2022-2023学年广西南宁三中初中部八年级（下）月考数学试卷（3月份）(含解析)

2022-2023学年广西南宁三中初中部八年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）1．下列图形中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．下列各式是二次根式的是（）A． B． C． D．3．下列各组数中能作为直角三角形三边的是（）A．3，3，5 B．9，6，8 C．4，5，6 D．5，12，134．下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（a2）3＝a6 D．（ab）2＝ab25．新冠病毒（2019﹣nCoV）是一种新的Sarbecovirus亚属的β冠状病毒，它的平均直径为0.0000001米，这个数用科学记数法表示为米（）A．0.1×10﹣6 B．10×10﹣7 C．1×10﹣7 D．1×10﹣66．如图，已知四边形ABCD，对角线AC和BD相交于O，下面选项不能得出四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，且AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥CD，且AD＝BC7．已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形8．下列命题中，假命题是（）A．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 B．矩形的对角线相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形9．穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（）A．﹣＝4 B．＝4 C．＝4 D．＝410．如图，在直线m上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是3，6，9，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S4＝（）A．6 B．6.5 C．7 D．811．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为（）A． B．4 C．4.5 D．512．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点M，N，P分别在AD，BC，AB上运动，且四边形ABNM的面积始终等于24，则PM+PN的最小值是（）A．10 B．12 C．14 D．16二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）13．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为．14．分解因式：a2﹣49＝．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，BE是高，且点D、F分别是边AB、BC的中点，则△DEF的周长等于．16．方程＝0的解是．17．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在AB上，连接B′C，若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为．18．如图，将边长都为的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则2023个这样的正方形重叠部分的面积和为．三、解答题（本大题共8小题，共72分）19．计算：．20．先化简，再求值：，其中．21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．（1）画出△ABC向左平移6个单位，再向下平移1个单位后得到的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，写出点B2的坐标；（3）求△ABC的面积．22．央视热播节目“朗读者”激发了同学们的阅读兴趣，某校倡议同学们每天阅读经典，为了解同学们阅读的情况，学校随机调查了部分同学每天阅读时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：请结合以上信息解答下列问题：（1）本次调查中共抽取了名学生；（2）请补全上面的条形统计图；（3）在扇形图中的“1.5小时”部分的圆心角的度数为；（4）若该学校有2400名学生，请你估计该校学生阅读时间为2小时的学生人数．23．如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．（1）求证：△AGE≌△BGF；（2）求证：四边形AFBE是菱形．24．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：（1）甲、乙两公司各有多少人？（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．25．如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，AE⊥BC，AF⊥CD，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G．（1）求证：四边形AECG是矩形．（2）求∠CHA的度数．（3）求菱形ABCD的面积．26．如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF，取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）如图1，连接AE，求证：AE＝AF；（2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，并加以证明；（3）如图2，将这个含45°角的直角三角板ECF的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边BC、DC的延长线上，其他条件不变，当AB＝3，CE＝2时，求MN的长．

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）1．下列图形中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形沿着一条直线对折后直线两旁的两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．解：A、该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；B、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．下列各式是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．解：A、a2+1≥1，则是二次根式，故此选项符合题意；B、无意义，故此选项不符合题意；C、当a＜0时，无意义，故此选项不符合题意；D、属于三次根式，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义的内容是解此题的关键，注意：式子叫做二次根式．3．下列各组数中能作为直角三角形三边的是（）A．3，3，5 B．9，6，8 C．4，5，6 D．5，12，13【分析】直接根据勾股定理的逆定理进行判断即可．解：A．32+32≠52，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意；B．62+82≠92，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意；C．42+52≠62，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意；D．52+122＝132，能作为直角三角形三边长度，符合题意．故选：D．【点评】本题考查考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（a2）3＝a6 D．（ab）2＝ab2【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．解：（A）a2与a3不是同类项，故A错误；（B）原式＝a5，故B错误；（D）原式＝a2b2，故D错误；故选：C．【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．5．新冠病毒（2019﹣nCoV）是一种新的Sarbecovirus亚属的β冠状病毒，它的平均直径为0.0000001米，这个数用科学记数法表示为米（）A．0.1×10﹣6 B．10×10﹣7 C．1×10﹣7 D．1×10﹣6【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.0000001＝1×107．故选：C．【点评】本题考查了科学记数法表示较小的数，掌握形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10是关键．6．如图，已知四边形ABCD，对角线AC和BD相交于O，下面选项不能得出四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，且AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥CD，且AD＝BC【分析】根据平行四边形的判定逐个进行判断即可．解：A、能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；B、能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；C、能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；D、不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定的应用，能熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键，难度适中．7．已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形【分析】设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．解：设这个多边形是n边形，则（n﹣2）•180°＝900°，解得：n＝7，即这个多边形为七边形．故选：C．【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．8．下列命题中，假命题是（）A．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 B．矩形的对角线相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形【分析】根据菱形的面积公式、矩形的性质、菱形、正方形的判定定理判断即可．解：A、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，是真命题；B、矩形的对角线相等，是真命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法是假命题；D、对角线相等的菱形是正方形，是真命题；故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（）A．﹣＝4 B．＝4 C．＝4 D．＝4【分析】设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为（x+160）km/h，根据“乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达”可列方程．解：设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为（x+160）km/h，根据题意，可得：﹣＝4，故选：B．【点评】本题主要考查分式方程的应用，理解题意抓住相等关系并以此列出方程是关键．10．如图，在直线m上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是3，6，9，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S4＝（）A．6 B．6.5 C．7 D．8【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．解：如图，观察发现，∵∠ACB＝∠BDE＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，∴∠BAC＝∠EBD，在△ABC与△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC＝ED，∵AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，即S1+S2＝3，同理S2+S3＝6，S3+S4＝9，则S1+S2+S3+S4＝3+9＝12，则S1+S4＝12﹣6＝6．故选：A．【点评】此题考查了正方形的性质，运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．解决本题的关键是得到△ABC≌△BDE．11．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为（）A． B．4 C．4.5 D．5【分析】设FC′＝x，则FD＝9﹣x，根据矩形的性质结合BC＝6、点C′为AD的中点，即可得出C′D的长度，在Rt△FC′D中，利用勾股定理即可找出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．解：设FC′＝x，则FD＝9﹣x，∵BC＝6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，∴AD＝BC＝6，C′D＝3．在Rt△FC′D中，∠D＝90°，FC′＝x，FD＝9﹣x，C′D＝3，∴FC′2＝FD2+C′D2，即x2＝（9﹣x）2+32，解得：x＝5．故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，在Rt△FC′D中，利用勾股定理找出关于FC′的长度的一元一次方程是解题的关键．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点M，N，P分别在AD，BC，AB上运动，且四边形ABNM的面积始终等于24，则PM+PN的最小值是（）A．10 B．12 C．14 D．16【分析】作M关于AB的对称点M'，连接M'N，延长CB，使BE＝AM'，得到PM+PN＝PM'+PN，证明四边形ABEM'是矩形，得到∠E＝90°，EM'＝AB＝6，根据四边形ABNM的面积，求出AM+BN＝8，利用勾股定理求出M'N＝10，再根据PM+PN＝PM'+PN≥M'N可得结果．解：作M关于AB的对称点M'，连接M'N，延长CB，使BE＝AM'，∴PM＝PM'，∠BAM'＝90°，∴PM+PN＝PM'+PN，在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴AM∥BE，∴四边形ABEM'是平行四边形，又∠BAM'＝90°，∴四边形ABEM'是矩形，∴∠E＝90°，EM'＝AB＝6，∵四边形ABNM的面积等于24，由题意可知：四边形ABNM是直角梯形，∴，∴AM+BN＝8，∴AM'+BN＝BE+BN＝EN＝8，∴，∴PM+PN＝PM'+PN≥M'N，即PM+PN的最小值为10，故选：A．【点评】本题考查了的矩形的判定和性质的运用，勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，最短路径问题，根据轴对称的性质作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）13．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≥3．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于0是关键．14．分解因式：a2﹣49＝（a+7）（a﹣7）．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．解：a2﹣49＝（a+7）（a﹣7）．故答案为：（a+7）（a﹣7）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，BE是高，且点D、F分别是边AB、BC的中点，则△DEF的周长等于16．【分析】由三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线性质求出DF、EF、DE的长，即可得出答案．解：∵点D、F分别是边AB、BC的中点，AB＝AC＝12，BE是高，∴DF是△ABC的中位线，AF⊥BC，BE⊥AC，∴DF＝AC＝6，EF＝BC＝4，DE＝AB＝6，∴△DEF的周长＝DF+EF+DE＝6+4+6＝16；故答案为：16．【点评】此题考查的直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、三角形中位线的性质，熟记以上性质是解题的关键．16．方程＝0的解是x＝﹣2．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：2+2x﹣x＝0，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解．故答案为：x＝﹣2．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．17．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在AB上，连接B′C，若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为．【分析】根据勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB′＝90°，根据勾股定理计算．解：∵∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝3，∠CAB＝45°，∵△ABC和△A′B′C′全等，∴∠C′AB′＝∠CAB＝45°，AB′＝AB＝3，∴∠CAB′＝90°，∴B′C＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查的是勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．18．如图，将边长都为的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则2023个这样的正方形重叠部分的面积和为4044cm2．【分析】过点A1作A1D⊥A2D于D、A1E⊥A2E于E，根据正方形的性质可得A1D＝A1E，由SAS证得△A1BD≌△A1CE，然后由全等三角形的性质可得2个正方形重叠阴影部分的面积等于正方形面积的，再根据重叠部分的个数比正方形的个数少1进行计算即可．解：过点A1作A1D⊥A2D于D、A1E⊥A2E于E，如图所示：∵A1是正方形的中心，∴A1D＝A1E，A1D⊥A1E，∵∠BA1D+∠BA1E＝∠CA1E+∠BA1E，∴∠BA1D＝∠CA1E，在△A1BD和△A1CE中，，∴△A1BD≌△A1CE（SAS），∴2个正方形重叠阴影部分的面积＝正方形面积的，∴2023个这样的正方形重叠部分的面积和＝2×（2023﹣1）＝4044（cm2），故答案为：4044cm2．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；作辅助线构造出全等三角形并求出每个阴影部分的面积等于正方形面积的是解题的关键，要注意阴影部分的个数比正方形的个数少1．三、解答题（本大题共8小题，共72分）19．计算：．【分析】分别计算乘方，零指数幂，化简绝对值，分母有理化，再算加减法．解：原式＝＝﹣1．【点评】本题考查了分母有理化，解题的关键是掌握各部分对应的运算法则．20．先化简，再求值：，其中．【分析】将括号内的部分通分，计算加法，再将除法转化为乘法，约分计算，最后将x值代入计算即可．解：＝•＝，当时，原式＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．（1）画出△ABC向左平移6个单位，再向下平移1个单位后得到的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，写出点B2的坐标；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）根据平移的性质找到对应点，依次连接即可；（2）根据轴对称的性质找到对应点，依次连接，根据图象可得点B2的坐标；（3）利用割补法计算即可．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求，其中B2（2，4）；（3）△ABC的面积为：．【点评】本题考查作图—轴对称变换、平移变换，熟练掌握平移和轴对称的性质是解答本题的关键．22．央视热播节目“朗读者”激发了同学们的阅读兴趣，某校倡议同学们每天阅读经典，为了解同学们阅读的情况，学校随机调查了部分同学每天阅读时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：请结合以上信息解答下列问题：（1）本次调查中共抽取了100名学生；（2）请补全上面的条形统计图；（3）在扇形图中的“1.5小时”部分的圆心角的度数为144°；（4）若该学校有2400名学生，请你估计该校学生阅读时间为2小时的学生人数．【分析】（1）用1小时的人数除以对应百分比，可得结果；（2）用抽取的总人数减去其他部分的人数，可得1.5小时的人数，从而补全图形；（3）用360°乘以1.5小时的人数所占比例可得结果；（4）用2400乘以样本中阅读时间为2小时的人数所占比例即可．解：（1）30÷30%＝100（名）．故答案为：100．（2）100﹣12﹣30﹣18＝40（名），补全统计图如下：（3）．故答案为：144°．（4）（名）．答：估计该校学生阅读时间为2小时的学生有432名．【点评】本题考查条形统计图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．23．如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．（1）求证：△AGE≌△BGF；（2）求证：四边形AFBE是菱形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG＝∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF即可；（2）由全等三角形的性质得出AE＝BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG＝∠BFG，∵EF垂直平分AB，∴AG＝BG，在△AGE和△BGF中，，∴△AGE≌△BGF（AAS）；（2）∵△AGE≌△BGF，∴AE＝BF，∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，又∵EF⊥AB，∴平行四边形AFBE是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质得知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．24．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：（1）甲、乙两公司各有多少人？（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．【分析】（1）设甲公司有x人，则乙公司有（x+30）人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程组，再结合n≥10且m，n均为正整数，即可得出各购买方案．解：（1）设甲公司有x人，则乙公司有（x+30）人，依题意，得：×＝，解得：x＝150，经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，∴x+30＝180．答：甲公司有150人，乙公司有180人．（2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，依题意，得：15000m+12000n＝100000+140000，∴m＝16﹣n．又∵n≥10，且m，n均为正整数，∴，，∴有2种购买方案，方案1：购买8箱A种防疫物资，10箱B种防疫物资；方案2：购买4箱A种防疫物资，15箱B种防疫物资．【点评】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．25．如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，AE⊥BC，AF⊥CD，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G．（1）求证：四边形AECG是矩形．（2）求∠CHA的度数．（3）求菱形ABCD的面积．【分析】（1）由菱形的性质得出AD∥BC，AB＝BC＝4，由已知条件证出四边形AECG是平行四边形，再证出∠AEC＝90°，即可得出结论；（2）连接AC，证明△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质求出∠CAE，再求出∠CAF，得到∠EAF，然后求出AE∥CG，再根据两直线平行，同旁内角互补解答．（3）由三角函数求出AE，即可求出菱形的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC＝4，∵CG∥AE，∴四边形AECG是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，∴四边形AECG是矩形．（2）解：连接AC，如图所示：∵E为BC中点，AE⊥BC，∴AB＝AC，∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，∴∠B＝∠BAC＝60°，在等边三角形ABC中，∵AE⊥BC，∴∠CAE＝∠BAC＝30°，同理∠CAF＝30°，∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝30°+30°＝60°，∵AE⊥BC，CG⊥AD，AD∥BC，∴AE∥CG，∴∠