多原胞。在两个波节之间，同种离子的位移方向相同异种离子位移方向相反，而波节两边，同种离子位移方向相反。这样波节面将晶体分成许多个薄层，在每个薄层里正负离于位移相反，每个薄层里产生退极化场，整个晶体被分层极化，所以离子晶体的光学波又称为极化波。第5页，共32页，2023年，2月20日，星期一二、长光学波的宏观运动方程

(macroscopicequationoflongopticwave)1、长光学晶格振动产生的内场长光学波相邻的不同离子振动方向相反，设正、负离子之间的相对位移为，产生的极化强度矢量为其中是离子的有效电荷，是原胞体积。因为极化强度与相对位移有关，所以它将以格波的频率和波矢为周期变化，产生极化波第6页，共32页，2023年，2月20日，星期一极化产生的宏观内场可以由电动力学得出：其中和是真空中的光速和介电常数。对于纵模，极化强度矢量与波矢的方向平行，内场的方向与波矢的方向平行，即纵模产生的内场是纵向的，是没有磁场伴随的无旋场，与静电场类似。第7页，共32页，2023年，2月20日，星期一对于横模，极化强度矢量与波矢的方向垂直，内场的方向与波矢的方向垂直，即横模产生的内场是横波，是一种有电磁场相伴的有旋场。由于有这种电磁场的存在，晶格振动的横模和外电磁场之间会发生强耦合，影响电磁波在晶体中传播的性质。当电磁波的频率和波矢与横光学波振动频率和波矢相等，即时，发生共振，耦合最为强烈。第8页，共32页，2023年，2月20日，星期一2、方程的建立

长光学波与长声学波不同，相邻的不同离子振动方向相反，即正、负离子之间做相对运动；在q→0时，则是正、负离子组成的两个格子之间的相对振动，振动中保持它们的质心不变。限定晶体为双离子晶体，并且晶体是各向同性的。用一个反映正负离子相对位移的矢量（称为折合位移）来描述长光学波振动（1）其中是约化质量（折合质量）；Ω为原胞体积；为正负离子的位移。第9页，共32页，2023年，2月20日，星期一选择作为宏观量后，黄昆建立了一对方程，称为黄昆方程：（2）（3）这里

是宏观极化强度，

是宏观电场强度。其中，方程（2）是决定离子相对振动的动力学方程，称为振动方程(vibrationequation)；方程（3）表示除去正负离子相对位移产生极化，还要考虑宏观电场存在时的附加极化，称为极化方程(polarizationequation)。这两个方程中系数并不都是无关的，可以证明b12＝b21＊。下面结合具体的微观模型，给出各个系数的表示式。第10页，共32页，2023年，2月20日，星期一3、系数的确定

(1)静电场情况下，晶体的介电极化在恒定的静电场下，正负离子将发生相对位移令（2）式中的＊，就得到再代入到（3）式中，得（4）由静电学知或（5）其中ε0为真空中的介电常数，ε（0）为静电介电常数。比较（4）（5）两式，得（6）第11页，共32页，2023年，2月20日，星期一(2)高频电场情况下的介电极化如果电场的频率远高于晶格振动频率，晶格的位移远跟不上电场的变化，有,则由（4）式得到与介电常数的的定义相比较，得到（7）

其中ε（∞）是高频介电常数。将（7）式代入（6）式得（8）第12页，共32页，2023年，2月20日，星期一且对于长光学振动，有ω0是横光学波的频率，可以从晶体的红外吸收谱测量中得到.为准弹性力，b11相当于（－ω02））（其实由上面的讨论，我们得到（9）这就求出了方程中的各个系数的表示式.第13页，共32页，2023年，2月20日，星期一三、长光学波的横波频率ωTO与纵波频率ωLO（LST关系）

（transverseandlongitudinalfrequencyoflongopticwave）

对于有带电粒子的晶格振动，在求解其振动情况时，必须考虑它们之间的电磁相互作用；而且往往只限于计算它们之间的库仑作用。对于长光学波，可以用上面介绍的宏观运动方程求其晶格振动。只须把静电学方程与黄昆方程中的极化方程结合起来，就相当于考虑了离子晶体中带电粒子之间的库仑作用。

求解长光学波的横波与纵波频率，就以此为基础。第14页，共32页，2023年，2月20日，星期一1、横波和纵波满足的方程长光学波有横波和纵波，其相对位移分别用和表示而横向位移散度为零，纵向位移旋度为零＊，即则（10）（11）又电场满足静电方程（12）（13）对（2）式取旋度，有第15页，共32页，2023年，2月20日，星期一利用（13）式，即有再利用（11）式，则有（14）这是横波满足的方程。再对（2）式取散度，并利用（10）和（12）式，得（15）对（3）式取散度有，即第16页，共32页，2023年，2月20日，星期一注意到（10）式，则有

因而代入（15）式，得（16）这是纵波满足的方程。2、横波与纵波的频率比由（14）式可知，横波频率为（17）第17页，共32页，2023年，2月20日，星期一前面已经证明了以及而且代入（16）式有所以因此有（18）这被称作为LST（Lyddano-Sachs-Teller）关系，是一个很重要的结果.第18页，共32页，2023年，2月20日，星期一由LST关系，有以下结论：（1）由于静电介电常数ε（0）一般总是大于高频介电常数ε（∞），所以，长光学纵波的频率ωLO总是大于长光学横波的频率ωTO。这是因为在离子性晶体中长光学波产生极化电场，增加了纵波的恢复力，从而提高了纵波的频率。极化电场的大小与正负离子的有效电荷有关。一般地，有效电荷越大，两者的差值越大。而对非离子性晶体，横波与纵波频率相同。

（2）当ωTO→0时，ε（0）→∞，这意味着晶体内部出现自极化。把ωTO趋于零的振动模式称为光学软膜。

由于长光学波是极化波，所以，长光学波声子称为极化声子。第19页，共32页，2023年，2月20日，星期一四、离子晶体的光学性质

（opticpropertiesofioniccrystal）

正负离子间的相对振动产生一定的电偶极矩，从而可以和电磁波相互作用，引起远红外区的强烈吸收。也就是说，当长光学波和与它频率相同的电磁波相互作用时，可以发生共振吸收。下面我们讨论这种吸收现象。在运动方程中引入耗散项，表达能量的损耗，则有（19）方程右端最后一项即为耗散项，r是一个为正值的系数。取复数形式的解：第20页，共32页，2023年，2月20日，星期一将复数解代入（19）式，得（20）将上式代入（3）式，有（21）把前面求得的b11，b12，b22的式子代入上式并利用就得到（22）上式中右端第二项就是晶格振动对介电常数的贡献。第21页，共32页，2023年，2月20日，星期一介电常数可以分为实部和虚部将（22）式化简，把实部与虚部分开，有吸收功率正比于介电常数的虚部，可以看出，在ω＝ω0处有一个吸收峰，宽度为ωr。这意味着横波的光波激励了横光学波的格波。这实际上就是前面介绍的长光学波在离子晶体中的重要性。也正是由于长光学波的这种特点，一维双原子链色散关系的ω＋一支才被称为光学波。第22页，共32页，2023年，2月20日，星期一五、极化激元的概念(conceptofpolarizedexcimer)前面我们假定晶体中的电场只是库仑作用引起的，因此即E是无旋的的矢量场。严格来讲，离子晶体长波振动必然伴随交变的电磁场。这样，就要考虑晶格的长光学振动和电磁场相耦合的系统，将电磁方程和晶格的唯象方程结合，求解得到的振动模实际上就代表了格波和光波的耦合振动模。不仅格波有这样的耦合模式，等离子振荡、激子、自旋波等也都有类似的现象，统称为极化激元。第23页，共32页，2023年，2月20日，星期一1、运动方程及其解在讨论声子与光子的耦合问题时，外电磁场是有旋场，横振动伴随的电磁场也是有旋场，必须用麦克斯韦方程与黄昆方程联立求解。对于非磁性绝缘晶体，磁导率，空间电流，自由电荷密度，这些方程如下：第24页，共32页，2023年，2月20日，星期一设解的形式为把解代入原方程组中，得到第25页，共32页，2023年，2月20日，星期一从后两式可得代入到第三式，得到这时有两种情况：（1）对于纵波解出，有正是我们前面得到的LST关系。从中可见，与波矢无关，纵声子并不与电磁场耦合。第26页，共32页，2023年，2月20日，星期一（2）对于横波，，即。注意到三者是相互垂直的并由右式的第一、二两式，得到第27页，共32页，2023年，2月20日，星期一这两个式子联立求解，有解的条件是得到

利用系数的表达式和LST关系，并注意第28页，共32页，2023年，2月20日，星期一由此得到

有上式给出极化激元的色散关系：2、色散关系第29页，共32页