第二次型及其标准形

第二次型及其标准形第1页，共40页，2023年，2月20日，星期一§6.1二次型及其矩阵表示引言判别下面方程的几何图形是什么？作旋转变换代入(1)左边，化为：见下图第2页，共40页，2023年，2月20日，星期一第3页，共40页，2023年，2月20日，星期一称为n维(或n元)的二次型.定义含有n个变量的二次齐次函数关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！第4页，共40页，2023年，2月20日，星期一例如：都是二次型。不是二次型。只含有平方项的二次型称为二次型的标准形。为二次型的标准形。第5页，共40页，2023年，2月20日，星期一取则则（1）式可以表示为二次型用和号表示第6页，共40页，2023年，2月20日，星期一第7页，共40页，2023年，2月20日，星期一令则其中为对称矩阵。二次型的矩阵表示（重点）注1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。2、其对角线上的元素恰好是的系数。3、的系数的一半分给可保证第8页，共40页，2023年，2月20日，星期一例如：二次型注：二次型对称矩阵把对称矩阵称为二次型的矩阵也把二次型称为对称矩阵的二次型对称矩阵的秩称为二次型的秩二次型定义2：第9页，共40页，2023年，2月20日，星期一例1写出下面二次型f的矩阵表示，并求f的秩r(f)。解问：在二次型中,如不限制A对称,A唯一吗?第10页，共40页，2023年，2月20日，星期一定义只含平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式)。平方项系数只在中取值的标准形(注：这里规范形要求系数为1的项排在前面，其次排系数为-1的项。与书上略有不同。)称为二次型的规范形。第11页，共40页，2023年，2月20日，星期一对给定的二次型找可逆的线性变换(坐标变换)：代入(1)式，使之成为标准形称上面过程为化二次型为标准形。第12页，共40页，2023年，2月20日，星期一第六章二次型及其标准型

§6.3正定二次型与正定矩阵§6.2化二次型为标准型§6.1二次型及其矩阵表示第13页，共40页，2023年，2月20日，星期一简记设若一、非退化线性变换（可逆线性变换）为可逆线性变换。

当C是可逆矩阵时,称第14页，共40页，2023年，2月20日，星期一对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。即二次型经过可逆线性变换使得即经过可逆线性变换可化为对于这种矩阵的关系我们来进行定义第15页，共40页，2023年，2月20日，星期一矩阵的合同：证明定理设A为对称矩阵，且A与B合同，则注：合同仍然是一种等价关系矩阵合同的性质：(1)反身性(2)对称性(3)传递性记作第16页，共40页，2023年，2月20日，星期一二.化二次型为标准形正交变换法（重点）配方法目标：问题转化为：第17页，共40页，2023年，2月20日，星期一结论：此结论用于二次型所以，第18页，共40页，2023年，2月20日，星期一主轴定理(P191定理6.2.1)第19页，共40页，2023年，2月20日，星期一例1

用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。解（1）写出二次型f

的矩阵(2)求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量第20页，共40页，2023年，2月20日，星期一而它们所对应的标准正交的特征向量为(3)写出正交变换取正交矩阵则得所欲求的正交变换即第21页，共40页，2023年，2月20日，星期一（4）写出的标准型。经上述正交变换后所得二次型的标准型注：正交变换化为标准形的优点：在几何中，可以保持曲线（曲面）的几何形状不变。第22页，共40页，2023年，2月20日，星期一例2设二次型经正交变换化为标准形求(1)a,b;(2)正交变换矩阵Q.解二次型的矩阵为由题意由相似矩阵的性质得，从而第23页，共40页，2023年，2月20日，星期一解得A与D有相同的特征值，分别为求得它们对应的特征向量(正交)为再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵第24页，共40页，2023年，2月20日，星期一2.配方法⑴同时含有平方项与交叉项的情形。例2用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。解：第25页，共40页，2023年，2月20日，星期一令二次型的标准形为所求的可逆线性变换为即第26页，共40页，2023年，2月20日，星期一为标准形,并求出所作的可逆线性变换.例3用配方法化二次型解令⑵只含交叉项的情形。第27页，共40页，2023年，2月20日，星期一即令则二次型的标准形为第28页，共40页，2023年，2月20日，星期一所用的可逆线性变换为第29页，共40页，2023年，2月20日，星期一第六章二次型及其标准型

§6.3正定二次型与正定矩阵§6.2化二次型为标准型§6.1二次型及其矩阵表示第30页，共40页，2023年，2月20日，星期一定理

二次型必可化为规范形。证设二次型f(x)=xTAx(r(A)=r)经正交变换化为:再做一次可逆的线性变换则f

化为第31页，共40页，2023年，2月20日，星期一思考并回答(1)二次型的标准形唯一吗？(2)二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？(3)设CTAC=D(C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？(4)设4阶对称矩阵A的特征值为0,2,2,-3,A的二次型的规范形是什么？第32页，共40页，2023年，2月20日，星期一惯性定理(P196定理6.3.1)

在二次型的标准形中，正项个数与负项个数保持不变。或者说二次型的规范形是唯一的。

二次型的标准形中正项个数称为二次型的正惯性指数,负项个数称为二次型的负惯性指数.

设二次型f

的秩为r,正惯性指数为p,则负惯性指为r–p.f的规范形为第33页，共40页，2023年，2月20日，星期一

如果n

维的二次型f(x)=xTAx

其标准形系数全为正，则称之为正定二次型，二次型的矩阵A称为正定矩阵；如果标准形中系数全为负，则称之为负定二次型，二次型的矩阵称为负定矩阵。定义化标准形化规范形正定二次型为

正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位矩阵合同的对称矩阵。

显然，如果f

负定，则–f

正定，以后只需讨论正定二次型(正定矩阵)。第34页，共40页，2023年，2月20日，星期一定理

二次型f(x)=xTAx

正定的充要条件是对任意x≠0，都有f(x)=xTAx>0.

(注：书上以后者为定义)第35页，共40页，2023年，2月20日，星期一定理(霍尔维茨定理)

对称矩阵A为正定的充要条件是：A的各阶主子式全为正，即第36页，共40页，2023年，2月20日，星期一判别二次型是否正定.它的各阶顺序主子式故上述二次型是正定的.例1f

的矩阵为解作业P194:2(1)(2)P199:1(1)(2);3第37页，共40页，2023年，2月20日，星期一例2解判别二次型是否正定.二次型的矩阵为即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.求得其特征值第38页，共4