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文档简介

所表示的曲面称为二次曲面.讨论二次曲面的性质使用截痕法：用坐标面或坐标面平行的平面与曲面相截，考察所得交线（截痕）的形状，通过截痕形状研究曲面的性状.§7.6二次曲面编辑ppt一、椭球面1.范围:

|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c.图形在x=±a,y=±b,z=±c所围成的长方体内.2.对称性:

图形关于三个坐标面、三个坐标轴及原点对称.编辑ppt3.截痕

椭球面与三个坐标面的交线：编辑ppt椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面的交线为椭圆同理与平面

和的交线也是椭圆.编辑ppt椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆

绕轴旋转而成．方程可写为球面方程可写为编辑ppt二、抛物面（与

同号）(1)范围:若p>0且q>0,

则图形在xOy平面上方，否则在xO

y平面下方.(2)对称性:图形关于z轴、yOz平面、xOz平面对称.1、椭圆抛物面编辑ppt(3)截痕10

用坐标面与曲面相截截得一点，即坐标原点设原点也叫椭圆抛物面的顶点.编辑ppt当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.与平面的交线为椭圆.与平面不相交.

20用坐标面与曲面相截截得抛物线编辑ppt与平面的交线为抛物线.它的轴平行于轴顶点30

用坐标面，与曲面相截均可得抛物线.同理当时可类似讨论.编辑pptzxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：编辑ppt特殊地：当时，方程变为旋转抛物面（由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）与平面的交线为圆.当变动时，这种圆的中心都在轴上.编辑ppt2.双曲抛物面（马鞍面）(1)范围:x,y,zR,曲面可向各方向无限延伸.(2)对称性:图形关于z轴、yOz平面、xOz平面对称.编辑ppt(3)截痕

(设p<0,q<0)

用平面z=z0

(z0

0)截曲面所得截痕为双曲线用平面x=x0

与y=y0截曲面所得截痕为这是两条抛物线.编辑ppt双曲抛物面图形如下：xyzo编辑ppt三、双曲面1.单叶双曲面(2)对称性:图形关于三个坐标轴、三个坐标面以及原点都对称.(1)范围:

故曲面在椭圆柱面的外部；编辑ppt(3)截痕用平面z=z0截曲面所得截痕为椭圆：用平面x=x0,y=y

0截曲面所得截痕为：这是两条双曲线.编辑ppt单叶双曲面xyoz的图形如下：思考题:的形状如何？编辑ppt2.双叶双曲面思考题:的图形怎样？xyoz编辑ppt例1

将二次曲面z=f(x,y)=xy用正交变换化为标准形，并由此判断是何曲面？解编辑ppt

z=xy

为双曲抛物面.存在正交变换X=CY，其中使编辑ppt例2

设f(x1,x2,x3)=XTAX

为实二次型，则

f(x1,x2,x3)=1为椭球面A为正定矩阵.证

将f(X)=XTAX

用正交变换X=CY

化为标准形

1y12+

2

y22+3

y32则

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