离散系统控制理论

离散系统控制理论第1页，共173页，2023年，2月20日，星期一第7章离散系统控制理论7.1信号的采样与保持7.2差分方程7.3Z变换7.4Z传递函数7.7线性离散系统稳态误差分析7.5线性离散系统的稳定性分析7.8线性离散系统设计方法7.6线性离散系统的暂态性能分析7.9MATLAB在离散系统分析中的应用第2页，共173页，2023年，2月20日，星期一计算机控制系统被控对象是在连续信号作用下工作的，其控制信号、输出信号c(t)及其反馈信号、参考输入信号r(t)等均为连续信号;而计算机的输入、输出信号是离散的数字信号。第3页，共173页，2023年，2月20日，星期一第7章离散系统控制理论7.1信号的采样与保持7.2差分方程7.3Z变换7.4Z传递函数7.7线性离散系统稳态性能分析7.5线性离散系统的稳定性分析7.8线性离散系统设计方法7.6线性离散系统的暂态分析7.9MATLAB在离散系统分析中的应用第4页，共173页，2023年，2月20日，星期一1、采样过程7.1.1信号的采样将连续信号变为离散信号的过程称为采样。采样开关假设采样开关在闭合的瞬间立刻打开,即闭合的时间等于零且闭合时的接通电阻为零,打开时的断开电阻无穷大,则称其为理想采样开关.第5页，共173页，2023年，2月20日，星期一采样分类：（1）周期采样:采样开关是等时间间隔采样，也称为均匀采样、普通采样等。采样间隔时间称为采样周期，常用T表示。（2）非周期采样：采样的时间间隔是时变的，也称为非均匀采样等。（3）随机采样：采样开关采样的时间间隔是随机的。同步采样：一个离散系统中往往存在多个采样开关。如果系统中所有采样开关同时采样。非同步采样：反之。多速采样:如果所有采样开关都是均匀采样，但采样周期不等。第6页，共173页，2023年，2月20日，星期一连续信号经过以周期T均匀采样的理想采样开关，得到离散序列{f(kT)}k=0,1,2,K.令f*(t)代表采样信号，可以表达为2、采样信号的数学表述其中δ(t-KT)为单位冲激函数(狄拉克函数)。由于当t≠kT时,δ(t-KT)=0所以第7页，共173页，2023年，2月20日，星期一若定义

则第8页，共173页，2023年，2月20日，星期一2、采样信号的数学表述进行拉氏变换第9页，共173页，2023年，2月20日，星期一因为δτ(t)是周期函数，所以，可以展开为复数形式的傅里叶级数

其中,ωs=2π/T为采样角频率；对下式进行拉氏变换第10页，共173页，2023年，2月20日，星期一取拉氏变换第11页，共173页，2023年，2月20日，星期一设F(s)=L[f(t)]，由拉氏变换位移定理，得上式称为泊松(Poisson)求和公式。它把采样信号f*(t)的拉氏变换F*(s)与原连续信号f(t)的拉氏变换F(S)联系起来,可以直接从F(S)找出F*(s)的频率响应。由于F*(s)表示成了s的周期函数,在进行f(t)的频谱分析时很方便,可以清楚看出频谱混叠的影响。第12页，共173页，2023年，2月20日，星期一表示的采样信号的拉氏变换的两种等价表达式。虽然这两个式子都是无穷级数，但用前者通常可以把F*(s)写成闭式，即解析函数的形式，而用后者却不能把写成闭式。第13页，共173页，2023年，2月20日，星期一

3.采样定理为了从离散信号复现出连续信号，需要解决两个问题：

(1)理论上能否从离散信号恢复到原连续信号？或者说，是否包含了的全部信息？

(2)在实际中采用什么样的保持器？第14页，共173页，2023年，2月20日，星期一若采样器的采样频率ωs大于或等于其输入连续信号f(t)的频谱中最高频率ωmax的两倍,即ωs≥2ωmax,则能够从采样信号f(t)中完全复现。

3、采样定理

第15页，共173页，2023年，2月20日，星期一采样信号的频谱，及与连续信号频谱的关系第16页，共173页，2023年，2月20日，星期一从采样信号中不失真地恢复出原来的连续信号理想情况第17页，共173页，2023年，2月20日，星期一连续信号频谱离散信号频谱之一离散信号频谱之二频谱互不重叠的条件：1ws2ws-1ws第18页，共173页，2023年，2月20日，星期一

1.零阶保持器最简单最常用的是零阶保持器(zero-orderhold，简记为ZOH)，它与一阶、高阶保持器相比，具有相位滞后小以及易于工程实现等优点。所以，在离散系统中一般都采用零阶保持器，很少采用一阶保持器和高阶保持器。

零阶保持器的作用是把某一采样时刻kT的采样值

f(kT)恒定地保持到下一个采样时刻(k+1)T，即在t∈[kT,(k+1)T]

区间内，零阶保持器的输出值一直保持为f(kT)如图3.6所示。7.1.2采样信号的保持第19页，共173页，2023年，2月20日，星期一零阶保持器7.1.2采样信号的保持零阶保持器(zero-orderhold，简记为ZOH)，它与一阶、高阶保持器相比，具有相位滞后小以及易于工程实现等优点。所以，在离散系统中一般都采用零阶保持器，很少采用一阶保持器和高阶保持器。零阶保持器的作用是把某一采样时刻kT的采样值f(kT)恒定地保持到下一个采样时刻(k+1)T，即在t∈[kT,(k+1)T]区间内，零阶保持器的输出值一直保持为f(kT)第20页，共173页，2023年，2月20日，星期一7.1.2采样信号的保持第21页，共173页，2023年，2月20日，星期一fh(t)是等间隔的阶梯信号，时域表达式为求零阶保持器的传递函数：取拉氏变换得第22页，共173页，2023年，2月20日，星期一零阶保持器的特性:是高度为1宽度为T的方波，在一个采样周期内，采样值经过保持器保持，既不放大，也不衰减，对其它采样周期内的输出没有影响。零阶保持器的频率特性为因此，零阶保持器的传递函数为零阶保持器的脉冲响应函数为goh=L-1[Goh(s)]=1(t)-1(t-T)第23页，共173页，2023年，2月20日，星期一零阶保持器的特性：（1）低通特性；（2）相角迟后特性（3）时间迟后特性；（平均迟后时间T/2）零阶保持器的频率特性第24页，共173页，2023年，2月20日，星期一零阶保持器的特性：（1）低通特性（2）相角迟后特性（3）时间迟后特性（平均迟后时间T/2）第25页，共173页，2023年，2月20日，星期一采样周期T＝1采样周期T＝2第26页，共173页，2023年，2月20日，星期一采样周期T＝7采样周期T＝4第27页，共173页，2023年，2月20日，星期一一阶保持器一阶保持器是一种按照线性规律外推的保持器。第28页，共173页，2023年，2月20日，星期一一阶保持器的单位脉冲响应第29页，共173页，2023年，2月20日，星期一第30页，共173页，2023年，2月20日，星期一与零阶保持器相比，一阶保持器复现原信号的准确度较高。但一阶保持器的幅频特性普遍较大，允许通过的信号的高频分量较多，更易产生纹波其相角滞后比零阶保持器大因此，一般采样零阶保持器。第31页，共173页，2023年，2月20日，星期一第7章离散系统控制理论7.1信号的采样与保持7.2差分方程7.3Z变换7.4Z传递变换7.7线性离散系统稳态性能分析7.5线性离散系统的稳定性分析7.8线性离散系统设计方法7.6线性离散系统的暂态分析7.9MATLAB在离散系统分析中的应用第32页，共173页，2023年，2月20日，星期一

7.2.1差分方程的概念对于采样控制系统，系统中一些元件是连续式的，这些连续式元件，仍可由微分方程或传递函数描述，但由于系统中某些地方的信号是断续的或采样的，所以，需要用差分方程或Z传递函数描述连续元件输入输出采样时刻的值之间的关系。在离散时间系统中，信号的自变量是离散的整型值，需要用差分方程描述系统的动态特性。7.2.1差分方程的概念

第33页，共173页，2023年，2月20日，星期一

7.2.1差分方程的概念

定义：差分方程由未知序列y(k)及其移位序列y(k+1),y(k+2),…或y(k－1),y(k－2),…以及激励x(k)及其移位序列x(k+1),x(k+2),…或x(k-1),x(k-2),…构成。例如：差分方程的阶数定义为未知序列的自变量序号中最高值与最低值之差。第34页，共173页，2023年，2月20日，星期一若差分方程中的未知序列是递增方式，即由y(k),y(k+1),y(k+2)等组成的差分方程，称为前向差分方程。若差分方程中的未知序列的序号是递减方式，即由y(k),y(k-1),y(k-2)组成的差分方程，称为后向差分方程。第35页，共173页，2023年，2月20日，星期一若差分方程中每一项包含的未知序列或(和)其移位序列仅以线性形式出现，则称为线性差分方程，否则称为非线性差分方程。若差分方程中每一项的系数与离散变量无关，则称为常系数差分方程，否则称为变系数差分方程。差分方程中的自变量可以是时间，但并不限于时间，根据其所描述的具体系统而定。例如，在电路系统中，常以各节点的序号或各回路的序号为变量。对于完全离散的系统，其输入输出信号均为离散信号，这时系统无法用微分方程或其它连续模型描述，只能用差分方程、Z传递函数等离散模型描述。第36页，共173页，2023年，2月20日，星期一连续系统，一般用微分方程描述;离散系统，建立被控对象的差分方程数学模。在工程上，常常需要由连续系统的微分方程描述，得到等价的差分方程描述。变换方法:7.2.2微分方程描述的差分化

差分方程的求解经典法：齐次方程的通解+非齐次方程的特解迭代法Z变换法第37页，共173页，2023年，2月20日，星期一设系统输入在一个采样周期内保持不变，则

求微分方程等价的差分方程微分方程对应的等价差分方程为1.等价变换方法特解通解的一般形式是C是积分常数。当t=kT时描述连续系统输出y(t)和输入x(t)在采样时刻之间关系的差分方程2.近似变换法P210第38页，共173页，2023年，2月20日，星期一7.2.3差分方程的递推解法

…...第39页，共173页，2023年，2月20日，星期一7.2.4差分方程的经典解法1.奇次解2.特解3.全解第40页，共173页，2023年，2月20日，星期一第7章离散系统控制理论7.1信号的采样与保持7.2差分方程7.3Z变换7.4Z传递函数7.7线性离散系统稳态性能分析7.5线性离散系统的稳定性分析7.8线性离散系统设计方法7.6线性离散系统的暂态分析7.9MATLAB在离散系统分析中的应用第41页，共173页，2023年，2月20日，星期一拉普拉斯变换（又称L变换）和傅里叶变换（又称F变换）等积分变换，在微分方程求解中获得了广泛的应用。线性常系数微分方程通过L变换变成代数方程，从而使求解微分方程得到简化。因此，拉普拉斯变换与傅里叶变换是分析线性连续系统的主要工具。对于差分方程也存在类似的变换，这就是本节要介绍的Z变换。7.3.1Z变换的定义

莫费（DeMoivre）在概率论的研究中首次提出的。从19世纪的拉普拉斯至20世纪的沙尔（H﹒L﹒Seal），其间许多人在这方面都作出了贡献。第42页，共173页，2023年，2月20日，星期一

离散序列{f(k)}，k=0,1,2,…的Z变换7.3.1Z变换的定义

第43页，共173页，2023年，2月20日，星期一下面首先给出Z变换的数学定义，然后建立L变换与Z变换之间的关系，从而沟通这两种方法的联系。

1.Z变换的定义

设由一离散序列{f(k)}，k=0,1,2,…

构成的级数收敛，则定义该级数为离散序列{f(k)}，k=0,1,2,…的Z变换，或称为单边Z变换，记为Z{f(k)}或，即其中，R是复数级数的绝对收敛半径。第44页，共173页，2023年，2月20日，星期一

，

典型信号的Z变换

第45页，共173页，2023年，2月20日，星期一

第46页，共173页，2023年，2月20日，星期一2.从L变换到Z变换设连续函数f(t)存在L变换F(s)=L[f(t)]。对连续信号f(t)进行采样得到的离散信号f*(t)：f*(t)的L变换为可见，Z变换仅仅在L变换中作了变量代换。第47页，共173页，2023年，2月20日，星期一根据上面的分析，可以得到L变换与Z变换的关系式为反映了s域分析设计与Z域分析设计的重要关系。第48页，共173页，2023年，2月20日，星期一3.几点说明(P219)

1)在控制工程中，离散信号通常由对连续信号f*(t)采样得到，所以习惯上称F(z)是f(t)的Z变换，但实际上是指f(t)经采样后得到的离散信号f*(s)的Z变换。同样，习惯上也称F(z)是F(s)的Z变换；2)F(s)是f(t)的L变换的记号，F(z)是{f(kT)}的Z变换的记号，切不要以为F(z)是中的s用z代替后的式子，即F(z)≠F(s)|s=z；3)将连续函数f(t)的L变换定义式;与离散信号f*(t)的Z变换定义式相比较可见，L变换和Z变换的定义存在下列对应关系：①以无穷大为上限的积分对应于无穷项求和；②连续函数f(t)对应于采样序列f(kT)；③连续变量t对应于离散变量k；④前者定义在S域，后者定义在Z域。第49页，共173页，2023年，2月20日，星期一7.3.2Z变换的基本定理

(1)线性定理(2)滞后定理

第50页，共173页，2023年，2月20日，星期一证明：由Z变换的定义得若当t<0时,则f(t)=0说明:(1)滞后定理说明,原函数在时域中延迟m个采样周期,相当于Z变换乘以Z-m。(2)算子Z-m的物理意义:Z-m代表滞后环节,它把采样信号延迟m个采样周期。第51页，共173页，2023年，2月20日，星期一例1:用实数位移定理计算延迟一个采样周期T的单位阶跃函数的Z变换。例2：计算延迟一个采样周期的指数函数e-at的变换。解：解：第52页，共173页，2023年，2月20日，星期一当时,若则有例:求它的Z变换.解:第53页，共173页，2023年，2月20日，星期一(3)超前定理及证明第54页，共173页，2023年，2月20日，星期一(4)复数位移定理例:求它的Z变换.解:第55页，共173页，2023年，2月20日，星期一(5)初值定理及证明第56页，共173页，2023年，2月20日，星期一例:求的原函数的初值.解:例:求的原函数的初值.解:第57页，共173页，2023年，2月20日，星期一由上式可以得出结论：若是有理函数，且f(kT)=0,(k=0,1,……（m-1)),f(mT)≠0,则分母多项式比分子多项式高m次。因此，如果F(z)是关于z的有理函数，则可以根据它的分子和分母多项式的次数，确定F(z)所对应的序列f(kT)有多少个初始值为零。如果f(0)≠0,那么F(z)的分子与分母多项式有相同的次数。推论设函数f(t)的Z变换为F(z)，则有第58页，共173页，2023年，2月20日，星期一例已知求f(0),f(T),f(2T)，f(3T)。解F(z)的分母比分子的次数高2次，所以第59页，共173页，2023年，2月20日，星期一(5)终值定理及证明设函数f(t)的Z变换为F(z),(z-1)F(z)在Z平面以原点为圆心的单位圆上和圆外均没有极点，则有第60页，共173页，2023年，2月20日，星期一例:设z变换函数为:使用终值定理确定e(nT)的终值。解:依终值定理得第61页，共173页，2023年，2月20日，星期一例:已知求解:第62页，共173页，2023年，2月20日，星期一因为F(z)有一个极点Z=2,显然|Z|=2>1，不满足终值定理的条件，所以，不能用终值定理计算。否则会得出的错误结论。实际上，f(t)随着t的增加而趋于无穷。设求f（∞）解？z变换基本定理见表7.2，P224第63页，共173页，2023年，2月20日，星期一7.3.3Z变换的基本方法

1、幂级数求和法2、部分分式法3、留数计算法4、查表法第64页，共173页，2023年，2月20日，星期一（1）级数求和法是直接根据z变换的定义写成展开形式得到的对于常用函数Z变换的级数形式，写出其闭合形式。例1:求单位阶跃函数的Z变换.7.3.3Z变换的基本方法

第65页，共173页，2023年，2月20日，星期一例2的Z变换,其中是常量.例3:求解:第66页，共173页，2023年，2月20日，星期一例3:设解:因为T为采样周期，故试求理想脉冲序列的z变换。由拉氏变换知对上式Z变换若|z|〉1，则第67页，共173页，2023年，2月20日，星期一（2）部分分式展开法先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换E（s)，然后将有理分式函数E（s)展成部分分式之和的形式，使每一部分分式对应简单的时间函数，其相应的Z变换是已知的，于是可方便求出E（s)对应的Z变换E（z)。第68页，共173页，2023年，2月20日，星期一例：已知连续函数的拉氏变换为试求相应的Z变换E（z)。解因为第69页，共173页，2023年，2月20日，星期一式中，ri为极点的阶次；n为相异极点的个数，即在计算n时，r重极点只算一个。如果限制是有理分式，则留数法计算公式就是部分分式法的结果。留数法对求重极点的的Z变换比部分分式法方便一些。下面举例说明。（3）留数法若已知F(s)及其全部极点si(i=1,2……）,则第70页，共173页，2023年，2月20日，星期一求的Z变换。解：的L变换为全部极点为用留数法得第71页，共173页，2023年，2月20日，星期一求的Z变换。第72页，共173页，2023年，2月20日，星期一用留数法求Z变换时，要注意“F(s)的全部极点已知”这一条件。由于指数函est等函数的极点不易计算，所以，不宜用留数法求这类函数的Z变换。幂级数求和法和留数计算法的适用范围广，而部分分式法对F(s)是有理函数时较为简单。因为常用函数的L变换可用部分分式分解为几个简单函数的L变换之和，而它们所对应的Z变换是我们熟知的或由Z变换表直接查得，所以，在工程计算中常采用部分分式法。第73页，共173页，2023年，2月20日，星期一把常用的函数及其Z变换列成对照表，求取Z变换时，直接查表。这种方法在实际工作中非常简单有用。（4）查表法（见表7.3）P229第74页，共173页，2023年，2月20日，星期一把离散序列{f(kT)}变换成F(z)称为Z变换，反之，从F(z)求出{f(kT)}称为Z反变换。需特别强调的是,由F(z)经Z反变换求出的是f(nT)或f*(t),而不是ft).

由于我们关心的往往是f(t)，所以，可以认为Z反变换是从F(z)求出连续函数f(t)。一般来说，常用的Z反变换方法有下列三种：幂级数展开法（长除法）、部分分式法、留数计算法。下面分别介绍这三种方法。7.3.4Z逆变换

第75页，共173页，2023年，2月20日，星期一(1）幂级数展开法（长除法）7.3.4Z逆变换

当F(z)是有理真分式或是有理严格真分式时,可采用长除法将F(z)展开成z的幂级数,进而求得f(nT)或f*(t).第76页，共173页，2023年，2月20日，星期一例7.3.4Z逆变换

第77页，共173页，2023年，2月20日，星期一例:求的原函数e*(t).解:采用幂级数法,对于稍复杂的F(z)很难写出f*(t)的通项式f(nT),所以也难写出f*(t)的闭合形式第78页，共173页，2023年，2月20日，星期一例7.18第79页，共173页，2023年，2月20日，星期一

当F(z)是有理真分式或是有理严格真分式,且其分母多项式便于分解成z的一次因式时,可用部分分式法把F(z)变成分式和的形式,再由z变换表求出f(nT)或f*(t).

由于z变换式中的分子一般均含有z因子,因此在对E(z)进行部分分式前,先将E(z)/z,再对F(z)/z进行部分分式,然后对F(z)/z部分分式和中的各项再乘以z,最后得F(z)的分式和.

如F(z)/z含有r个相同的极点,(k-r)个各不相同的极点,则F(z)/z的部分分式和为如下形式:式(1)中:是F(z)/z的单极点,是相应于的待定系数,(2)部分分式法第80页，共173页，2023年，2月20日，星期一且是F(z)/z的r重极点,r重极点有r个待定系数,且从而第81页，共173页，2023年，2月20日，星期一解:例:求的原函数.第82页，共173页，2023年，2月20日，星期一例.试求的Z反变换。解：第83页，共173页，2023年，2月20日，星期一当F(z)是有理真分式或是有理严格真分式,且其分母多项式便于分解成z的一次因式时,可用留数法直接求出f(nT)或f*(t).如,(k-r)个各不相同的极点含有r个相同的极点,则(3)留数计算法第84页，共173页，2023年，2月20日，星期一需特别指出的是,r个相同的极点只对应一个留数.例:求的原函数.解:第85页，共173页，2023年，2月20日，星期一解：例.试求的Z反变换。第86页，共173页，2023年，2月20日，星期一7.3.5差分方程的Z变换解法第87页，共173页，2023年，2月20日，星期一第7章离散系统控制理论7.1信号的采样与保持7.2差分方程7.3Z变换7.4Z传递函数7.7线性离散系统稳态性能分析7.5线性离散系统的稳定性分析7.8线性离散系统设计方法7.6线性离散系统的暂态分析7.9MATLAB在离散系统分析中的应用第88页，共173页，2023年，2月20日，星期一

7.4.1Z传递函数的概念

系统G(z)R(z)C(z)在零初始条件下，线性定常系统（环节）输出采样信号的Z变换与输入的采样信号的Z变换之比，称为该系统（环节）的Z传递函数(脉冲传递函数)。第89页，共173页，2023年，2月20日，星期一零初始条件：是指在t<0时，输入脉冲序列各采样值r(-T),r(-2T),…以及脉冲输出序列各采样值c(-T),c(-2T),…均为零。开环离散系统实际开环离散系统对大多数实际系统而言，输出c(t)往往是连续信号，而不是采样信号c*(t)，因此在系统输出端虚设一个理想采样开关，它与输入采样开关同步，该采样开关不存在，只表明了Z传递函数所能描述的c*(t)值。第90页，共173页，2023年，2月20日，星期一

若某离散系统由如下的差分方程描述：第91页，共173页，2023年，2月20日，星期一

Z传递函数G(z)和传递函数G(s)的关系因为线性系统满足叠加原理，所以，脉冲序列r*(t)作用下的输出响应c(t)可以认为是各个脉冲单独作用下系统的输出之和。第92页，共173页，2023年，2月20日，星期一设系统的脉冲响应函数为g(t)，则第1个脉冲作用下的系统输出响应：c1(t)=r(0)g(t)第2个脉冲作用下的系统输出响应：c2(t)=r(T)g(t-T)第m个脉冲作用下的系统输出响应：

cm(t)=r[(m-1)T]g[t-(m-1)T]所以，系统总的输出响应为系统的采样信号为（i=m-1）第93页，共173页，2023年，2月20日，星期一

为系统G(s)的脉冲响应函数。

令因为，当j<0时,g(jT)=0，所以R(Z)G(Z)G(S)和G(Z)之间的关系可以归纳为:脉冲响应g(t)的变换是传递函数G(S);脉冲响应g(t)采样序列）的Z变换是Z传递函数。第94页，共173页，2023年，2月20日，星期一7.4.2开环Z传递函数第95页，共173页，2023年，2月20日，星期一开环离散系统由几个环节组成时，其脉冲传递函数的求法与连续系统情况不完全相同。即使两个离散系统的组成环节完全相同，但由于采样开关的数目和位置不同，求出的开环脉冲传递函数也会截然不同。1）采样拉氏变换的两个重要性质周期性7.4.2开环Z传递函数第96页，共173页，2023年，2月20日，星期一2）有串联环节时的开环系统脉冲传递函数串联环节之间有采样开关：P241第97页，共173页，2023年，2月20日，星期一串联环节之间无采样开关：P307需指出的是第98页，共173页，2023年，2月20日，星期一例1:求下图所示开环系统的脉冲传递函数解:第99页，共173页，2023年，2月20日，星期一例2:求下图所示开环系统的脉冲传递函数解:第100页，共173页，2023年，2月20日，星期一有零阶保持器的开换系统Z传递函数第101页，共173页，2023年，2月20日，星期一例：求下列三种情况下系统的Z传递函数(a)(b)©已知第102页，共173页，2023年，2月20日，星期一已知(a)第103页，共173页，2023年，2月20日，星期一(b)第104页，共173页，2023年，2月20日，星期一©第105页，共173页，2023年，2月20日，星期一从上述三种情况分析可知，三者极点完全相同，仅零点不同。零阶保持器不影响离散系统脉冲传递函数的极点。第106页，共173页，2023年，2月20日，星期一由于采样器在闭环系统中有多种配置的可能性，有时不能写成闭环Z传递函数的表达式，只能写成系统输出的Z变换表达式。7.4.3闭环Z传递函数C(S)=G(S)E*(S)

E(S)=R(S)-H(S)C(S)

得E(S)=R(S)-H(S)G(S)E*(S)

第107页，共173页，2023年，2月20日，星期一E(S)=R(S)-H(S)G(S)E*(S)对上式采样，得E*(S)=R*(S)-[G(S)H(S)]*E*(S)则对被控对象的输出C(s)进行采样得则Z变换为第108页，共173页，2023年，2月20日，星期一系统闭环Z传递函数为从上面推导过程还可以得到系统的误差传递函数第109页，共173页，2023年，2月20日，星期一在上述推导中应特别注意的是,作为输入信号的C(s)不能用采样信号C*(s)代替。因为，对一个系统连续输入信号的响应和离散输入信号的响应是截然不同的，而作为输出信号的c(t)或C(s),可以只研究其采样时刻的值,所以能对它进行采样。这一点必须认识清楚,否则会得到错误结果。第110页，共173页，2023年，2月20日，星期一例数字控制系统的一般结构如图所示，求系统闭环Z传递函数。图中，D是数字校正装置，或计算机控制规律,其输入与输出都是离散序列，设它的Z传递函数为第111页，共173页，2023年，2月20日，星期一解C(S)=G(S)U*(S)E(S)=R(S)-H(S)C(S)=R(S)-H(S)G(S)U*(S)对E(s)采样得:E*(S)=R*(S)-[G(S)H(S)]*U*(S)则 E(Z)=R(Z)-GH(Z)U(Z)

E(Z)=R(Z)-GH(Z)D(Z)E(Z)

第112页，共173页，2023年，2月20日，星期一对输出C(s)进行采样则所以，闭环Z传递函数为从上面推导过程可以得到闭环误差Z传递函数，即由式得第113页，共173页，2023年，2月20日，星期一7.4.4带有扰动的系统的输出Z变换式

在某些系统中，扰动对输出的影响常常是衡量系统性能的一个重要指标。下面推导在系统的连续部分有扰动输入时的采样系统的输出Z变换表达式。带有扰动的系统结构图如图所示。

C(S)=G2(S)(G1(S)E*(S)+N(S))

E(S)=R(S)-H(S)C(S)

=R(S)-G1(S)G2(S)H(S)E*(S)-G2(S)H(S)N(S)第114页，共173页，2023年，2月20日，星期一对E(s)采样得则因此，Z变换为对输出C(s)进行采样得第115页，共173页，2023年，2月20日，星期一则第116页，共173页，2023年，2月20日，星期一由于扰动作用在连续环节G2(s)的输入端，所以只能得到输出量的Z变换式，而不能得到输出对扰动的Z传递函数，这和连续系统是不同的。当H(s)=1即为单位反馈系统时第117页，共173页，2023年，2月20日，星期一例:求下图所示系统的Z传递函数,采样周期T=0.07s.解:第118页，共173页，2023年，2月20日，星期一第7章离散系统控制理论7.1信号的采样与保持7.2差分方程7.3Z变换7.4Z传递函数7.7线性离散系统稳态性能分析7.5线性离散系统的稳定性分析7.8线性离散系统设计方法7.6线性离散系统的暂态分析7.9MATLAB在离散系统分析中的应用第119页，共173页，2023年，2月20日，星期一朱利稳定判据朱利稳定判据是直接在Z域中应用的稳定性判据，类似于连续系统中的赫尔维茨判据，它根据离散系统的闭环特征方程D（Z）=0的系数，判别其根是否位于Z平面上的单位圆内，从而判断该系统是否稳定。利用特征方程的系数，按照下述构造（2n-3)行、（n+1)列朱利阵列第120页，共173页，2023年，2月20日，星期一朱利阵列行数第121页，共173页，2023年，2月20日，星期一……………………第122页，共173页，2023年，2月20日，星期一朱利稳定判据特征方程D（Z）=0的根全部位于Z平面上的单位圆内的充分必要条件是：以及下列（n-1)个约束条件成立第123页，共173页，2023年，2月20日，星期一例：已知离散系统闭环特征方程为试用朱利判据判断系统的稳定性解：由于n=4,2n-3=5,所以朱利阵列有5行5列。已知则第124页，共173页，2023年，2月20日，星期一第125页，共173页，2023年，2月20日，星期一朱利阵列行数该离散系统稳定第126页，共173页，2023年，2月20日，星期一例7.28已知系统的特征方程为，判别系统稳定性。因为不满足或者因为，所以该系统不稳定。例7.29已知系统的特征方程为，判别系统稳定性。D(1)=5.7>0，D(-1)=-0.1<0，满足朱利判据的前三个条件，下面再列表检验是否满足后面的条件：满足约束条件该系统是稳定的。第127页，共173页，2023年，2月20日，星期一7.5.3修正劳斯稳定判据7.5.2舒尔-科恩稳定判据第128页，共173页，2023年，2月20日，星期一主要讨论如何在Z域或域中分析离散系统的稳定性，同时给出计算离散系统在采样瞬时稳态误差的方法。1：S域到Z域的映射为了把连续系统在S平面上分析稳定性的结果移植到在Z平面上分析离散系统的稳定性，首先要研究S域到Z域的映射的关系。7.5.3修正劳斯稳定判据第129页，共173页，2023年，2月20日，星期一（1）S平面虚轴在Z平面上的映射S平面00Z平面1第130页，共173页，2023年，2月20日，星期一（2）等线映射S平面0Z平面01第131页，共173页，2023年，2月20日，星期一（3）等线映射S平面0Z平面0由图可见，s平面上水平线，在z平面上正好映射为负实轴第132页，共173页，2023年，2月20日，星期一2:离散系统稳定的充分必要条件定义：若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该离散系统是稳定的。（1）时域中离散系统稳定的充分必要条件齐次差分方程为：第133页，共173页，2023年，2月20日，星期一设通解为则差分方程的特征方程设特征方程各有不相同的特征根则差分方程的通解为第134页，共173页，2023年，2月20日，星期一式中系数Ai可由给定的n个初值条件决定当特征方程的根i=1,2,……n,必有故系统稳定的充分必要条件是：当且仅当差分方程所有特征根的模则相应的线性定常离散系统是稳定的第135页，共173页，2023年，2月20日，星期一（2）Z域中离散系统稳定的充分必要条件设典型离散系统结构图如图所示：其特征方程式为第136页，共173页，2023年，2月20日，星期一不失一般性，设特征方程的根或闭环脉冲传递函数的极点为各不相同的z1,z2,…，zn。由S域到Z域的映射关系知：S平面Z平面稳定区域不稳定区域临界稳定第137页，共173页，2023年，2月20日，星期一Z域中离散系统稳定的充分必要条件：当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在Z平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，即，相应的线性定常离散系统是稳定的。系统是否稳定？第138页，共173页，2023年，2月20日，星期一例：设离散系统如图所示其中试分析系统的稳定性第139页，共173页，2023年，2月20日，星期一由已知解：可以求出开环z传递函数闭环特征方程为所以系统是不稳定的问题：二阶连续系统是稳定的，二阶离散系统是否是稳定的？为什么？第140页，共173页，2023年，2月20日，星期一3离散系统的稳定性判据当离散系统阶次较高时，直接求解差分方程或Z特征方程的根总是不方便的，所以人们还是希望利用间接的稳定判据，这对于研究离散系统结构、参数、采样周期等对于稳定性的影响，也是必要的。连续系统的ROUTH稳定判据，是通过系统特征方程的系数及其符号来判断系统稳定性的，在离散系统中不能直接套用该判据，必须引入另一种Z域到域的线性变换，使Z平面上单位圆内的区域映射成平面的左半平面——双线性变换或变换。第141页，共173页，2023年，2月20日，星期一变换1：变换与ROUTH稳定性判据Z平面平面令复变量Z与互为线性变换令复变量第142页，共173页，2023年，2月20日，星期一Z平面的单位圆周对应于平面的虚轴Z平面的单位圆内对应于平面的左半平面Z平面的单位圆外对应于平面的右半平面第143页，共173页，2023年，2月20日，星期一结论：离散系统稳定的充分必要条件，由特征方程1+GH（z）=0的所有根位于Z平面的单位圆内，转换为特征方程1+GH（）=0的所有根位于平面的的左半平面。根据域中的特征方程系数，可以直接应用ROUTH稳定性判据来判断系统的稳定性。域中的ROUTH稳定性判据第144页，共173页，2023年，2月20日，星期一例：设闭环离散系统如图所示，其中采样周期T=0.1秒，试求系统稳定时K的临界值。T-解：第145页，共173页，2023年，2月20日，星期一令：为了保证系统稳定所以第146页，共173页，2023年，2月20日，星期一例:设闭环离散控制系统的特征方程为:试判断此系统的稳定性.解:令代入D(z)得:列出劳斯表为:因为劳斯表有两次符号改变,所以D(w)有两个根在W平面的右半平面上,即D(z)有两个根在Z平面的单位圆的外部,故此系统不稳定.第147页，共173页，2023年，2月20日，星期一4采样周期T与开环增益K对系统稳定性的影响通过下面的例子来说明采样周期T与开环增益K对系统稳定性的影响例：设有零阶保持器的离散系统如图所示T-（1）当T=1s和0.5s时，系统的临界开环增益（2）当r(t)=1(t),K=1,T=0.1s、1s、2s、4s时系统的输出响应c(kT)。第148页，共173页，2023年，2月20日，星期一解：系统的开环脉冲传递函数相应的闭环特征方程为当T=1秒时令：由ROUTH判据第149页，共173页，2023年，2月20日，星期一当T=0.5秒时（2）闭环系统脉冲传递函数由ROUTH判据第150页，共173页，2023年，2月20日，星期一第7章离散系统控制理论7.1信号的采样与保持7.2差分方程7.3Z变换7.4Z传递函数7.7线性离散系统稳态性能分析7.5线性离散系统的稳定性分析7.8线性离散系统设计方法7.6线性离散系统的暂态分析7.9MATLAB在离散系统分析中的应用第151页，共173页，2023年，2月20日，星期一7.6.1离散系统的暂态性能指标（1）（最大）超调量（2）（最大）超调时间

（3）稳态误差

（4）调节时间

第152页，共173页，2023年，2月20日，星期一7.6.2离散系统极点分布与动态响应的关系第153页，共173页，2023年，2月20日，星期一1.实轴上的单极点对于极点的不同位置，有不同的序列（1）当是发散序列（2）当（5）当（4）当（3）当是等幅序列是单调衰减正序列，且越小，衰减越快是交替变号的衰减序列，且越小，衰减越快是交替变号的等幅序列（6）当是交替变号的发散序列第154页，共173页，2023年，2月20日，星期一2.共轭复数极点第155页，共173页，2023年，2月20日，星期一第7章离散系统控制理论7.1信号的采样与保持7.2差分方程7.3Z变换7.4Z传递函数7.7线性离散系统稳态性能分析7.5线性离散系统的稳定性分析7.8线性离散系统设计方法7.6线性离散系统的暂态分析7.9MATLAB在离散系统分析中的应用第156页，共173页，2023年，2月20日，星期一非单位反馈离散控制系统的典型结构图如下图所示:上图中,叫离散偏差信号,其Z变换表达式为:若令,则上式为:其中叫开环Z传递函数.当时,上图为单位反馈离散控制系统,叫离散误差信号.7.7线性离散系统的稳态误差分析第157页，共173页，2023年，2月20日，星期一定义离散稳态误差(或偏差)信号为:需强调指出的是,上面定义的是离散误差(或偏差)信号在采样时刻的稳态值.计算离散稳态误差(或偏差)值的方法有下面三种:(1)求出或表达式后,由定义求(2)当闭环稳定时,利用Z变换的终值定理求,即(3)当系统的输入信号分别为或为这三种信号的组合时,用稳态误差系数法求,为此,将离散闭环系统按其开环Z传递函数中含有0,1,2,…个z=1的极点个数而分为0型,1型,2型,…系统.第158页，共173页，2023年，2月20日，星期一下面介绍在典型输入信