2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练专题01 数列大题基础练（解析版）

2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练【一专三练】专题01数列大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2022·浙江·模拟预测）已知数列满足，.(1)若，数列的通项公式；(2)若数列为等比数列，求.2．（2022·海南省直辖县级单位·校联考一模）等差数列的首项，且满足，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和是，求.3．（2023·黑龙江大庆·统考一模）设是公差不为0的等差数列，，是，的等比中项.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.4．（2023·广东惠州·统考模拟预测）数列中，，．(1)求证：数列是等比数列；(2)若，求数列的前项和．5．（2023·广东江门·统考一模）已知数列（）满足，，且.(1)求数列是通项公式；(2)求数列的前n项和.6．（2023·江苏·统考一模）已知等比数列的各项均为正数，且，.(1)求的通项公式；(2)数列满足，求的前n项和.7．（2023·重庆·统考二模）已知数列的前项和为,且满足,且.(1)求证:数列为常数列,并求的通项公式;(2)若使不等式成立的最小整数为,且,求和的最小值.8．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知数列的前项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求的值．9．（2023·山东青岛·统考一模）已知等差数列的前n项和为，公差，，，成等差数列，，，成等比数列．(1)求；(2)记数列的前n项和为，，证明数列为等比数列，并求的通项公式．10．（2023·山东济南·一模）已知数列满足．(1)若数列满足，证明：是常数数列；(2)若数列满足，求的前项和．11．（2022·辽宁鞍山·统考一模）已知等差数列满足首项为的值，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.12．（2023·广东·统考一模）已知各项都是正数的数列，前项和满足.(1)求数列的通项公式.(2)记是数列的前项和，是数列的前项和.当时，试比较与的大小.13．（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）从①；②，；③，是，的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．已知等差数列的前n项和为，公差d不等于零，______．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，求．14．（2022·广东珠海·珠海市第三中学统考二模）已知数列，的前n项和分别为，，，．(1)求及数列，的通项公式；(2)设，求数列的前2n项和．15．（2022·云南大理·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)若数列，求数列的前项和．16．（2022·湖南永州·统考一模）已知数列满足：，且.(1)若数列为等比数列，公比为，求的通项公式；(2)若数列为等差数列，，求的前项和.17．（2022·广东韶关·统考一模）已知数列的首项，且满足，设.(1)求证：数列为等比数列；(2)若，求满足条件的最小正整数.18．（2022·河北·模拟预测）已知数列的前项和为，，且．(1)求数列的通项公式；(2)①；②；③．从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（2022·广东广州·统考一模）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.(1)求数列的通项公式：(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.20．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知数列，若_________________．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．①；②，，；③，点，在斜率是2的直线上．21．（2023·江苏南通·二模）已知正项数列的前n项和为，且，，．(1)求；(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列，求的前100项和.22．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）已知数列满足，且(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和（用具体数值作答）.23．（2023·安徽·模拟预测）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．24．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）已知为等差数列，.(1)求的通项公式；(2)若为的前项和，求.25．（2023·广东广州·统考二模）设数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)设，记的前项和为，证明：.26．（2023·江苏泰州·统考一模）在①成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且满足__________，__________.(1)求的通项公式；(2)求.注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.27．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列，前n项和为，且满足，，，，，等比数列中，，且，成等差数列．(1)求数列和的通项公式；(2)记为区间中的整数个数，求数列的前n项和．28．（2023·吉林·统考二模）已知数列的前项和为，，数列是以为公差的等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.29．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列满足，，且，，成等差数列.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.30．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知数列满足：，，设，．(1)求数列的通项公式；(2)设，，求证：．2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练【一专三练】专题01数列大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2022·浙江·模拟预测）已知数列满足，.(1)若，数列的通项公式；(2)若数列为等比数列，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用累加法求即可；（2）根据得到，，联立得到，然后代入求即可.【详解】（1）由题意得，所以.（2）设数列的公比为，因为，所以，，两式相加得，所以，当时，不成立，所以，，解得.2．（2022·海南省直辖县级单位·校联考一模）等差数列的首项，且满足，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和是，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知可得，代入，求出，即可得到通项公式；（2）由（1）知，，得到是为首项，以4为公比的等比数列.进而根据等比数列前项和公式，即可求出答案.【详解】（1）解：设公差为.由可得，.又，所以.所以.（2）解：由（1）知，.则，故是为首项，以4为公比的等比数列.所以.3．（2023·黑龙江大庆·统考一模）设是公差不为0的等差数列，，是，的等比中项.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）设的公差为，由题意可得，求出，即可求出的通项公式；（2）由裂项相消法求和即可得出答案.【详解】（1）设的公差为，因为，是，的等比中项，所以，所以.因为，所以，故.（2）因为，所以.4．（2023·广东惠州·统考模拟预测）数列中，，．(1)求证：数列是等比数列；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知等式变形得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得.【详解】（1）解：因为，所以，因为，则，，，以此类推可知，对任意的，，所以，，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）解：由（1）可知，，所以，又由题知.5．（2023·广东江门·统考一模）已知数列（）满足，，且.(1)求数列是通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）将换为代入中化简，根据定义即可判断为等比数列，由首项公比写出通项公式即可；（2）由（1）中的通项公式求得，再利用乘公比错位相减得出前n项和即可.【详解】（1）解：因为，所以，又，所以，所以，又，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以；（2）由（1）知，，所以，所以，，两式相减可得：，所以，故.6．（2023·江苏·统考一模）已知等比数列的各项均为正数，且，.(1)求的通项公式；(2)数列满足，求的前n项和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据等比数列基本量的运算可得，，即可得数列的通项公式；（2）由题可得，然后利用错位相减法求解即可；或利用裂项相消法求和即得.【详解】（1）设数列的公比为，则，，解得，所以，即的通项公式为；（2）方法一：由题可知，则，，所以，.方法二：，所以7．（2023·重庆·统考二模）已知数列的前项和为,且满足,且.(1)求证:数列为常数列,并求的通项公式;(2)若使不等式成立的最小整数为,且,求和的最小值.【答案】(1)证明见解析,(2);的最小值为:【分析】(1)中两边同除,再结合裂项即可同构出所需数列;(2)中由不等式成立的最小整数为可以确定为二次函数且开口向上,结合,即可求出,从而就确定了.【详解】（1）因为,两边同除得,,所以所以数列为常数列;所以.（2）由(1)知,数列是等差数列,所以因为,化简得;令,则成立的最小值为,所以;解得.因为,所以;所以,故的最小值为.8．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知数列的前项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据得到是以2为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式；（2）由（1）得，由等差数列求和公式得到，利用裂项相消法求和.【详解】（1）由得到，当时，，两式相减，有，得到，由于，，因为，由上述递推关系知，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以．（2）由（1）知：，则，所以数列为等差数列，所以数列的前项和为，则，所以．9．（2023·山东青岛·统考一模）已知等差数列的前n项和为，公差，，，成等差数列，，，成等比数列．(1)求；(2)记数列的前n项和为，，证明数列为等比数列，并求的通项公式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等比中项以及等差中项，结合等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，（2）根据结合前项和与通项之间的关系即可证明等比数列，由等比数列的定义即可求解通项.【详解】（1）由，，成等差数列，，，成等比数列可得，（2）由得，故，两式相减可得，而，所以为公比为2的等比数列，且首项为，故，进而10．（2023·山东济南·一模）已知数列满足．(1)若数列满足，证明：是常数数列；(2)若数列满足，求的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）计算出，得到是常数数列；（2）在（1）的基础上，得到，，利用分组求和得到答案.【详解】（1）因为，所以，所以是常数数列．（2）因为，所以，所以，所以．因为，所以，所以．11．（2022·辽宁鞍山·统考一模）已知等差数列满足首项为的值，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用对数的运算法则求得的首项，再利用等差数列的通项公式代入即可求解；（2）将（1）中代入，利用裂项求和法即可求得.【详解】（1）根据题意得，，因为数列是等差数列，设公差为，则由，得，解得，所以.（2）由（1）可得，所以.12．（2023·广东·统考一模）已知各项都是正数的数列，前项和满足.(1)求数列的通项公式.(2)记是数列的前项和，是数列的前项和.当时，试比较与的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据与的关系，结合等差数列的通项公式进行求解即可；（2）根据裂项相消法，结合等比数列前项和、二项式定理进行求解即可.【详解】（1）当时，，所以或（舍去），当时，有两式相减得，整理得，因为的各项都是正数，所以，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以；（2）由（1）得，则，所以，由（1）得所以，因为，所以，故，所以当时，.13．（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）从①；②，；③，是，的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．已知等差数列的前n项和为，公差d不等于零，______．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，求．【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）选①：先计算出，得到前项和公式，进而计算出方差和通项公式；选②：得到关于首项和公差的方程组，求出首项和公差，求出通项公式；选③：根据等比中项，列出方程，求出公差，通项公式；（2）在第一问的基础上，计算得到数列的通项公式，进而利用分组求和计算出前n项和.【详解】（1）选①．易得，解得：，即，所以，即，故，所以．选②．易得，所以，所以．选③．易得，即，解得：（舍去），所以．（2）由（1）知，所以，所以．14．（2022·广东珠海·珠海市第三中学统考二模）已知数列，的前n项和分别为，，，．(1)求及数列，的通项公式；(2)设，求数列的前2n项和．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先根据得到，再结合，求出数列，的通项公式；（2）在第一问的基础上利用分组求和进行求解.【详解】（1）在中，当n＝1时，b1﹣a1＝0，当n⩾2时，，显然b1﹣a1＝0适合上式，所以，，又，所以两式相减得，两式相加得且a1＝1，b1＝1；（2）因为，结合（1）中所求，，故15．（2022·云南大理·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)若数列，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据与的关系可得，进而得，由累加法即可求解；（2）根据分组求和，由等差等比数列的求和公式即可求解.（1）因为，所以，①当时，，②①-②得：，即，所以，所以，由，可得，当时，，符合上式，所以．（2）由题意得，则，所以．16．（2022·湖南永州·统考一模）已知数列满足：，且.(1)若数列为等比数列，公比为，求的通项公式；(2)若数列为等差数列，，求的前项和.【答案】(1)或(2)【分析】（1）先求出或，从而求出公比，根据题干条件得到，即是等比数列，从而求出通项公式；（2）先求出的通项公式，再用累乘法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和.【详解】（1）因为数列为等比数列，公比为，且，所以或所以或，又所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，故或.（2）依题意得公差，即，由于所以，从而又满足上式，所以，.故.17．（2022·广东韶关·统考一模）已知数列的首项，且满足，设.(1)求证：数列为等比数列；(2)若，求满足条件的最小正整数.【答案】(1)证明见解析(2)140【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）利用分组求和的方法得到，然后利用的增减性解不等式即可.【详解】（1），，所以数列为首项为，公比为等比数列.（2）由（1）可得，即∴而随着的增大而增大要使，即，则，∴的最小值为140.18．（2022·河北·模拟预测）已知数列的前项和为，，且．(1)求数列的通项公式；(2)①；②；③．从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由已知可得当时，，进而得，可求数列的通项公式；（2）若选①：．错位相减法可求．若选②：，可求．若选③：，分组求和可求．【详解】（1）当时，，，，，，当时，．．，，数列是以，3为公比的等比数列，．（2）若选①：，，，，．若选②：，．若选③：，．【点睛】数列求和的常见方法：①错位相减法②裂项相消法③分组求和④公式法⑤倒序相加法19．（2022·广东广州·统考一模）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.(1)求数列的通项公式：(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.【答案】(1)(2)2101【分析】（1）公式法解决即可；（2）与（，2，…）之间插入，说明在数列中有10项来自，10项来自，分组求和即可.【详解】（1）设数列的公差为，因为是和的等比中项，所以，即，因为所以或（舍）所以，所以通项公式（2）由（1）得，因为与（）之间插入，所以在数列中有10项来自，10项来自，所以20．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知数列，若_________________．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．①；②，，；③，点，在斜率是2的直线上．【答案】答案见解析.【分析】（1）若选①，根据通项公式与前项和的关系求解通项公式即可；若选②，根据可得数列为等差数列，利用基本量法求解通项公式即可；若选③，根据两点间的斜率公式可得，可得数列为等差数列进而求得通项公式；（2）利用裂项相消求和即可【详解】解：（1）若选①，由，所以当，，两式相减可得：，而在中，令可得：，符合上式，故．若选②，由（，）可得：数列为等差数列，又因为，，所以，即，所以．若选③，由点，在斜率是2的直线上得：，即，所以数列为等差数列且．（2）由（1）知：，所以．21．（2023·江苏南通·二模）已知正项数列的前n项和为，且，，．(1)求；(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列，求的前100项和.【答案】(1)，(2)186【分析】（1）根据的关系，即可求解，（2）根据的形成规律，分组即可求解.【详解】（1）因为，当时，，

因为，所以，故．当时，适合上式，所以，.（2）（方法1）因为，，所以当时，．所以所以数列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，设，则，因为，所以.

所以的前100项是由14个1与86个2组成．所以.

（方法2）设，则，因为，所以.

根据数列的定义，知.22．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）已知数列满足，且(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和（用具体数值作答）.【答案】(1)(2)66490【分析】（1）依题意为等差数列，设公差为，由，即可求出，从而得到通项公式；（2）由（1）可知，则，再利用分组求和法计算可得；【详解】（1）解：因为，所以，所以为等差数列，设公差为，因为，所以，所以，所以，即（2）解：因为，所以所以，所以23．（2023·安徽·模拟预测）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得，即可解出．【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．24．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）已知为等差数列，.(1)求的通项公式；(2)若为的前项和，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用累乘法，结合已知条件，即可求得结果；（2）利用裂项求和法，结合（1）中所求，即可求得结果.【详解】（1）∵.∴，∴，∴；当时，满足上式，所以；（2）由（1）可得，∴.25．（2023·广东广州·统考二模）设数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)设，记的前项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用计算整理得，再利用等比数列的通项公式求解即可；（2）将变形为，利用裂项相消法求，进一步观察证明不等式.【详解】（1）①，当时，②，①-②得，即，又当时，，解得，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，；（2）由（1）得，，因为，26．（2023·江苏泰州·统考一模）在①成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且满足__________，__________.(1)求的通项公式；(2)求.注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.【答案】(1)选①②，①③或②③均可得(2)【分析】（1）选出两个条件，根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，得到通项公式；（2）在第一问的基础上，得到，利用裂项相消法求和.【详解】（1）若选①②，设公差为，则，解得：，；选①③，设公差为，，解得：，；选②③，设公差为