高数B（1）第一次作业及答案

/高数B（1）第一次作业综合练习思考题：简述数学史上的三次数学危机。论述函数与反函数的辩证关系。（3）什么叫复合函数？如果是否一定是的复合函数？举例说明。(4)分解复合函数的步骤和准则是什么？（5）谈谈数列极限中蕴含的矛盾对立统一法则。（6）叙述函数在点存在极限的“”定义，试述“”语言在极限概念严密化中的意义。（7）诠释刘徽“割圆术”的无限观（8）比较函数在点处有极限与在该点处连续的异同。（9）函数在点处连续的定义有几种？（10）中学教师出身的数学家魏尔斯特拉斯对你有何启示？习题：设求设，求及函数的定义域并作图像。（3）判断下列函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性，并作函数图像：，，，，(4)求下列函数的反函数A．B．C．D．（5）分解下列复合函数并求各函数的定义域：A．B．C．D．（6）求下列函数在定义域内某点处的增量：A．B．C．D．（7）讨论下列函数在点处的连续性：A．B．C．D．（8）利用连续函数求极限的法则求下列极限：A．B．C．（9）用观察法判断下列数列是否收敛？如果收敛，极限是什么？A．B．C．D．（10）用“”定义证明极限（11）求极限：A．B．C．D．（12）求极限：A．B．C．D．（12）两个数之和为10，写出这两个数的乘积与其中一个数的函数关系。（13）要造一个圆柱形无盖的蓄水池，容积为300立方米，底面的造价是侧面造价的2倍，设侧面每平方米造价为a元。试将整个蓄水池的造价y表示为半径r的函数。（14）1至14岁的儿童，其平均身高（厘米）与年龄x呈线性函数关系。已知1岁儿童的平均身高为85厘米，10岁儿童的平均身高为130厘米，写出y与x的函数关系。（15）一放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量为原来的84%，那么经过几年后，质量衰减一半？（16）已知汽车刹车后轮摩擦的痕迹长度s米与车速v（千米/小时）的函数关系为。今在一繁华地段发生车祸，警察侧得痕迹s为3.2米，问车祸是否超过该地段25千米/小时的时速限制？（17）在银行存入人民币1200元，年利率为11%，求存入2年零3个月后应得的本利和。如果一年结算4次，求存入2年零3个月后应得的本利和。（18）设1992年底我国人口为11.3亿，为实现2000年达小康的目标，需使2000年底我国人口不超过12亿，问人口年平均增长率应控制在多少？（精确到0.01%）（19）某房产价值3万，（A）如果每年按6%的比率线性贬值；（B）如果每年比上年按6%的比率贬值。把两种房产贬值各表示为时间的函数，并分别求10年后该房产的价值。（20）某工厂生产某产品，每日最多生产100单位。日固定成本为120元，生产一个单位产品的可变成本为5元。求该厂日总成本函数与平均单位成本函数。高数B（1）第二次作业综合练习思考题：变量变化率——到数的数学模型是怎样的？简述求导数过程中的辩证法。拉格朗日中值定理的几何意义是什么？该定理的证明方法有何典型意义？以罗尔定理为例，说明定理中条件与结论之间的逻辑关系。函数取极值的必要条件和充分条件各是什么？习题：已知自由落体的运动方程为，求：落体在（秒）到（秒）间隔内的平均速度；落体在（秒）到（秒）间隔内的平均速度；落体在（秒）时的瞬时速度。根据导数定义证明。用定义讨论函数在点处的连续性和可导性。已知抛物线，求抛物线在点处的切线方程和法线方程。抛物线上哪一点处的切线平行于直线求函数导数A.B.C.D.E.F.年G.由方程求。求函数的微分A.B.C.D.E.F.G.已知一平面圆环的内径为10厘米，外径为10.1求圆环面积的精确值；圆环面积的近似值。求的近似值。当很小时，证明。（11）下列函数在所给的区间上是否满足罗尔定理的条件？如果满足，求出符合定理的内点：A.；B.。（12）下列函数在所给的区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件？如果满足，求出符合定理的内点：A.；B.。（13）应用拉格朗日中值定理证明。（14）应用洛必达法则求极限A.B.C.D.E.F.G.（15）求函数的单调区间和极值点A.B.（16）求函数的极值与极值点A.B.（17）求函数在所给区间的最大、最小值A.B.（18）把边长为a的正方形铁皮四角各剪去一个大小相同的小正方形，而后把四边折起做成一个无盖方盒，问剪去的小正方形的边长为多长时，方盒的容积最大？（19）某厂生产某种产品件所需要的成本为元；销售后得到的总收入为元。问该厂每批生产多少件产品后才能使利润最大（利润为）？（20）作函数图像高数B（1）第三次作业综合练习思考题：德•摩根说积分就是回忆微分，你能默想导数（或微分）公式，并列出相应的基本积分公式吗？莱布尼茨在数学研究中有一个基本思想方法，即“换一种方式来考虑”。你掌握了哪一些积分法？在这些积分法中是如何体现这一基本思想方法的？定积分是求何种数量的数学模型？在建立定积分概念中如何体现辩证法？（5）叙述微积分基本定理和牛顿—莱布尼茨公式，它们在微积分中有何意义？习题：（1）用回忆导数的方法求不定积分A.B.C.（2）用基本积分法求不定积分A.B.C.（3）用第一换元积分法求不定积分A.B.C.（4）查表求不定积分A.B.C.设质量棒的线密度为，根据定积分的定义，用四步法求该质量棒的质量。根据定积分的定义证明。根据定积分的几何意义计算。（8）根据定积分的性质比较下列各值的大小A.B.C.,D.（9）求函数的导数A.B.C.D.求定积分A.B.C.D.（11）证明：设函数在上连续若为偶函数，则若为奇函数，则（12）用微元法求下列图形的面积A.以为圆心，为半径的圆。B.由抛物线与所围成的图形。C.由抛物线与直线所围成的图形。高等数学（B）（1）第四次作业一、名词解释（每题4分，共20分）1．定义域2．数列极限（描述性定义）3．平均变化率4．牛顿—莱布尼兹公式5．原函数二、填空题（每题2分，共30分）1．在数学中必须考虑的运算有两类：与。2．定积分是对的度量，求是定积分概念的最直接的起源。3．极限概念描述的是的终极状态。4．公元3世纪中国数学家的割园术，就用园内接正多边形周长去逼近这一极限思想来近似地计算的。5．奇函数图像的特点是，偶函数图像的特点是。6．反函数图像的特点是。7．函数的单调区间为。8．定积分的值为。9．极限的值为。10．函数的二阶导数为。三、计算题（每题5分，共25分）1．求的导数。2．应用微分近似代替，