《自动控制理论教学》五稳定性分析

自动控制理论

第五讲控制系统的稳定性分析4/15/20231编辑ppt概述控制系统得到实际应用的首要条件：系统稳定判断线形定常系统是否稳定有很多方法，本章介绍常用的稳定判据，从而掌握改善系统稳定性的方法。系统稳定性的概念：控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随时间t的推移逐渐衰减并趋于0，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统为稳定的，否则为不稳定的。4/15/20232编辑ppt在工程设计中，希望不仅能判断系统的绝对稳定性（即判断系统是否稳定），还希望能确定出系统的稳定程度。对于不稳定系统，希望能指出如何改进系统参数或改变系统的结构使其稳定。用频率特性判断稳定的乃奎斯特判据具有上述功能。乃奎斯特判据还能用来研究延迟系统的稳定性。4/15/20233编辑ppt需要指出：1.稳定性是控制系统的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关；对于纯线形系统来说，系统的稳定与否并不与初始偏差的大小有关。2.控制理论讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性，即讨论输入为0，系统仅存在初始偏差不为0时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的。4/15/20234编辑ppt系统稳定性分析的内容系统的稳定条件代数稳定判据几何稳定判据对数幅相频率特性的稳定性判据相对稳定性4/15/20235编辑ppt系统的稳定条件4/15/20236编辑ppt4/15/20237编辑ppt4/15/20238编辑ppt4/15/20239编辑ppt4/15/202310编辑ppt代数稳定判据4/15/202311编辑ppt4/15/202312编辑ppt4/15/202313编辑ppt4/15/202314编辑ppt几何判据-乃氏判据1932年Nyquist稳定判据利用开环系统乃氏图来判别闭环系统的稳定性。优点：G（s）无法写出时，通过实验法得出开环频率曲线，进而判别闭环系统的稳定性；指出系统的稳定储备（相对稳定性），以及进一步提高和改善系统动态性能（包括稳定性）的途径和方法。4/15/202315编辑ppt米哈伊洛夫定理：设n次多项式D（s）有p个零点位于复平面的右半面，q个零点位于原点，其余的n-p-q个零点位于复平面的左半面，则当以s=jω代入D（s）并命ω从0连续增大到时，复数D（jω）的角增量应等于：4/15/202316编辑ppt乃氏判据：设单位负反馈系统的开环传递函数为：其闭环传递函数为：4/15/202317编辑ppt令：当以s=jω代入F（s）并命ω从0连续增大到时，复数F（jω）的角增量应等于：4/15/202318编辑ppt系统的开环传递函数：系统的闭环特征方程：F(s)的零点等于闭环特征方程的根或闭环极点；F(s)的极点等于系统的开环极点。4/15/202319编辑ppt如果开环Dk（s）有p个零点位于复平面的右半面，q个零点位于原点，其余的n-p-q个零点位于复平面的左半面，则：如果闭环稳定，则：故：4/15/202320编辑ppt函数F(s)=1+G(s)，用s=(j)代入并从－变化到＋时，闭环曲线顺时针方向包围原点的周数N=Z-PZ：闭环特征多项式在右半面的零点数（闭环极点）P：开环特征多项式在右半面的零点数（开环极点）乃氏判据另外一种表述：即：s=(j)代入，且从－变化到＋时，G（j）逆时针包围（-1，j0）点的次数等于开环传递函数在S平面右半面的极点数。4/15/202321编辑ppt对数幅相频率特性的稳定性判据实际上是乃奎斯特判据的另外一种形式：通过开环的Bode图来判别系统的稳定性。Bode图可以通过实验获得，所以工程上应用广泛。对数幅相频率特性稳定性判据的原理对数幅相频率特性的稳定性判据4/15/202322编辑ppt1.开环稳定，若Gk(jω)不包围（-1，j0）点，则闭环稳定。P179图5-34之1曲线对应的闭环系统是稳定的，而2对应的是不稳定的。图5-34，开环乃氏图与单位圆交点频率为剪切切频率ωc，此时A(ωc)=1,即L（ωc）=0dB。在单位圆外，A(ω)>1，相当于L（ω）>0dB；在单位圆内，A(ω)<1，相当于L（ω）<0dB;在单位圆上，A(ω)=1，相当于L（ω）=0dB，即A(ωc)=1,L（ωc）=0dB。4/15/202323编辑ppt将图5-34转换成Bode图，那么单位圆相当于0dB线，即横轴；而开环乃氏图与实轴交点的频率交点频率ωj为点处相当于Bode图相频特性的-180°。如何判别稳定与否？1.若开环稳定，且在L（ω）≥0dB的所有角频率ω值下，相角都大于-180°，则闭环是稳定的；2.(普遍情况)若开环特征方程有p个根在S右半面，则闭环稳定的充要条件是：在L（ω）≥0dB的所有角频率ω值下，相频特性曲线在-180°线上的正负穿越之差为p/2次。正穿越负穿越半次正穿越半次负穿越P1814/15/202324编辑ppt相对稳定性若系统闭环是稳定的，那么Gk（j）的轨迹离（-1，j0）点越远，则稳定程度越高，反之则稳定程度越低。这就是系统的相对稳定性。如何表征相对稳定性呢？以相位裕量和幅值裕量来度量。4/15/202325编辑ppt稳定不稳定4/15/202326编辑ppt(c)－＝－180＝180＋(c)在对数坐标图上，为开环截止频率时()曲线与－180线之距离，(0)在－180线以上时，为正，反之为负。相位裕量4/15/202327编辑ppt幅值裕量在