第十二章动能定理

第十二章动能定理第1页，共50页，2023年，2月20日，星期二第十二章动能定理

能量转换与功之间的关系是自然界中各种形式运动的普遍定律，在机械运动中则表现为动能定理。1.质点在不变力作用下沿直线运动功是代数量单位为J（焦耳）2.质点在任意变力作用下沿曲线运动力F在无限小位移dr中可视为常力小段弧长ds可视为直线，dr可视为沿点M的切线在dr位移中力作的功称元功，记为§12-1力的功第2页，共50页，2023年，2月20日，星期二力在全路程上作的功等于元功之和：写成矢量点乘形式：有n个力时，合力为FR：合力在某一路程上作的功等于各分力作功的代数和第3页，共50页，2023年，2月20日，星期二几种常见力所作的功1.重力的功

质点沿轨道由M1运动到M2，重力P=mg，在直角坐标轴上的投影为：X=0,Y=0,Z=-mg重力作功为：

重力作功仅与质点开始和末了位置的高度差有关，与运动轨迹的形状无关。对于质点系，质点的质量为mi，始末高度差为(Z1i－Z2i)，全部重力作功之和为：由质心坐标公式：取决于质心始末高度差，与路程无关。质心下降作正功，上移作负功。第4页，共50页，2023年，2月20日，星期二弹性力F的大小与弹簧变形成正比：，方向与变形方向相反弹性力是变力（大小、方向）称为弹簧的刚性系数，单位为N/m或N/mm。

物体受到弹性力的作用，作用点A的轨迹如图曲线A1A2。

力的方向总是指向自然位置（弹簧未变形时端点的位置A0）。flash2.弹性力的功第5页，共50页，2023年，2月20日，星期二弹性力为：

设弹簧原长为l0，沿矢径方向单位矢r0。弹性力作功为：元功：即：—计算弹性力作功的普遍公式

弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量δ有关，与作用点A的轨迹形状无关。第6页，共50页，2023年，2月20日，星期二

力F与力作用点A处的轨迹切线之间的夹角为θ，则力F在切线上的投影为：法向、轴向无位移，不作功

刚体绕定轴转动，转角φ与弧长s的关系为：R——力作用点A到轴的垂距力F的元功：力偶所作的功仍可用上式计算力F作的功：3.定轴转动刚体上作用力的功第7页，共50页，2023年，2月20日，星期二

有多个力作用。取刚体的质心C为基点，当刚体有无限小位移时，任一力Fi作用点Mi的位移为：力Fi在点Mi位移上所作元功：如刚体无限小转角d，则转动位移，大小为：全部力所作元功：力系作功为：F’R为力系主矢，Mc为力系对质心的主矩。力系的功为：力系向质心简化所得的主矢和主矩作功之和。=4.平面运动刚体上力系的功第8页，共50页，2023年，2月20日，星期二

作为阻力的摩擦力的方向与作用点位移相反，滑动摩擦阻力作负功。当作用点没有位移时，不作功

只滚不滑，接触点为速度瞬心，V=0，不作功。滚动摩阻的功可按力偶作功计。5.摩擦力的功第9页，共50页，2023年，2月20日，星期二例：A、B质量分别为m1和m2，绳质量不计。质量mo、半径r的圆盘上作用一力偶，力偶矩M=4（随变化）。求圆盘转动一圈时力偶与重力作功总和。解：力偶作功：重力mog不作功m1g的功：m2g的功：总功：第10页，共50页，2023年，2月20日，星期二例：绕线轮沿斜面作平面运动，其上受主动力矩M、重力P、绳拉力T、摩擦力F及支反力N。求轮心C沿斜面上升S路程时力系的总功。解：可以利用主矢、主矩作功求和；也可分别计算求和：

力系作的功等于各力的功的代数和。分别计算，设轮走了S时转了M：M*=M*S/RP：-PsinSF、N不作功T：既有位移，又有转动效应－TsinS－T·r·=－TsinS－TrS/RW=MS/R-PsinS-TsinS-TrS/R=[M/R-Psin-(r/R+sin)T]S第11页，共50页，2023年，2月20日，星期二1.质点的动能设质点的质量为m、速度为v，则质点的动能为：动能是标量，恒取正值。动能的量纲为：动能的单位：焦耳2.质点系的动能质点系内各质点动能的算术和为质点系的动能：(1)平移刚体的动能

刚体平移，各点的速度都相同，以质心速度为代表，得平移刚体的动能为：12-2质点和质点系的动能第12页，共50页，2023年，2月20日，星期二(2)定轴转动刚体的动能

刚体绕定轴z转动，其中任一点mi的速度为：绕定轴转动的刚体的动能为:

绕定轴转动刚体的动能，等于刚体对于转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。第13页，共50页，2023年，2月20日，星期二(3)平面运动刚体的动能

取刚体质心C

所在的平面图形，点

p

是某瞬时的瞬心，ω是平面图形转动的角速度。平面运动刚体的动能为：等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能的和。—刚体对于瞬时轴的转动惯量第14页，共50页，2023年，2月20日，星期二例：均质圆柱体作纯滚动，已知质量m、质心速度Vc及半径R。求动能。解：圆拄体作平面运动：或看成绕瞬心P的瞬时转动：第15页，共50页，2023年，2月20日，星期二例：长为l质量为m的均质杆OA以等角速度绕铅直线转动，杆与铅直线的交角为。求杆的动能。解：杆定轴转动：求OA对转轴的转动惯量，取微元，微元的转动惯量为：杆的动能为：第16页，共50页，2023年，2月20日，星期二合力在某一路程上作的功等于各分力作功的代数和1.重力的功2.弹性力的功3.定轴转动刚体上作用力的功4.平面运动刚体上力系的功功为力系向质心简化所得的主矢和主矩作功之和5.摩擦力的功

作为阻力的滑动摩擦力作负功当作用点没有位移时，不作功在dr位移中力作的功称元功，记为：力在全路程上作的功等于元功之和：第17页，共50页，2023年，2月20日，星期二1.质点的动能2.质点系的动能(1)平移刚体的动能：(2)定轴转动刚体的动能：(3)平面运动刚体的动能：动能，等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能的和第18页，共50页，2023年，2月20日，星期二例：鼓轮质量为m，对其质心C的转动惯量为J。在平行于斜面的F力的作用下沿斜面向上纯滚动。已知轮心C的速度为V。求：(1)轮子的动量；(2)轮子对A点的动量矩；(3)轮子的动能；(4)轮子移动距离为S时所有力作的功；(5)所有力的功率。解:(1)沿斜坡向上的动量：或(2)对A点的动量矩：(3)动能：(4)所有力作的功：FsmgFN(5)所有力的功率：第19页，共50页，2023年，2月20日，星期二12-3动能定理1.质点的动能定理

定理建立质点的动能与作用力的功的关系，质点的运动微分方程的矢量形式：质点动能定理的微分形式：即：质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。积分得：质点动能定理的积分形式：

在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。

力作正功，动能增加；力作负功，动能减小。第20页，共50页，2023年，2月20日，星期二

质点系内任一质点，质量为mi，速度为vi

，作用在该质点上的力Fi。n个质点：质点系的动能，以T表示。质点系动能定理的微分形式：

质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功之和。根据质点的动能定理的微分形式，有：2.质点系的动能定理第21页，共50页，2023年，2月20日，星期二积分得：质点系动能定理的积分形式：

质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作的功的和。第22页，共50页，2023年，2月20日，星期二分析力作的功：(1)力与位移方向垂直，不作功；(2)作用点无位移不作功。理想约束：约束反力作功等于零的约束。在理想约束条件下，质点系动能的改变只与主动力作功有关。

光滑铰链、刚体二力杆以及不可伸长的细绳等作为系统内的约束时，其中单个的约束反力不一定不作功，但一对约束反力作功之和等于零，是理想约束。3.理想约束第23页，共50页，2023年，2月20日，星期二注意：作用于质点系的力既有外力，也有内力，在某些情形下，内力虽然等值反向，但所作功的和并不等于零。距离变化刚体所有内力作功的和等于零第24页，共50页，2023年，2月20日，星期二例12-5：卷扬机将圆柱体沿斜坡上拉，只滚不滑。已知、M，鼓轮半径R1，质量m1，质量分布在轮缘上；圆柱半径为R2，质量m2，均匀分布。系统开始静止。求圆柱中心C经过路程S时的速度。解：

力的功，Fox、Foy、m1g、FN、Ff及内力不作功，只有M、m2g作功。动能：T1=0，T2包括鼓轮和圆柱体鼓轮动能：圆柱体的动能：第25页，共50页，2023年，2月20日，星期二故：有又：得：由：另：即：第26页，共50页，2023年，2月20日，星期二12-4功率、功率方程、机械效率1.功率功率(P)：单位时间力所作的功。功率等于切向力与力作用点速度的乘积。作用在转动刚体上的力的功率为：转动刚体上的力的功率等于该力对转轴的矩与角速度的乘积单位：瓦（W）、千瓦（kW）而：第27页，共50页，2023年，2月20日，星期二质点系动能定理的微分形式，两端除以dt，得：称为：功率方程

即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。功率方程常用来研究机器在工作时能量的变化和转化的问题系统的输入功率等于有用功率、无用功率和系统动能的变化率的和。动能不变时：2.功率方程第28页，共50页，2023年，2月20日，星期二

机器需输入功率，同时一些机械能转化为热能、声能将消耗部分功率。有效功率与输入功率的比值称为机械效率：有效功率/输入功率有效功率=输入功率的有效利用程度是评定质量的指标之一=1·2·3··n3.机械效率第29页，共50页，2023年，2月20日，星期二12-5势力场、势能、机械能守恒定律物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向由所在位置确定的力，则这空间称为力场。如：重力场、太阳引力场……物体在某力场内运动，作用于物体的力作的功只与力作用点的初始和终了位置有关，与该点的轨迹无关，这种力场称为势力场，或保守力场。

势力场中，物体受到的力称有势力或保守力。

重力、弹性力、万有引力都是有势力如：重力场、弹性力场、万有引力场都是势力场1.势力场力场势力场第30页，共50页，2023年，2月20日，星期二

物体从高处到低处，重力作功使物体动能增加下落高度不同，重力所作的功也不同在势力场中，质点从点M运动到任选点M0，有势力所作的功称为质点在点M相对于点M0的势能。以V表示：点M0的势能等于零，称为零势能点。在势力场中，势能的大小是相对于零势能点的。2.势能第31页，共50页，2023年，2月20日，星期二几种常见的势能：(1)重力场中的势能

重力p在各轴上的投影为：取零势能点M0，则点M的势能为(2)弹性力场中的势能

设弹簧的一端固定，另一端与物体连接，弹簧的刚性系数为k。取点M0为零势能点，则质点的势能：和0分别为弹簧端点在M和M0时弹簧的变形量。如取弹簧自然位置为零势能点，则有0=0，得：第32页，共50页，2023年，2月20日，星期二(3)万有引力场的势能

设质量为M1的质点受质量为M2物体的万有引力F作用，取点A0为零势能点，则质点在点A势能：f为引力常数，r0是质点的矢径方向的单位矢量，r0·dr为矢径增量dr在矢径方向的投影。设r1是零势能点的矢径，则：如选取的零势能点在无穷远处，则：万有引力作功只决定于质点运动的初始和终了位置，与点的轨迹无关，万有引力场是势力场。第33页，共50页，2023年，2月20日，星期二质点系有多个质点，受多个有势力作用，各有零势能点。质点系零势能位置，为各质点都处于其零势能点的位置。

质点系从某位置到其零势能位置运动过程中各有势力作功的代数和，为此质点系在该位置的势能。

质点系重力势能：取各点坐标为z10、z20、…、zn0为零势能位置，则各点坐标z1、z2、…、zn时的势能：V=mig(zi－zio)=g(mizi－mizio)=g(mzc－mzco)=mg(zc－zco)zc,zco为质心在原位置和零势能位置的坐标，对不同的零势能位置，系统的势能不同。常见的重力弹力系统，取平衡位置为零势能位置比较方便。第34页，共50页，2023年，2月20日，星期二质点在势力场中运动，有势力的功可通过势能计算。W12=V1－V2有势力作的功，等于质点系在运动过程的初始与终了位置的势能的差多个有势力情况，各有势力作功的代数和等于始末位置的势能差W10=W12+W20W10=V1,W20=V2第35页，共50页，2023年，2月20日，星期二3.机械能守恒定律机械能：质点系在某瞬时的动能与势能的代数和。

设质点系在运动过程初始和终了瞬时的动能分别为T1和T2，所受力在这过程中所作的功为W12，根据动能定理：

如系统运动中只有有势力作功，而有势力的功可用势能计算：质点系仅在有势力的作用运动时，其机械能保持不变。质点系称为保守系统还受非保守力为非保守系统，非保守系统的机械能不守恒。设保守力作功为W12，非保守力所作的功为W12’，由动能定理：W12’是负功时，系统对外界作功；

W12’是正功时，外界对系统输入能量。机械能的变化就是非保守力作的功第36页，共50页，2023年，2月20日，星期二例：均质圆柱重P，半径R，绕线绳一端固定，从静止开始运动。求圆柱中心C下落h时的速度和加速度。解：T不作功，机械能守恒，。取h处为零势能位置，则有：代入，则有：第37页，共50页，2023年，2月20日，星期二动能定理质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功之和。质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作的功的和。理想约束：约束反力作功等于零的约束。功率：作用在转动刚体上的力的功率为：功率方程：第38页，共50页，2023年，2月20日，星期二机械效率：

物体在势力场中某位置的势能，等于有势力从该位置到一任选的零势能位置所作的功。有势力的功只与物体运动的起点和终点的位置有关，而与物体内各点轨迹的形状无关。若以自然位置为零势能点，则：重力场中的势能：弹性力场中的势能：有势力的功可通过势能的差来计算：万有引力场中的势能：若以无限远处为零势能点，则：

机械能=动能+势能=T+V机械能守恒定律：如质点或质点系只在有势力作用下运动，则机械能保持不变，即第39页，共50页，2023年，2月20日，星期二例：已知半径为R的轮A、B质量均为m，两轮视为均质圆盘，轮B质心在某瞬时的速度为v，绳重量忽略不计。求：(1)系统的动量；(2)系统对A轴的动量矩；(3)系统的动能；(4)当轮B质心移动距离为S时系统所有力作的功；(5)系统所有力的功率。(1)(2)(3)(4)(5)解：第40页，共50页，2023年，2月20日，星期二13-6普遍定理综合运用举例例：滑轮组成的提升机构，滑轮A、B均为均质圆盘，质量为m1和m2，半径为R和r，R=2r，重物质量m3。已知主动力偶矩M。求上升中轴承对A的反力。解：动能和动量矩定理中不出现NX、NY，需用动量定理；计算动量需知速度，可用动能定理或动量矩定理求得。求约束反力，用动量定理系统的动量：由动量定理，知：可见还需求S，如下需要分析A第41页，共50页，2023年，2月20日，星期二分析A动量矩：外力矩：分析B质心运动定理：又：得：由此得：第42页，共50页，2023年，2月20日，星期二动量矩定理：有：得：解法一：用“动量矩”定理求aD，对A点的动量矩外力对A的矩：加速度的求解第43页，共50页，2023年，2月20日，星期二解法二：用“动能定理”求aD，系统动能为：由此得：第44页，共50页，2023年，2月20日，星期二例：图示摆由不计质量的长为4R的杆OA和半径为R质量为m的均质圆盘B组成，圆盘和杆刚接。初始时静止地处于铅