第一章函数、极限与连续(答案)3848

第一章函数、极限与连续(一)a,1．区间表示不等式(B)A．axB．axC．D．axax32．若tt31，则t1(D)A．31B．62C．92D．93t63t32tttt3．设函数ln3152xarcsinx的定义域是(C)fxx1,1D．1532521,1,1,A．B．C．34．下列函数与相等的是(A)fxgxA．fxx2，gxB．，2x4fxxgxxfxC．x1x121D．fxxgxx，1x1x1gx，x15．下列函数中为奇函数的是(A)sinx22xx2A．yB．C．sinx2D．yx2cosxxsinxyxexx2fx1，则的值域为(B)fxx2x26．若函数，A．0,2B．0,3C．0,2D．0,37．设函数fxex(x0为(B)12)，那么fxfxC．fxxxfx2fxxB．f1A．D．fx11212x2fx,28．已知在区间上单调递减，则fx4的单调递减区间是(C)0,,,0A．B．C．D．不存在yfx的图形对称于直线(C)1yfx9．函数与其反函数A．y0B．x0yxC．D．yx110．函数y10x12的反函数是(D)x1A．ylgx2B．ylog2C．logxx1lg2D．yyx2ax,x是有理数fx0a1，则(B)11．设函数0,x是无理数fxA．当x时，是无穷大B．当x时，是无穷小fx时，是无穷小fxxC．当fxx时，是无穷大D．当12．设在上有定义，函数在点x左、右极限都存在且相等是函fxRfx0数在点x连续的(C)fx0A．充分条件B．充分且必要条件C．必要条件D．非充分也非必要条件x2a,x1fx13．若函数在上连续，则的值为(D)Racosx,x1A．0B．1C．-1D．-214．若函数在某点x极限存在，则(C)fx0A．在x的函数值必存在且等于极限值fx0B．在x函数值必存在，但不一定等于极限值fx0C．在x的函数值可以不存在fx0D．如果fx存在的话，必等于极限值012340，，，，，…是(B)345615．数列A．以0为极限B．以1为极限n2C．以为极限D．不存在在极限n16．limxsin1(C)xxA．B．不存在C．1D．012x17．lim1(A)xx21A．B．C．0D．e2218．无穷小量是(C)A．比零稍大一点的一个数C．以零为极限的一个变量B．一个很小很小的数D．数零2x,1x0fxfx2,0x1则的定义域为1,3，0=2，f19．设x1,1x3f1=0。yfx0,120．已知函数的定义域是，则fx的定义域是1,1。2x1fffx，11x21．若，则x。fxffxx22．函数ye的反函数为ylnx1。x123．函数5sinyx的最小正周期2T。1x11。1x，则fx124．设fx2xx23225．limn3nn1x。11114。24112n26．limn113393n27．limxlnx0。x02x33x2220330。203028．xlim5x155050x,x1fxx1,1x2的不连续点为129．函数。3x,x230．nlim3sinxx。n3nfx31．函数的连续区间是,1、1,1、1,。1x213,axbx0fxab0fx32．设，处处连续的充要条件是abx2x,x0b0。1,x0fx33．若gx，sinx，复合函数的连续区间是fgx1,x0k,k1，k0,1,2。x2均为常数，1，2b34．若limxaxb0，，ab则a。x135．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪既非奇函数又非偶函数？(1)yx21x偶函数2(2)y3x2x3非奇函数又非偶函数(3)y11xx22偶函数奇函数1(4)yxxx1(5)ysinxcosx1非奇函数又非偶函数(6)yaxax偶函数236．若ft1。25225t，证明ftfttt2t证：f212t25t511tt2tft37．求下列函数的反函数2x2x1(1)y解：y1lnx1x4y12sinxx11(2)1arcsinx12y1arcsinx1238．写出图1-1和图1-2所示函数的解析表达式yy211xx-1图1-1图1-2解：(1)y2,x01,x01,x0(2)yxx1,x0sinx,x0，求limfx。39．设fxxx01x,0x2fxlimsinx1x解：limx0x0limfxlim1x21x0x0故limfx1。x040．设x1222n2n，求limx。3n2nnnnn121n12lim22n2nlim6n解：33n2n2nn121112n12nn1nlimnlim662n5fxxfx。lim141．若，求fxxx2x0112xx解：limx2xx0limxx02x22xxx2x2xx2limx0x2xx2x311n2211。n2n42．利用极限存在准则证明：limnnn2n211n21n2n2n证：∵n2nnn2n2n21，n1，由夹逼定理知2且limnn2nlimnn21limn1n2211n2nn2n43．求下列函数的间断点，并判别间断点的类型1x，(3)yx，(4)yx2x2xy，(2)y(1)1xx2解：(1)当x1为第二类间断点；(2)x2均为第二类间断点；(3)x0，为第一类断点；(4)x0,1,2,，均为第一类间断点。x,0x11fx,x144．设，问：21,1x2(1)lim存在吗？fxx1fx1，limfx1，故limfx1fx解：lim存在，事实上lim。x1x1x11x1fx(2)在x1处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，则6补充定义，使其在该点连续。x,0x1，则fx解：不连续，x1为可去间断点，定义：fx1,x1**1,1x2在x1处连续。21,0x1，yxfx45．设x3,x1x(1)求出的定义域并作出图形。fx01解：定义域为0,，1，2时，连续吗？fx1x(2)当21解：2x，x2时，fx连续，而x1时，fx不连续。(3)写出的连续区间。fx解：fx的连续区间0,1、1,。x0,x20x2x22,，求出的间断点，并指出是哪一fxfx4x2,46．设4,类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。，f02，故x0为可去间断点，改变fx在x0(1)由limfx4解：x0的定义为f04，即可使fx在x0连续。(2)由limfx4，limfx0，故x2为第一类间断点。x2x2(3)类似地易得x2为第一类间断点。47．根据连续函数的性质，验证方程x53x1至少有一个根介于1和2之间。验证：设fxx53x1，易知fx在1,2上连续，且f130，f22561250，故1,2，使f0。x48．验证方程21x至少有一个小于1的根。7fxx2x1，易知f010，验证：设fx在0,1上连续，且f0。f110，故1,2，使(二)1．在函数的可去间断点x处，下面结论正确的是(C)fx0A．函数在fxx左、右极限至少有一个不存在0B．函数在fxx左、右极限存在，但不相等0C．函数在fxx左、右极限存在相等0D．函数在x左、右极限都不存在fx0x13sinx,x0，则点x00是函数的(D)fxfx2．设函数0,A．第一类不连续点B．第二类不连续点C．可去不连续点D．连续点fx0，则(C)3．若limx0为任意函数有limfxgx0成立时，A．当gxxx0B．仅当limgx0时，才有limfxgx0成立xx0xx0为有界时，limfxgx0成立能使C．当gxxx0为常数gxlimfxgx0成立D．仅当时，才能使xx0及lim4．设limfxgx都不存在，则(D)xx0xx0fxgx及limfxgx一定不存在A．limxx0xx0及limfxgx一定都存在fxgxB．limxx0xx0及limfxgx中恰有一个存在，fxgxC．lim而另一个不存在xx0xx0及limfxgx有可D．limfxgx能存在xx0xx08x2sin1x5．limsinx的值为(D)x0A．1B．C．不存在D．0sin1x2(A)6．x1limx1x22112A．B．C．0D．3337．按给定的的变化趋势，下列函数为无穷小量的是(C)x1xx2A．x4x1(x)1(x)B．1xxC．12x(x0)8．当x0D．(x0)sinx时，下列与同阶(不等价)的无穷小量是(B)xB．ln1xA．xxsinC．sinD．1exx2x1x212gx9．设函数12x，fgx，则为(B)fx2A．30B．15C．3D．1x22x12fxx24(0x2)的值域为，Egx10．设函数2的值域为，则有(D)FA．EFEFB．EFC．D．EF11．在下列函数中，与表示同fxgx一函数的是(D)fxx0xx2A．1fx，1gxB．，gxxC．fxx2，gxxgxxD．fx3x3，12．与函数2x的图象完全相同的函数是(A)fxC．D．arcsinsin2xA．lneB．sinarcsin2x2xeln2x13．若x1，下列各式正确的是(C)1x1x1C．3x1D．A．1B．2x914．若数列x有极限，则在的领域之外，数列中的点(B)aanA．必不存在B．至多只有限多个C．必定有无穷多个D．可以有有限个，也可以有无限多个15．任意给定M0，总存在X0，当时，xXfxM，则(A)limfxA．B．limfxxxlimfxC．D．limfxxxlimfx与limfx存在，则(C)16．如果xxxx0A．limfx存在且limfxfx00xxxx00B．limfx存在，但不一定有limfxfx0xxxx0C．limfx不一定存在0xx0D．limfx一定不存在xx017．无穷多个无穷A．必是无穷小量B．必C．必是有界量D．是无穷小量之和，则(D)是无穷大量小，或是无穷大，或有可能是有界量，则18．yarccoslnx它的连续区间为(C)12A．x1B．x2e1,22,e1C．1,22,1D．ee3nxn1nxlim19．设fx，则它的连续区间是(B),A．1nB．(n为正整数)处x1处n,00,C．x0D．及x,x0要使fxfx20．设ex在x0a处连续，则(B)ax,x0A．2B．1C．0D．-1101xsin,x0x0，若在上是连续函数，则fx,fx21．设x3a,a(C)1A．0B．1C．D．333x1,x122．点x1fx1,x1的(C)是函数3x,x1A．连续点B．第一类非可去间断点C．可去间断点D．第二类间断点xx23．方程10至少有一根的区间是(D)4C．2,3D．1,2121A．0,B．,1224．下列各式中的极限存在的是(C)C．lim2x25x3x21D．lim1211A．limsinxxB．limex0xxxx025．limx(D)sinxx0A．1B．0C．-1D．不存在lim2。126．1n2n2n2n2nx213，则1x21。fx27．若fxxx228．函数ylnx1的单调下降区间为,0。229．已知lima2n2bn52，则0，6。ab3n2nx2ax30．limxe，则a2。2x1131．函数的不连续点是x0，是第二类不连续点。fxex1132．函数sin1的不连续点是0，是第二类不连续点。xfxx33．当x01x1~x。时，31fx1xfxx，为使在0连续，则应补充定义1。xe34．已知0fx35．若函数1fx与函数的图形完全相同，则的取值范围是xgxx0,。fxxx3，若0fxx，则fx0或±1；若0x，则36．设1,01,。0,1,1；若0fxx；则2x,x05x,x010x,x0fxgx，fgx37．设，则。x,x03x,x06x,x038．设0u域1,e。1，函数有意义，则函数的定义fuflnxx39．设数n1S，那么lim1SSS列n1的前n项和为nxn12n12。x40．如果x0时，要无穷小1cos与sin2等价，应等于xaa2。2axb10，则应满足b1。41．要使limbxx0limx1x42．0。2x1x2,x1时，函数连续。fxfxA，当43．函数21xA,x1xaxb244．已知lim2，则2，-8。abxx22x2e1,x045．fx；若无间断点，fxlimfx，02xa,x0x0a则0。1201fxx046．函数sin在点处可可连续开拓，只须令0。xfx1cosx147．lim。2x0x2cosxx348．limx0。ex1cos2x1。249．x0limx250．设，0，下列等式成立：yGxxln，证明：当x0(1)GxGyGxy证：GxGylnxlnylnxyGxyx(2)GxGyGyx证：GxGylnxlnylnxGyy1,x151．设，gxex，求和。fgxgfxfx0,x11,x11,gx11,x0解：fgx0,gx10,x0，1,gx11,x0x1x1e,gfxefx1,e1x1xzyz，证明：y。1yzlg52．若x1ylg1zlg11yyzzyzyz解：yzlg1y1z13yz11yzlg1yzlg1yzyzyzyz1yzyz11yz故结论成立。53．根据数列极限的定义证明：(1)lim3n132n12x3n1352n1222n15n2，只要n5，取证：0，要使AN5，则当nN时，恒有3n13，即2n12lim3n13。n212x(2)limn1n0n0，因n12，要使1n21，证：n1n1nn只要n，取N112nN时，恒有n1n，则当，即222limn1n0。n(3)lim09991nn个11，10n证：，只要，要使099990，因09999110nnn个09999，即时，恒有即只要n101。取Nlog1，则当nNlog10n个lim09991。nn个n2n(4)limn1nn1nn，只要n1。取n2n2证：0，因nnnnn214nnn2n1。nN1，当2nN时，恒有1，即limnn54．根据函数极限的定义证明(1)limxsin10xx00，因xsin1x，要使xsinx1证：，只要x。，则x110。x当x时，恒有xsin，即limxsinx0x(2)lim12x2323x2x12x221，要使12x2210，因3x2，要使x3，证：33x23x2312x212x22。3132取z，则当xX时，恒有，即limx3x233x2(3)limarctgx0xx2arctgx2证：，只要x2，取z，则当xz时，0，因xxarctgxarctgx0。恒有，即xlimxx(4)limx20x2证：0，要使x2，只要0x2，取2，则当2limx20。，即0x2时，恒有x2x255．求下列极限x21x03x2x2(1)lim解：原式1215(2)limxn1(，nm为正整数)，x1xm1解：原式limx1x2xnnn0x1xmxmxm120(3)lim1xx1x11解：原式limx11x1x(4)limxcosxx7x1cosx解：原式xlim17x1x4x75x88119(5)limx2x3100解：原式lim481519x1004315192x100100x11x13(6)limx13xx1x21解：原式lim1x1xx2x1(7)lim1cos2xxsinxx02sin2xxsinx解：原式limx02(8)limcosxx2x2sinx21解：原式limx2x216(9)limarcsinxxx0t解：令sint，原式limx01xsint(10)limsin2xaxsin2axa0lim2sinxcosxlimsin2xsin2a0解：原式xaxa1(11)lim12x0xx解：原式e21x1x(12)limx01x1lim1xex解：原式e2e1x01lim1xxx0(13)lim1tgxcosxx0sinx解：原式lim1x0tgx1e01tgx1kx(14)lim1(为正整数x)kx1kx解：原式lim1xekx56．当x0x时，求下列无穷小量关于的阶(1)x3x6解：3阶7(2)x23sinx解：阶31x1x(3)解：1阶3阶(4)tgxsinx解：xaxb，其中，，至少有一个正根，并且不sin57．试证方程a0b0ab超过。17证：令fxxasinxb，则f0b0，fababasinabb00,ab，使f0。且fxCa,ab，故0,a上至少存在58．设fxfa在闭区间0,2上连续，且02，则在af。一个x，使fxfxa证：令xfxfxa，于是x在0,a上连续，由于条件0f0faf2afa(若00，则显然结果成立，若00)afaf2afaf0，显然0a0，故a,b使0,a使fxfxa。fxfxa，综上，59．设fxab在,上连续，且，，试证：a,bfaafbb在内至少有一点，使f得：。证：令xfxx，于是x在a,b上连续，且afaa0，a,b，使0，即f。bfbb0，故60．设数列x有界，又limy0xy0。，证明limnnnnnn由假设不妨设xM，为一正数，0，由limy0，故自然Mnn证：n数，当xN时，恒有y，故恒有xyM，即limxy0。nMMnnnnn123n361．设x3，求limx。33n4n4n4n4nnnn2n112解：原式limn4n443x,1x1，求lim及lim。fxfx62．设fx2,x1x0x13x,1x22fxlim3x0解：limx0x018fx3，故limlimfxlim3x23，limfxlim3x3x10x10x10x10x1exex63．求limxexe。x解：原式lim1e2x11e2xx64．求lim2sinxsin2xx3x04sinxsin2xsin2x212sinx1cosx解：原式limx0limx02limx0x3x3x2465．求下列极限(1)limet1tt2解：原式e212sin2x(2)lim2cosxx42sinxcosx2cosxsinxcosx22解：原式limlimcosxx4x45x4xx1(3)limx1412x解：原式limx15x4xx1(4)limsinxsinaxaxa解：原式limcosxcosaxa(5)limxxxx22x解：原式limlimx2x21111x1xxxx22xx19(6)lim13tgxcosx2x03tg2cosx1解：原式lim13tgxe01tg2x23x0(7)limex1xx00解：原式limex10xa(8)lim2x3x121xx2x12x12x122x1lim1x2e解：原式xln1x66．求limx0。0lim0111x解：原式1x0(三)1．若存在0，对任意0，适合不等式的一切x，有xafxL，则(D)A．在不存在极限fxaa,a严格单调B．在fx，a,a无界D．对任意xa,afxLC．在fx2．若存在0，对任意0，适合不等式的一切x，有xafxL，则(C)B．在R上无界fxfxLA．limxaC．在上有界fxRD．在上单调fxR20xn3．函数limn0)，则此函数(A)(xfx1xn2x2nA．没有间断点B．有一个第一类间断点C．有两个以上第一类间断点D．有两个以上间断点，但类型不确定kx7y4．若函数的定义域为，则的取值范围是(B)Rkkx24kx3A．0k3B．k0或k3C．34D．3k0k4445．两个无穷小量与之积仍是无穷小量，且与或相比(A)A．是高阶无穷小C．可能是高阶，也可能是同阶无穷小D．与阶数较高的那阶同阶(B)B．是同阶无穷小6．试决定当x0x时，下列哪一个无穷小是对于的三阶无穷小xaxa(a0是常数B．A．)3x23C．0.0001x2D．3tanxx37．指出下列函数中当x0时(D)为无穷大sinx1secx1A．2x1B．C．D．exex1x1x,x08．fxfx，如果在x0k处连续，那么(D)xk,x01A．0B．2C．D．12x1x19．使函数yx31为无穷小量的的变化趋势是(C)xA．x0B．x1C．x1D．xxy，则z=110．设，若。fxfxfyfzxxyx,x0x,x0fx11．若x，则0,x0。x,x0而fx2xx,x0211ex,x00x1fx3x,在x1a处连续，则12．若0。2axeax1,1xe13．设limx3ax2x4a有有限极限值L，则L4，10。x1x1xaxa(x22a。114．lima0)=xa2a15．证明limsinx不存在。x，，k0使2kM，2k3M，1422设limsinxA，但对x但sin2k1，sin2k1，而1，1不能同时落在31422内，故limsinx不存在。x16．求lim1xn(0x1)。nnxn1解：原式lim1nx1nnxn117．求lim39。xxxx解：lim39x1x（）xxlimln39xxxelime1ln39xxxxxlimln339ln39xxxe339lim3xln39xln9393xln39xln93x9xeexxxxxxx0，试证：在fx18．设gx在x0处连续，且g00，以及fxgx处连续。证：0，由于gx在x0处连续，所以0，当x时，恒有gxg0gx，由假设fxgx，g00，易知fx0，故当x时，恒有fxf0，即fx在x0处连续。2219．利用极限存在准则证明：数列2，22，222，…的极限存在。证：设x,2,,x2x，n1,2,，n1n以下证明①x有上界；②x单增nn①（用归纳法证）当n1时，x22，假定x2nk时，，则1k当nk时，x2x2，所以x2(n1,2,)1k1nn②x单调增加nx2x1由于2xx2事实上xx2xxnnnnxx22xxnn1nnnnnnx2，所以xx0，由①②，据极限存在准则Ⅱ知limx存在。nn1nnn20．设适合fx1c(、、均为常数)且，试证：abcabafxbfxx。fxfx1证：由于fx满足：afxbfc(a、b、c为常数xx)1x故fx满足：afxbfcx1afxfxbff0，∵ab。xx1得：,fx0fxyfxfy21．设函数在f内有定义，，，试求f1985。解：由于f0f01985f0f1985，且由假设f00，故f19851。22．设、、都为单调增加函数，且对一切实数x均有：xxfxxffxx。xfxx，求证证：xR，有xfxx，由于fx的单增性，可知ffx，23xfx，∵fxx，∴fxx，于是得∴xffxx23．证明fxsin2当x0时左右极限不存在。x2证：不妨设limsin2A，对1，0，k0，使0，2x2k0x22222，但sinsin2k1，03sin322k2k222k2sin2k1，而1，-