2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练专题05 圆锥曲线大题基础练（解析版）

2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练【一专三练】专题05圆锥曲线大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知抛物线C：与直线相切．(1)求C的方程；(2)过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若，求l的方程．2．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．3．（2022秋·海南海口·高三校考期中）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且长轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求弦长.4．（2022·江苏苏州·苏州市第六中学校校考三模）已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点．(1)求双曲线的方程；(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．5．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．(1)求直线的斜率k的取值范围；(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．6．（2022秋·重庆长寿·高三统考期末）已知曲线过点和．(1)求曲线C的方程，并指出曲线类型；(2)若直线2x－y－2＝0与曲线C的两个交点为A，B，求△OAB的面积（其中O是坐标原点）．7．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第十中学校考阶段练习）已知椭圆的方程为，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点，且，如图．(1)求圆的方程；(2)如图，过点的直线与椭圆相交于两点，求证：射线平分．8．（2022春·河北唐山·高三校考开学考试）如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点.（1）求抛物线的方程；（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求的值.9．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知抛物线C；，F为抛物线的焦点，直线和抛物线交于不同两点A，B，直线和x轴交于点N，直线AF和直线BN交于点．(1)若，求三角形AMN的面积（用p表示）；(2)求证：点M在抛物线C上10．（2022·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测）已知椭圆C：经过点，离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）不过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，若AB的中点M在抛物线E：上，求直线的斜率的取值范围．11．（2022·重庆·统考模拟预测）已知抛物线：的焦点为F，直线过F且与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M，当时，点M的横坐标为2.(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线的准线交于点D，点D关于x轴的对称点为E，当的面积取最小值时，求直线的方程.12．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点.13．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考期末）已知椭圆两个焦点分别为，离心率为，且过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)P是椭圆C上的点，且，求三角形的面积.14．（2022秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）如图所示，椭圆的左､右焦点分别为､，一条直线经过与椭圆交于､两点.（1）求的周长；（2）若直线的倾斜角为，求的面积.15．（2022·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知椭圆，左焦点为，点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程．(2)若直线和椭圆交于两点，设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围．16．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．17．（2022·海南海口·统考二模）已知椭圆的离心率为，且经过点．(1)求C的方程；(2)动直线l与圆相切，与C交于M，N两点，求O到线段MN的中垂线的最大距离．18．（2022·湖南·校联考模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值.19．（2022·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）点是曲线上任一点，已知曲线在点处的切线方程为．如图，点P是椭圆上的动点，过点P作椭圆C的切线l交圆于点A、B，过A、B作圆O的切线交于点M．(1)求点M的轨迹方程；(2)求面积的最大值．20．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考阶段练习）设椭圆的左焦点坐标为，且其离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若在轴上的截距为2的直线与椭圆分别交于，两点，为坐标原点，且直线，的斜率之和等于12，求的面积．21．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线交于不同的两点､，且线段的中点在圆上，求实数的值.22．（2022秋·河北承德·高三承德市双滦区实验中学校考期末）已知椭圆C：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.（1）椭圆C的方程；（2）设直线l：交椭圆C于A，B两点，且，求m的值.23．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．(1)求抛物线C的方程；(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．24．（2022·河北·模拟预测）已知抛物线，点，为抛物线上的动点，直线为抛物线的准线，点到直线的距离为，的最小值为5．(1)求抛物线的方程；(2)直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，当直线，的斜率存在，设直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得，若存在，求出；若不存在，说明理由．25．（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）已知椭圆，左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，若为椭圆上一点，的最大值为，点在直线上，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，其中不与左右顶点重合.(1)求椭圆的标准方程；(2)从点向直线作垂线，垂足为，证明：存在点，使得为定值.26．（2022秋·福建龙岩·高三上杭县第二中学校考阶段练习）已知椭圆，离心率为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若，过的直线l交椭圆C于M､N两点，且直线l倾斜角为，求的面积.27．（2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知双曲线(a>0,b>0)的离心率为,(1)求双曲线C的渐近线方程.(Ⅱ)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆上,求m的值.28．（2022秋·江苏苏州·高三苏州中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上，圆(1)若，为圆上的动点，求线段长度的最小值；(2)若点的纵坐标为4，过的直线与圆相切，分别交抛物线于（异于点），求证：直线过定点．29．（2022秋·湖北襄阳·高三期末）若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，A1，A2分别为椭圆C1的左，右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．(1)求椭圆的方程；(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H．求证：30．（2022·湖北十堰·高三十堰东风高级中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练【一专三练】专题05圆锥曲线大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知抛物线C：与直线相切．(1)求C的方程；(2)过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若，求l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）联立方程利用运算求解；（2）分析可得，设l的方程为，联立方程结合韦达定理运算求解.【详解】（1）联立方程，消去x得，∵抛物线C与直线相切，则，解得或（舍去）故抛物线的方程C：.（2）设l的方程为，则线段AB的中点，过作抛物线的准线的垂线，垂足为N，则，即，∵，则，即，∴，联立方程，消去x得，，则，AB的中垂线的方程为，∴，则，即，解得，故l的方程为或.2．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程组，可求得的值，进而求得椭圆的标准方程.（2）联立直线的方程和椭圆的方程，消去并化简，写出韦达定理，根据中点的横坐标求得的值，进而求解.【详解】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．所以．又，所以，解得．所以．所以椭圆的标准方程为．（2）设，，由，得．则，．因为线段中点的横坐标为，所以．解得，即，经检验符合题意．所以直线l的方程为．3．（2022秋·海南海口·高三校考期中）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且长轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求弦长.【答案】(1)(2)【分析】（1）先设出椭圆方程，然后由题意可得，从而可得椭圆方程，（2）由题意可得直线的方程为，代入椭圆方程中，利用根与系数的关系，结合弦长公式可求得结果.【详解】（1）由题意设椭圆的方程为，因为椭圆经过点且长轴长为，所以，所以椭圆方程为，（2）因为直线过点且斜率为1，所以直线的方程为，设，将代入，得，整理得，所以，所以4．（2022·江苏苏州·苏州市第六中学校校考三模）已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点．(1)求双曲线的方程；(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）由渐近线可得，再把点代入方程即可解得；（2）点M到y轴的距离的即为点M的横坐标为，联立方程利用韦达定理可求，分析求解即可，但要注意讨论直线的斜率是否存在．【详解】（1）由题设可知，解得则：．（2）设点M的横坐标为当直线斜率不存在时，则直线：易知点到轴的距离为﹔当直线斜率存在时，设：，，，联立，整理得，，整理得联立，整理得，则，则，即则，即∴此时点到轴的距离大于2；综上所述，点到轴的最小距离为2．5．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．(1)求直线的斜率k的取值范围；(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．【答案】(1)；(2)证明见解析；定点.【分析】（1）根据直线，均与椭圆相交，联立方程利用求解；（2）利用韦达定理分别求M，N的坐标，进而求出直线的方程判断定点．【详解】（1）根据题意直线，的斜率均存在且不为0直线，分别为，，联立得，由得，则或，同理，则，所以k的取值范围为．（2）设，，由（1）得，所以，则，所以，则，同理，则直线的方程为，化简整理得因此直线经过一个定点．6．（2022秋·重庆长寿·高三统考期末）已知曲线过点和．(1)求曲线C的方程，并指出曲线类型；(2)若直线2x－y－2＝0与曲线C的两个交点为A，B，求△OAB的面积（其中O是坐标原点）．【答案】(1)曲线的方程为，表示椭圆(2)【分析】（1）点代入解方程组即可得出结果.（2）利用弦长公式计算即可.(1)曲线C过点和，则解得∴曲线C的方程为，表示椭圆．(2)由得，．设，，则．又O到直线2x－y－2＝0的距离为，∴△OAB的面积为．7．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第十中学校考阶段练习）已知椭圆的方程为，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点，且，如图．(1)求圆的方程；(2)如图，过点的直线与椭圆相交于两点，求证：射线平分．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据直线被圆截得的弦长公式求出圆心和半径即可求解；（2）将问题转化为证明,利用韦达定理可证明.【详解】（1）依题意，设圆心，，，解得，所以所求圆方程为：.（2）代入圆方程，得或，所以,若过点的直线斜率不存在，此时在轴上，,射线平分;若过的直线斜率存在，设其方程为，联立整理得设，所以射线平分．综上，射线平分.8．（2022春·河北唐山·高三校考开学考试）如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点.（1）求抛物线的方程；（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求的值.【答案】（1）圆的圆心坐标为，即抛物线的焦点为,……3分∴∴抛物线方程为……6分1.由题意知直线AD的方程为…7分即代入得=0设，则，……11分∴【分析】（1）设抛物线方程为,由题意求出其焦点坐标，进而可求出结果；（2）先由题意得出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，再由为圆的直径，即可求出结果.【详解】（1）设抛物线方程为，圆的圆心恰是抛物线的焦点，∴．抛物线的方程为：；（2）依题意直线的方程为设，，则，得，，．．【点睛】本题主要考查抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系；由抛物线的焦点坐标可直接求出抛物线的方程；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和抛物线定义可求出弦长，进而可求出结果，属于常考题型.9．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知抛物线C；，F为抛物线的焦点，直线和抛物线交于不同两点A，B，直线和x轴交于点N，直线AF和直线BN交于点．(1)若，求三角形AMN的面积（用p表示）；(2)求证：点M在抛物线C上【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）分别求出直线AF和直线BN及其交点M,进而求出；（2）分别求出直线AF和直线BN交点M，进而可得点M坐标符合抛物线方程，即证.(1)∵∴，，(2)，，：

①：

②联立①②：点M满足：∴M在抛物线C上．10．（2022·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测）已知椭圆C：经过点，离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）不过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，若AB的中点M在抛物线E：上，求直线的斜率的取值范围．【答案】（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）由已知，又椭圆过点，因此有，再结合，联立可解得；（2）这类题解题方法是设直线方程为，，把代入椭圆方程整理得，因此有，即，这是很重要的不等式，求的范围就要用它，另外有，这样可得点的坐标为，而点在抛物线上，因此把此坐标代入抛物线方程可得的关系，，代入刚才的不等式，就可求出的范围．试题解析：（1）由已知，又椭圆过点，因此有，又，联立可解得（2）设直线，．由得-----6分Δ=(8即﹥0（1）又故将代入得m将（2）代入（1）得：解得-68≺k≺68,考点：椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系．11．（2022·重庆·统考模拟预测）已知抛物线：的焦点为F，直线过F且与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M，当时，点M的横坐标为2.(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线的准线交于点D，点D关于x轴的对称点为E，当的面积取最小值时，求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，根据焦点弦的性质得到，从而求出，即可得解；（2）设，联立直线与抛物线，消元、利用韦达定理得到，从而得到，则最后利用基本不等式求出最小值，即可得解；（1）解：设，由题知时，，故抛物线方程为；（2）解：设，联立抛物线方程得，∴，，而，，所以，当且仅当时等号成立，故直线的方程为．12．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，进而根据的关系即可求解，（2）联立直线与双曲线的方程得韦达定理，根据两点坐标求解直线的方程，即可求解过定点.【详解】（1）由题意，设右焦点的坐标为，双曲线的渐近线方程为：，右焦点到其中一条渐近线的距离为，可得，又因为，解得，故双曲线的标准方程为.（2）当直线的斜率不为0时，设，则联立方程组，得整理得：.，且，,，令得，，直线过定点.当直线的斜率为0时，此时直线:，此时均在轴上，故直线过定点.综上：直线过定点.13．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考期末）已知椭圆两个焦点分别为，离心率为，且过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)P是椭圆C上的点，且，求三角形的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据离心率为，可得，再将点代入求得，即可得出答案；（2）根据椭圆定义求得，再利用余弦定理求得，从而可得出答案.【详解】（1）解：因为椭圆的离心率为，则，所以，即，又，即，所以，所以椭圆C的标准方程为；（2）解：因为，，由，即，所以，所以.14．（2022秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）如图所示，椭圆的左､右焦点分别为､，一条直线经过与椭圆交于､两点.（1）求的周长；（2）若直线的倾斜角为，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由椭圆方程求得､，结合椭圆的定义，即可求得的周长；（2）根据题意，得到直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，得到，再结合和三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由题意，椭圆方程，可得､，则，所以的周长为.（2）由（1）知，可得､，又由，所以直线的方程为，联立方程组联立消去并整理，可得，因为恒成立，设､，所以，，所以，所以.15．（2022·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知椭圆，左焦点为，点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程．(2)若直线和椭圆交于两点，设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意求出即可得到椭圆的标准方程（2）设的坐标分别为，利用“点差法”可以求的的轨迹方程，再结合，消去，求解出的取值范围即可【详解】（1）左焦点为，①又点在椭圆上，②椭圆中③由①②③可得：故椭圆的标准方程为：（2）设的坐标分别为，则有①，②，，由①-②可得：，即，将条件及，带入上式可得点的轨迹方程为，所以，所以所以线段长度的取值范围为16．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）；（2）证明见解析，.【分析】（1）利用已知和的关系，列方程组可得椭圆的标准方程；（2）直线斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，可得，利用根与系数的关系代入化简，可得直线所过定点．【详解】（1）由得，所以椭圆的标准方程为.（2）当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意.所以直线斜率存在，设直线的方程为.设、，由得，所以，.

因为，所以，即，整理得化简得，所以直线的方程为，所以直线过定点.17．（2022·海南海口·统考二模）已知椭圆的离心率为，且经过点．(1)求C的方程；(2)动直线l与圆相切，与C交于M，N两点，求O到线段MN的中垂线的最大距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根据题意列出方程组，再解方程组即可.（2）当的斜率不存在时，到中垂线的距离为0．当的斜率存在时，设，，．根据直线与圆相切得到，求出中垂线得到到中垂线的距离为，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】（1）由题知：，解得.所以的方程为．（2）当的斜率不存在时，线段MN的中垂线为轴，此时到中垂线的距离为0．当的斜率存在时，设，，．因为与圆相切，则到的距离为，所以．联立方程，得，则，可得的中点为．则MN的中垂线方程为，即．因此到中垂线的距离为（当且仅当，时等号成立）．综上所述，到线段MN的中垂线的最大距离为．18．（2022·湖南·校联考模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意可得，，解出；（2）设直线：，根据直线与椭圆相切可得，分别求出、坐标，计算整理．（1）设椭圆的半焦距为，，将代入得，所以，因为点是椭圆上一动点，所以，所以面积，由，求得，所以椭圆的方程为：.（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，整理可得，因为直线与椭圆相切，所以，得，因为椭圆的右焦点为，将代入直线得，所以，所以，将代入直线可得，所以，所以，，将代入上式，得，所以为定值.19．（2022·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）点是曲线上任一点，已知曲线在点处的切线方程为．如图，点P是椭圆上的动点，过点P作椭圆C的切线l交圆于点A、B，过A、B作圆O的切线交于点M．(1)求点M的轨迹方程；(2)求面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用题设中给出的切线的计算方法结合设而不求的方法可求点M的轨迹方程；（2）结合（1）的及点到直线的距离公式可求面积的表达式，利用基本不等式可求面积的最大值.（1）设，则，设，则，，设，则，故即，所以即所以即的轨迹方程为：.（2）由（1）可得，故直线.到的距离为，故面积，因为，故即，当且仅当时等号成立，故面积的最大值为.20．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考阶段练习）设椭圆的左焦点坐标为，且其离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若在轴上的截距为2的直线与椭圆分别交于，两点，为坐标原点，且直线，的斜率之和等于12，求的面积．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题可列出关于的方程，再结合即可求解；（2）由题意可设：，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值，可得出直线的方程，然后利用弦长公式，点到直线的距离公式及三角形面积公式即得.【详解】（1）因为椭圆的左焦点坐标为，且其离心率为，所以，解得，所以，故所求椭圆方程为；（2）若直线垂直于轴，则、的斜率都不存在，不合题意，所以直线斜率存在，设：，、，联立，化简可得，由，解得或，所以，，所以，解得，所以直线的方程为，此时，，所以，点到直线的距离为，所以的面积为.21．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线交于不同的两点､，且线段的中点在圆上，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算.【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：（2）由得设，则，，所以则中点坐标为，代入圆得，所以.22．（2022秋·河北承德·高三承德市双滦区实验中学校考期末）已知椭圆C：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.（1）椭圆C的方程；（2）设直线l：交椭圆C于A，B两点，且，求m的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离可知，进而利用离心率的值计算即得结论；（2）设，联立直线与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出.【详解】解：（1）由题意可得，解得：，，椭圆C的方程为；（2）设，联立，得，，，，解得.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质､韦达定理､弦长公式，属于中档题.23．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．(1)求抛物线C的方程；(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．【答案】(1)y2＝4x(2)证明见解析【分析】(1)把已知点坐标代入抛物线方程求得参数，即得抛物线方程；(2)设AB：x＝my+t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得，代入得参数值，从而可得定点坐标．【详解】（1）P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x．（2）证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，所以Δ＞0⇒16m2+16t＞0⇒m2+t＞0，，同理：，由题意：，∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，∴y1y2＝4，∴﹣4t＝4，∴t＝﹣1，故直线AB恒过定点(﹣1，0)．24．（2022·河北·模拟预测）已知抛物线，点，为抛物线上的动点，直线为抛物线的准线，点到直线的距离为，的最小值为5．(1)求抛物线的方程；(2)直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，当直线，的斜率存在，设直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得，若存在，求出；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）根据抛物线的定义以及共线时距离最小即可求解.（2）联立直线与抛物线方程，进而根据两点斜率公式表达，即可求解.【详解】（1）设抛物线的焦点为，根据抛物线的定义得，，由于，解得，则拋物线的方程为（2）设，将代入抛物线的方程，整理得所以，同理，则,所以，25．（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）已知椭圆，左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，若为椭圆上一点，的最大值为，点在直线上，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，其中不与左右顶点重合.(1)求椭圆的标准方程；(2)从点向直线作垂线，垂足为，证明：存在点，使得为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用已知条件建立方程求出的值即可；（2）分析直线斜率是否存在，存在时设直线方程，联立方程组消元，写出韦达定理，然后设直线，直线的方程，由两直线联立可知交点为，且点在直线上，建立等式，代入韦达定理求解即可.【详解】（1）由题意可得：，设，，那么，可知，当且仅当取得等号，所以，即的最小值为.又的最大值为，所以，所以，又，所以解得，，所以椭圆C的标准方程为.（2）证明：由题意可知，直线斜率为0时，显然不成立；设直线，点，，联立直线与椭圆，整理可得：，，，设直线，直线，两直线联立可知交点为，且点在直线上解之：，所以：，即：.而，代入上式，，即：，然后韦达定理代入可得：，解之可得：或（舍）.可知直线MN过定点，又由条件：，所以Q在以AE为直径的圆上，圆心即为，为定值.26．（2022秋·福建龙岩·高三上杭县第二中学校考阶段练习）已知椭圆，离心率为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若，过的直线l交椭圆C于M､N两点，且直线l倾斜角为，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由椭圆的离心率及所过的点列方程组求参数、，写出椭圆方程.（2）根据直线与椭圆相交，应用相交弦的弦长公式求，由点线距离公式求到的距离，进而求的面积.【详解】（1）由题设，，则，故，∴椭圆C的标准方程为.（2）由题设易知：直线l为，联立椭圆并整理得：，∴，，则，到的距离为，∴27．（2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知双曲线(a>0,b>0)的离心率为,(1)求双曲线C的渐近线方程.(Ⅱ)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆上,求m的值.【答案】（1）（2）【分析】⑴由，，由此可以求出双曲线的