量子力学复习资料

第一章知识点:黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体.处于某一温度T下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T有关而与黑体的形状和材料无关。光电效应••光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现光电效应特点：1・临界频率v0只有当光的频率大于某一定值v0时，才有光电子发射出来.若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生.光的这一频率v0称为临界频率。2.光电子的能量只是与照射光的频率有关，与光强无关，光强只决定电子数目的多少（爱因斯坦对光电效应的解释）3.当入射光的频率大于v0时，不管光有多么的微6.7.弱，只要光一照上，立即观察到光电子（10-9s）光的波粒二象性：普朗克假定a.原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v6.7.弱，只要光一照上，立即观察到光电子（10-9s）光的波粒二象性：普朗克假定a.原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v振荡;b.黑体只能以E=hv为能量单位不连续的发射和吸收能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收能量.总结光子能量、动量关系式如下：把光子的波动性和粒子性联系了起来E=hv=g<p=气=处n=B/TCCXArh人人£n其中n=A=k=—2^2rtA波长增量m随散射角增大而增大.这一现象称为康普顿效应.AX=2人sin22其中02X0==2.4x10-10cm称为电子的Compton波长。0散射波的波长入'总是比入射波波长长（入'>入）且随散射角o增大而增大。波尔假定：1・原子具有能量不连续的定态的概念.2.量子跃迁的概念.德布罗意：-假定：与一定能量E和动量p的实物粒子相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：E=hvnv=E/hP=h/入nX=h/p该关系称为de.Broglie关系.德布罗意波：甲deBroglie关系：v=E/hn=Aexpi(&•£德布罗意波：甲deBroglie关系：v=E/hn①=2兀v=2兀E/h=E/门

A=h/pnk=1/A=2丸/2=p/门第二章知识点：「.1.描写自由粒子的平面波波函数:中=Aexp-(p・?-Et)Ln在电子衍射实验中，照相底片上r点附近衍射花样的强度~正比于该点附近感光点的数目，~正比于该点附近出现的电子数目，~正比于电子出现在r点附近的几率.|W(r)l2的意义是代表电子出现在r点附近单位体积内的几率。|W(r,t)l2的意义是：t时刻，在球附近单位体积内找到粒子的概率。由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一常数后，所描写的粒子状态不变，即W(r,t)和CW(r,t)描述同一状态。这与经典波不同.经典波波幅增大一倍(原来的2倍)，则相应的波动能量将为原来的4倍，因而代表完全不同的波动状态.经典波无归一化问题.J8|(A)-1/2W(r,t)|2dT=1(A)-1/2称为归一化因子.注意：对归一化波函数仍有一模为1的因于不定性.若W(r,t)是归一化波函数，那末，eiaW(r,t)也是归一化波函数(其中a是实数)，与前者描述同一几率波平面波归一化%(^,t)=Aen['"-Et]=GP(r)e_nE^t=0时的平面波TOC\o"1-5"\h\zpp考虑一维积分若取A122丸门=1,则A1=[2冗门]-1/2,于是1i中(x)=^=en吁Px2^n三维情况：①(p)=1一e；[肘]P[勿n]3/2注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒于的几率相同。态叠加原理：一般情况下，如果W1和W2是体系的可能状态，那末它们的线性叠加甲=。1W1+C2W2也是该体系的一个可能状态.其中C1和C2是复常数，这就是量子力学的态叠加原理.若W1中测量A为a1,W2中测量A为a2,那么在W态中测量A值既可能是a1也可能是a2,具有不确定性，但有确定的权重.W(r,t)是以坐标r为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标表象波函数；C(p,t)是以动量p为自变量的波函数，动量空间波函数，动量表象波函数；二者描写同一量子状态.薛定谔方程(波动方程).]dm,r、「h2rr、ih-呼(r,t)=[-第V2+V(r胛(r,t)r=H码r，t)式中H是体系的HumiZt"算符，亦常称为Hgifts量.波函数的标准条件：有限性，连续性，单值性量子力学基本假定：波函数完全描述粒子的状态波函数随时间的演化遵从Schrodinger方程定态波函数：诚t)=w(P)e~^Et空间波函数W(r)可由方[一*V2+VM曲=取(r)和具体问题W(r)应满足的边界条件得该方程称为定态Schrodinger方程，W(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻W(r,0)的定态波函数.定态的性质：1.定态-----E具有确定值粒子在空间几率密度、几率流密度与时间无关任何不显含t的力学量平均值与t无关综上所述，当W满足下列三个等价条件中的任一个时，W就是定态波函数：W描述的状态其能量有确定的值；W满足定态Schrodinger方程；IWI2与t无关・能量本征值方程：将[-Lv2+V]w=ET改写成前=网2M常量E称为算符H的本征值；w称为算符H的本征函数.当体系处于能量算符本征函数所描写态(简称能量本征态)时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值束缚态：对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，W=0.这样的状态，称为束缚态线性谐振子：u1量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运V=2X2动的粒子.2线性谐振子能级为于是最后得：n=0时称为零点能E=(n+1)肿n=0,1,2,A2厄密多项式：H(&)=(-1)nexp[&2]告exp[-&2]Hn(§)的最高次幂是n其系数是2nHn(C)的最高次项是(2E)n・所以：当口=偶，则厄密多项式只含C的偶次项；当口=奇，则厄密多项式只含E的奇次项.透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数D=JD/JI其物理意义是：描述贯穿到x>a的III区中的粒子在单位时间内流过垂直x方向的单位面积的数目与入射粒子(在x<0的I区)在单位时间内流过垂直于x方向单位面积的数目之比.反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数R=JR/JI隧道效应：粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象

第三章知识点算符：a线性算符0(c1w1+c2w2)=c10w1+c2。叩2动量算符，单位算符是线性算符，开方算符、取复共轭就不是线性算符.注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符b・算符之和：注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替很易证明线性算符之和仍为线性算符.c・算符之积：一般来说算符之积不满足交换律，即0C之和仍为线性算符.c・算符之积：一般来说算符之积不满足交换律，即0C黄COd・对易关系：若Ou黄CO，则称O与U不对易量子力学中最基本的对易关系.xpn一pnx=gRap=0aP0app一ppaP0aa,0=x,y,z,xp-px=0yy珞一px=0zzpxp-ppx=0注意：当O与u对易，U与1e对易，y不能推知若算符满足OU=-UO，则称O和U反对易.e・逆算符：设Ow=9,能够唯一的解出W,则可定义算符O之逆O-1为：O-19=W注：投影算符就不存在逆坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易.，yp一py=0xxyp一py=0zz八--人Cpp一pp=0O与E对易与否zp-pz=0xxzp-pz=0入八八八Cppx-pxpz=0f・转置算符:算符D的转置算符疗定义为:式中w和8是两个任意函数.h.厄密算符g・厄密共轭算符：Jdew*6祁=Jdx©w)呻Jdew*屏=Jde(6w)*8或6+=6性质I:两个厄密算符之和仍是厄密算符.即若O+=O,U+=U则(O+U)+=O++U+=h.厄密算符性质II:两个厄密算符之积一般不是厄密算符，除非二算符对易.因为(OU)+=u+O+=UO+OU仅当[O,U]=0成立时,(OU)+=OU才成立.2・只有分立谱才能归一化为一，连续谱归一化为5函数.周期性边界条件是动量算符厄米性的要求.3・根据球函数定义式可知对应一个人值有(2人+1)个量子状态，这种现象称为简并，人的合记之：[L,L]=in8La0apyy简并度是(2人+1)4・角动量算符的对易关系[LL,L]=合记之：[L,L]=in8La0apyyapy0ayay0£123apy0ayay0£123=1其中a,成P,y=1,2,3x,y,z.・.E=-*n2门2n25.中心库伦场中电子运动能级n=123A由此可见，在粒子能量小于零情况下(束缚态)'仅当粒子能量取En给出的分立值时波函数才满足有限性条件的要求。6.库伦场中运动的电子能量小于零时的定态波函数Vnim(rF,0=七(r)%(°,9)v_归2e47.本征值和本征函数｛气一一环云n=1,2,3,AV(r,0,9)=R(r)Y(0,9)nlmnlIml=0,1,2,A,n—1m=0,±1,±2,A，土l能级简并性n=nr+人+l人=0,1,2,...nr=0,1,2,...能量只与主量子数n有关，而本征函数与n,人,m有关，故能级存在简并.对于En能级其简并度为：n—1乙(21+1)=n2即对能量本征值En由n2个本征函数与之对应，也就是说有n2个量子态的能量是En。n=1对应于能量最小态，称为基态能量，E1=>Z2e4/2苹，相应基态波函数是甲100=R10Y00，所以基态是非简并态.8.于是氢原子能级和相应的本征函数是:ue4E=—n=1,2,3,An2^2n2Vnim(£)=Rni(r)Ym(0,9)9.电离能：Es与电子基态能量之差-----E1=-(ue4/2门2)，当n—8时，Es=0，则电离能为：£=Es-E1=-E1=网4/2门2=13.579eV10.当氢原子处于vnlm(r,0,9)时，电子在(r,0,9)点附近体积元dt=r2sin0drd0d9内的几率11.W,(r,0,9)dt=1V(r,0,9)I2r2sinOdrdOdpnlm角动量算符£=m-L=J?x号L顼中*(£)&(M三个分量:L=yp—z=-切(y:-zxzydzoyL=zp—xp=—ir|(zg—x0)yxzoxozfo0、L=xP—yp=—^(x—y—)zyxoyox12.定理I：体系任何状态w下，其厄密算符的平均值必为实数.逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄密算符.注：厄密算符平方的平均值一定大于等于零定理2：厄密算符的本征值必为实定理III：厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交正交归一函数系举例：线性谐振子能量本征函数，角动量算符本征函数，氢原子波函数量子力学基本假定III告诉人们，在任意态虹r)中测量任一力学量F,所得的结果只能是由算符f的本征方程曲=人e解得的本征值知之一.nnn当在w态中测量力学量F和G时，如果同时具有确定值，那么w必是二力学量共同本征函数.若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符对易.如果两个力学量算符对易，则此二算符有组成完备系的共同的本征函数.一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易.'动量算符：p,p,p两两对易；X'动量算符：p,p,p两两对易；Xyz＜共同完备本征函数系：wc(f)=―1—e了”(2冗柏3/2"同时有确定值：p,p,p.IXyz氢原子中：H,认L两两对易；＜共同完备本征函数系:wm(f)=RI(r)Y[(9,0同时有确定值：E,l(l+1)平,m*Inr#一一2LL2C定轴转于：H=有,L相互对易；….一1

《共同完备本征函数系：中(©)=^=em

mJ2冗r空间转于：H=一,L2,L2Iz两两对易；共同完备本征函数系：Y(9,9)lml=0,1,2,Am=0,±1,A土l同时有确定值：E=m2*2,m*,(m=0,±1,A

m21_l(l+1)*2)同时有确定值：E[=21，l(l+1)*2,m*.为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小(数目)集合称为力学量完全集.，厂、-_—-~a—(k)2不确定关系(宜)2・(AG)2＞()4坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大.零点能就是测不准关系所要求的最小能量

第四章知识点：表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象.|W(x,t)l2dx测量粒子的位置所得结果在xfx+dx范围内的几率.lC(p,t)l2dp测量粒子的动量所得结果在pfp+dp范围内的几率.呼(x,t)与C(p,t)—一对应，描述同一状态.W(X,t)=W(XW(X,t)=W(X)e-iEp,t〕n

p'

一，cE=?—p'2g3.若W(x,t)描写的态是具有确定动量p'的自由粒子态，即:则相应动量表象中的波函数f,八C(p,t)=fw*(x淫(x,t)dx=ef/nS(P-Pf)p所以，在动量表象中，具有确定动量p’的粒子的波函数是以动量p为变量的&函数.换言之，动量本征函数在自身表象中是一个8函数.算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。力学量算符在自身表象中的形式QQu(x)=Qu(x)l^＞和＜甲1的关系：nnn在同一确定表象中，各分量互为复共轭；由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加；右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数X表象描述与Dirac符号|T(t)>人F|T(t)>人F<Qm|Qn>=SmnvT(t)|T(t)>=1算符F(£厂冲)归一化u*(x)u(x)dx=S■mnmn本征函数Jt*(x,t)W(x,t)dx=1正交归一性本征函数封闭性Ju*(x)u“(x)dx=S(q'-q”)Zu*(x')u(x)=S(x'-x)u*_fqzfu(x')u(x)dq=S(X-x)q公式T(x,t)=F(x,p)0(x,t)x本征方程F(f,p)w(£)=^w(f)平均值F=Jw*Fwdx<qIq〃>=S(q‘-q〃)ZIQ><QI=1JIq>dq<qI=1|T(t)>=F10(t)>F|w>=人|W>k■q■F=<w|F|w>FF=vm|F|n>din|T(t)>=H|T(t)>dt矩阵元F=Jw*Fwdxs-方程ingT(f,t)=方(f,-inV)T(f,t)dt

7.证\a,a+]=1a2~2戛任~^^p),藉任+t^p

_J2zha2J2,ha2~2TOC\o"1-5"\h\z11

x—p,x+pzha2zha2一a211115“r「人、.「人x-1rx人、「■八xD={[x,X]+[X——p]—[——p,x]—[——p,——pJ}2zha2zha2zha2zha2a212zha212zha2{2zh}=%—{[x,p]—[p,x]}2zha210.粒子湮灭算符aIn>=-.：n10.粒子湮灭算符aIn>=-.：nIn—1>粒子产生算符a+In>=\n+11n+1>常量C<I左矢C*右矢I>I><I人人FF+例[C<uIFIv>1。><甲i]+——「*•」¥><"vIF+Iu>C*9.用狄拉克符号表示波函数归一化条件州n|wn>=1振子基态的基矢aI0>=0'0V1000AA、'00000AA、00<200AA<10000AAa=000点0AAa+=0很000AAAAAAAAA00焰00AA(AAAAAAAJMAAAAAA,占有数表象：以In>为基矢的表象称为占有数表象N的意义：NIn>=&+&In>=a+(nIn—1>=jn((n一1)+11n>=n1n>么正矩阵条件：S+S=SS+—S+=S-1么正变换不改变厄密矩阵的厄密性一、填空题1、光的粒子性是由、和三个实验最终确定的。2、波函数模的平方忏（:t）|2表示的物理意义是3、描写定态的波函数一定具有形式。4、隧道效应是由于粒子具有性质而表现出来的量子效应。5、厄米算符的本征函数具有、和等性质。6、氢原子能级简并的原因是。7、完成下列对易关系：[兄px]=,[Lz,孔]=，8、球谐函数7（6,甲）是算符和共同的本征函数，相lm应的本征值分别为和。9、自旋算符的矩阵表达式为：§x=、§广、TOC\o"1-5"\h\z§=^'z二、选择题1、正负电子对湮灭时产生两个光子，光子的最大波长为（）A、0.024A，B、0.24A，C、0.0024A，D、无法确定。2、验证电子具有波动性的实验是（）A、戴维逊一革末实验，B、斯特恩一盖拉赫实验，^夫兰克一赫兹实验，D、斯塔克效应实验。3、在波函数的统计解释中，正确的说法是（）vA、中（r,t）表示粒