初中数学联赛专题讲座(几何部分)

初中数学联赛专题讲座几何一、竞赛大纲要求:1．三角形中的边角之间的不等关系。2．面积及等积变换。3．三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。4．相似形的概念和性质。5．圆，四点共圆，圆幂定理。6．四种命题及其关系。二、历届联赛几何试题情况分析：2008年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。2007年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。2006年，选择题1个，填空题1个，解答题2个。2005年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。2004年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。2003年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。2002年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。2001年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。2000年，选择题2个，填空题0个，解答题1个。三、例题分析例1(08)如图，设AD，BE，CF为△ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为（）（A）（B）4（C）（D）【解】因为AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆，于是△AEF∽△ABC，故==，即cos∠BAC=，所以sin∠BAC=。在Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6×=；例2(08)在△ABC中，∠ABC=12°，∠ACB=132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，则（）（A）BM>CN（B）BM=CN（C）BM<CN（D）BM和CN的大小关系不确定【解】∵∠ABC=12°，BM为∠ABC的外角平分线，∴∠MBC=(180°–12°)=84°，又∠BCM=180°–∠ACB=180°–132°=48°，∴∠BCM=180°–84°–48°=48°，∴BM=BC，又∠ACN=(180°–∠ACB)=(180°–132°)=24°，∴∠BNC=180°–∠ABC–∠BCN=180°–12°–(∠ACB+∠CAN)=12°=∠ABC，∴CN=CB，因此，BM=BC=CN；例3(08)如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AM=，∠MAN=135°，则四边形AMCN的面积为。【解】设BD中点为O，连AO，则AO⊥BD，AO=OB=，MO==，∴MB=MO–OB=。又∠ABM=∠NDA=135°，∠NAD=∠MAN-∠DAB–∠MAB=135°–90°–∠MAB=45°–∠MAB=∠AMB，所以△ADN∽△MBA，故=，从而DN=∙BA=×1=，根据对称性可知，四边形AMCN的面积S=2S△MAN=2××MN×AO=2××(++)×=；例4(08)如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB=BC。（1）证明：点O在圆D的圆周上；（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值。【解】（1）连OA，OB，OC，AC，因为O为圆心，AB=BC，所以△OBA∽△OBC，从而∠OBA=∠OBC，因为OD⊥AB，DB⊥BC，所以∠DOB=90°–∠OBA=90°–∠OBC=∠DBO，所以DB=DO，因此点O在圆D的圆周上；（2）设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于点E，易知BE⊥AC。设AC=2y（0<y≤a），OE=x，AB=l，则a2=x2+y2，S=y(a+x)，l2=y2+(a+x)2=y2+a2+2ax+x2=2a2+2ax=2a(a+因为∠ABC=2∠OBA=2∠OAB=∠BDO，AB=BC，DB=DO，所以△BDO∽△ABC，AECBDOH所以=，即=，故r=，所以r2==∙=∙()3≥，即r≥，其中等号当a=y时成立，这时AC是圆O的直径.所以圆D的的半径r的最小值为。AECBDOH例5(07)已知锐角△的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则∠的度数是（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）75°.【解】锐角△的垂心在三角形内部，如图，设△的外心为，为的中点，的延长线交⊙于点，连、，则//，//，则，所以∠＝30°，∠＝60°，所以∠＝∠＝60°.故选（C）.例6(07)设是△内任意一点，△、△、△的重心分别为、、，则的值为（）（A）.（B）.（C）.（D）.【解】分别延长、、，与△的三边、、交于点、、，由于、、分别为△、△、△的重心，易知、、分别为、、的中点，所以.易证△∽△，且相似比为，所以.所以.故选（A）.例8(07)已知直角梯形的四条边长分别为，过、两点作圆,与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为____4_____.ABCDEFGMN【解】延长交⊙于点，设的中点分别为点，则易知.因为，由割线定理，易证，所以.ABCDEFGMN例9(07)如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点.证明：∠=∠.【解】设与交于点，∵//，∴△∽△，∴,∴.又∵//，∴△∽△，∴,∴.∴,故又∠=∠，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PMC，∴NF//MC∴∠ANF＝∠EDM.又∵ME//BF，∴∠FAN＝∠MED.∴∠ANF＋∠FAN＝∠EDM＋∠MED，∴∠AFN=∠DME.例10（06）如图，正方形内接于⊙，点在劣弧上，连结，交于点．若，则的值为（）（A）（B）（C）（D）【解】如图，设⊙的半径为，，则，，．在⊙中，根据相交弦定理，得．（第5题答案图）即，（第5题答案图）所以．连结DO，由勾股定理，得，即，解得．所以，．故选D．例11(06)如图，面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则的值等于.【解】设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则．由△ADG∽△ABC，可得解得．于是，由题意，a＝28，b＝3,c＝48，所以.例12(06)已知△中，是锐角．从顶点向边或其延长线作垂线，垂足为；从顶点向边或其延长线作垂线，垂足为．当和均为正整数时，△是什么三角形？并证明你的结论．【解】设，均为正整数，则，所以，mn＝1，2，3．（1）当mn＝1时，，，此时．所以垂直平分，垂直平分，于是△是等边三角形．（2）当mn＝2时，，，此时，或，所以点与点重合，或点与点重合．故，或，于是△是等腰直角三角形．（3）mn＝3时，，，此时，或．于是垂直平分，或垂直平分．故，或，于是△是顶角为的等腰三角形．例13(06)如图，已知锐角△ABC及其外接圆⊙O，AM是BC边的中线．分别过点B，C作⊙O的切线，两条切线相交于点X，连结AX．求证：．【解】设AX与⊙O相交于点，连结OB，OC，．又M为BC的中点，所以，连结OX，它过点M．因为，所以．①又由切割线定理得．②由①，②得，于是△XMA∽△，所以．又，所以，于是．例14(05)、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为()。A、78.5B、97.5C、90【解】由题意得：52＋142－2×5×14×cosα＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α)∴221－140cosα＝221＋220cosα∴cosα＝0∴α＝90°∴四边形的面积为：5×7＋5×11＝90∴选C例15(05)图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是()。A、B、C、D、【解】由图形割补知圆面积等于矩形ABCD的面积∴由垂径定理得公共弦为∴选D例16(05)已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，则a的最大值为＿＿＿。【解】例17(05)、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，过D作BC的垂线交BE于F，交CA的延长线于P，过E作BC的垂线，交CD于G，交BA的延长线于Q，证明：BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。【解】证法1：设过D、E的垂线分别交BC于M、N，在Rt△BEC与Rt△BDC中，由射影定理得：CE2＝CN·CB，BD2＝BM·BC∴又Rt△CNG∽Rt△DCB，Rt△BMF∽Rt△BEC，∴∴在Rt△BEC与Rt△BDC中，由面积关系得：BE·CE＝EN·BC，BD·CD＝DM·BC∴由(1)(2)得：证法2：设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R∵DM∥AR∥EN∴由合比定理得：证法3：在△ABC中，直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅劳斯定理得：设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，AH⊥BC∵DF⊥BC、EG⊥BC∴AH∥DF∥EG∴由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T三点共线.证法4：连结FT交EN于G’，易知为了证明F、G、T三点共线，只需证明即可∵又∴∵CD⊥AB、BE⊥CA，∴B、D、E、C四点共圆∴∠ABE＝∠ACD(2)又(3)将(2)(3)代入（1）得：，故F、G、T三点共线.四、专题训练:1、(04)一个三角形的边长分别为a,a,b，另一个三角形的边长分别为b,b,a，其中a>b，若两个三角形的最小内角相等，则的值等于（）(A)(B)(C)(D)2、(04)如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（）(A)24(B)38(C)46(D)503、(04)如图ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，则=.4、(04)已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC,以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M，EP⊥l于P，FQ⊥l于Q。求证：EP=FQ.5、(03)设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且．若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为，则的值为（）A.B.C.D.5、(03)如图，在□ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为（）**B.4C.D.6、(03)如图，，分别是∠EAB，∠DBC的平分线．若，则∠BAC的度数为_____________．7、(03)在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．设线段PA，PB的中点分别为M，N．求证：⑴△DEM≌△DFN；⑵∠PAE=∠PBF．8、(02)直角三角形ＡBC的面积为120，且∠BAC=90º，AD是斜边上的中线，过D作DE⊥AB于E，连CE交AD于F，则△AFE的面积为（）(A)18 (B)20 (C)22(D)249、(02)圆O1与O2圆外切于点A，两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则圆O1与圆O2的半径之比为（）(A)2：5 (B)1：2(C)1：3(D)2：3BBAO1O210、(02)如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为11、(02)如图，等腰三角形ABC中，P为底边BC上任意点，过P作两腰的平行线分别与AB，AC相交于Q，R两点，又P`的对称点，证明：P'在△ABC的外接圆上。AAQRPBCP'12、(01)已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，则AC的长为（）（A）（B）（C）