人教A版高中数学选修2

本文格式为Word版，下载可任意编辑——人教A版高中数学选修2第3章3.2第3课时

一、选择题(每题5分，共20分)

1．如图，正棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1

所成角的余弦值为()

1

A.53C.5

2B.54D.5

解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系

Dxyz，设AB＝1.

则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)

A1B＝(0,1，－2)，AD1＝(－1,0,2)

cos〈A1B，AD1〉＝

→→|A1B|·|AD1|＝

4＝－

55·5－4→

→

→→

A1B·AD1

→→

4

∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为，应选D.

5答案：D

2．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为()A.6323

B.33

C.

1D.3

解析：

设正三棱锥P－ABC，PA，PB，PC两两相互垂直，设PA＝PB＝PC＝a.取AB的中点D，连结PD、CD，易知∠PDC为侧面PAB与底面ABC所成的角．易求PD＝26

a，CD＝a，22

故cos∠PDC＝＝答案：B

PDDC3.3

3．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l与α所成角的正弦值为()

A.

176216

B.

216213

C．－D.

a·n解析：cos〈a，n〉＝

|a||n|

＝

?1，2，3?·?2，1，1?

2

1＋4＋9·2＋1＋12＋2＋321

＝.

614×6

＝

答案：B

4．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为()

A．150°C．60°

B．45°D．120°

→→→→→→→→

解析：由条件，知CA·AB＝0，AB·BD＝0，CD＝CA＋AB＋BD.→2→2→2→2→→→→∴|CD|＝|CA|＋|AB|＋|BD|＋2CA·AB＋2AB·BD

→→→→2222

＋2CA·BD＝6＋4＋8＋2×6×8cosCA，BD＝(217)，1→→→→

∴cosCA，BD＝－，CA，BD＝120°，

2∴二面角的大小为60°.应选C.答案：C

二、填空题(每题5分，共10分)

5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是________．解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

取正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，→

易证AC1是平面A1BD的一个法向量．

AC1＝(－1,1,1)，BC1＝(－1,0,1)．

→→

1＋16→→

cos〈AC1，BC1〉＝＝.3×23所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为答案：

63

6.3

6．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的余弦值为________．解析：取BC中点O，连结AO，DO.建立如右图所示坐标系，

设BC＝1，则A?0，0，??1??33???

?，B?0，－2，0?，D?，0，0?.

??22???

3?→?13?→?

∴OA＝?0，0，?，BA＝?0，，?，

2???22?→

BD＝?

?31?，，0?.?22?

3?→?

由于OA＝?0，0，?为面BCD的法向量，可进一步求出面ABD的一个法向量n＝(1，－3，

2??1)，

5→

∴cos〈n，OA〉＝.5答案：

55

三、解答题(每题10分，共20分)

7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E，F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝BF＝1，求直线EC1与FD1所成角的余弦值

→→→

解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴，z轴的正方向建立如下图的空间直角坐标系．

则有D1(0,0,2)，E(3,3,0)，F(2,4,0)，C1(0,4,2)，→→

于是EC1＝(－3,1,2)，FD1＝(－2，－4,2)，→→

设EC1与FD1所成的角为β，

→→|EC1·FD1|21

则cosβ＝＝，

→→14|EC1||FD1|所以直线EC1与FD1所成的角的余弦值为

21.14

8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，

F为CC1的中点．

(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角F－DE－C的余弦值．

解析：建立如下图的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，

C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,2,0)，F(0,2,2)．

→

(1)EF＝(－1,0,2)，易得平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，→

EF·n2→

设EF与n的夹角为θ，则cosθ＝＝5，

→5|EF||n|∴EF与平面ABCD所成的角的余弦值为→→

(2)EF＝(－1,0,2)，DF＝(0,2,2)，设平面DEF的一个法向量为m，→→

则m·DF＝0，m·EF＝0，可得m＝(2，－1,1)，

5.5

m·n6

∴cos〈m，n〉＝＝，

|m||n|