江苏省南京市重点中学2022-2023学年高二下学期期中模拟数学试卷（一）及参考答案

南京市重点中学高二年级期中模拟卷一、单选题1.已知空间向量，，则下列结论不正确的是(

)A.B.C.D.在上的投影向量为2.某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（

）种A．9 B．36 C．54 D．1083．如图，在棱长为1的正方体中，下列结论不正确的是（

）A．异面直线与所成的角为B．二面角的正切值为C．直线与平面所成的角为D．四面体的外接球体积为4.椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为（）A． B． C． D．5.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(

)A. B. C.D.6.小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（

）A．16 B．24 C．166 D．1807.已知多项式，则（

）A．－960 B．960 C．－480 D．4808．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（

）A．B．C． D．二、多选题9．已知空间三点，，，四边形ABCD为平行四边形，则下列结论正确的有（

）A．点C的坐标为 B．C．点D到直线AB的距离为 D．平行四边形ABCD的面积为10．已知，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．11．已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（

）A．的最大值为5 B．C．存在点，使 D．的最大值为12．已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线三、填空题13．已知函数，则曲线经过点的切线方程是______．14．若的展开式中的系数为9，则a的值为______．15.某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________.

16.在正方体中，，，P，F分别是线段，的中点，则点P到直线EF的距离是__________.四、解答题17.由0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成多少个无重复数字的四位数？可以组成多少个无重复数字且能被25整除的四位数？18．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．(1)证明：EF∥平面PCD(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．19.（1）已知.求：①；②；（2）在的展开式中，求：①展示式中的第3项；②展开式中二项式系数最大的项.20．如图，已知菱形ABCD的边长为3，对角线，将△沿着对角线BD翻折至△的位置，使得，在平面ABCD上方存在一点M，且平面ABCD，．(1)求证：平面平面ABD；(2)求点M到平面ABE的距离；(3)求二面角的正弦值．21．已知椭圆的左，右焦点分别为且经过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值（O为坐标原点）22．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设函数，若对于任意，都有，求的取值范围.答案解析一、单选题1.已知空间向量，，则下列结论不正确的是(

)A.B.C.D.在上的投影向量为【答案】A【解析】由题意，得，，而，故A不正确;因为，，所以，故B正确;因为，故C正确;因为在上的投影向量为，故D正确2.某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（

）种A．9 B．36 C．54 D．108【解析】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村支教，不同的选派方案有种，选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有种，所以3名教师中男女都有的不同的选派方案共有种故选：C3．如图，在棱长为1的正方体中，下列结论不正确的是（

）A．异面直线与所成的角为B．二面角的正切值为C．直线与平面所成的角为D．四面体的外接球体积为【解析】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，A选项，设异面直线与所成的角为，则，故异面直线与所成的角为，A正确；B选项，设平面的法向量为，则有，令得：，则，平面的法向量为，设二面角的大小为，显然为锐角，则，所以，，故二面角的正切值为，B正确；C选项，设平面的法向量为，则令，则，所以，设直线与平面所成的角为，则，则，C错误；D选项，四面体的外接球即为正方体的外接球，设外接球半径为R，则，则外接球体积为，D正确.故选：C4.椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】椭圆的右顶点为，由于点，均在上，且关于轴对称，所以直线，也关于轴对称，即，，．5.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(

)A. B. C.D.【答案】D

【解析】令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为，，，展开式的通项为，令得；令得，展开式中常数项为故选6.小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（

）A．16 B．24 C．166 D．180【答案】B【解析】将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，所以共有（种）不同的结果，故选：B．7.已知多项式，则（

）A．－960 B．960 C．－480 D．480【答案】A【解析】因为，所以第8项为，所以.8．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.二、多选题9．已知空间三点，，，四边形ABCD为平行四边形，则下列结论正确的有（

）A．点C的坐标为 B．C．点D到直线AB的距离为 D．平行四边形ABCD的面积为【解析】A选项：设点C的坐标为，，解得，错误；B选项：，，，正确；C选项：，，方向上的单位向量，则点D到直线AB的距离为，错误；D选项：，点D到直线AB的距离为1，平行四边形ABCD的面积为，正确.故选：BD.10．已知，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．【解析】，展开式的通项为，对选项A：令，可得，正确；对选项B：，所以，正确；对选项C：令，可得，错误；对选项D：，两边同时求导，得，令，，正确．故选：ABD11．已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（

）A．的最大值为5 B．C．存在点，使 D．的最大值为【解析】对于A选项，设，则，即，所以，又，所以当时，，故A错误，对于B选项，由椭圆定义，，故B正确对于C选项，当为短轴端点时，，，，故，进而，故C错误，对于D选项，，当，，三点共线时，有最大值，故D正确.故选：BD12．已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【解析】由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.三、填空题13．已知函数，则曲线经过点的切线方程是______．【解析】设切点为对求导得：，切线方程为：，切线过，解之：或1，所以斜率或，又过，代入点斜式得切线方程为：或，故答案为：或.14．若的展开式中的系数为9，则a的值为______．【解析】，且展开式的通项，当时，，此时的系数为.当时，，此时的系数为.展开式中的系数为，．故答案为：115.某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________.【答案】

【解析】某校组织由6名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，基本事件总数，学生丙第一个出场包含的基本数件个数，学生丙第一个出场的概率为故答案为

16.在正方体中，，，P，F分别是线段，的中点，则点P到直线EF的距离是__________.【答案】

【解析】如图，以D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由，，P，F分别是线段，的中点，得，，，，，，，则点P到直线EF的距离是故答案为：四、解答题17.由0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成多少个无重复数字的四位数？可以组成多少个无重复数字且能被25整除的四位数？【解析】因为四位数的千位数字不能为0，所以无重复数字的四位数共有个；能被25整除的四位数的后两位数字只能是25或50，符合题意的四位数共有个18．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．(1)证明：EF∥平面PCD(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．【解析】（1）证明：取PD的中点G，连接CG，EG，因为E，F分别为PA，BC的中点，所以，又底面ABCD为菱形，所以，所以，所以四边形EGCF为平行四边形，所以又平面PCD．平面PCD，所以EF//平面PCD．（2）解：连接，因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，因为四边形ABCD为菱形，，所以为等边三角形，因为F为BC的中点，所以，因为∥，所以，所以两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．因为，所以D（0，0，0），F(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），则．设平面DEF的法向量，则，令，得．设直线AF与平面DEF所成的角为θ，则，所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为19.（1）已知.求：①；②；（2）在的展开式中，求：①展示式中的第3项；②展开式中二项式系数最大的项.【解析】（1）令，则，令，则.①∴.②∵展开式中，、、、都大于零，而、、、都小于零，∴，令，则.所以.（2）的展开式中第项为，①当时，所以展示式中的第3项为.②或3时，二项式系数最大，时，由（1）知，时，．20．如图，已知菱形ABCD的边长为3，对角线，将△沿着对角线BD翻折至△的位置，使得，在平面ABCD上方存在一点M，且平面ABCD，．(1)求证：平面平面ABD；(2)求点M到平面ABE的距离；(3)求二面角的正弦值．【解析】（1）过E作EO垂直于BD于O，连接AO，因为，，故，同理，又，所以，即．因为ABCD为菱形，所以，又，所以面ABD，又面EBD，所以面面ABD．（2）以O为坐标原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，．所以，，．面ABE的法向量为，所以，令，则．又，则点M到面ABE的距离为．（3）由（2）得：面ABE的一个法向量为，且，．若面MBA的法向量为，则，令，则．所以，故二面角的正弦值为．21．已知椭圆的左，右焦点分别为且经过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值（O为坐标原点）【解析】（1）由椭